विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म में "अतिप्रवाह"

क्षमा करें यदि मुझे प्रश्न पूछने के लिए जगह के साथ गलती हो गई है (शायद मुझे stackoverflow.com/mathoverflowflow पर जाना चाहिए?)।

मुझे आश्चर्य है कि अगर कोई सबूत है कि विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का मूल्यांकन करते समय Bézout के गुणांक (जो s और t के रूप में पहचान में है + bt = gcd ( a , b ) कुछ उचित मानों से अधिक नहीं होगा (पर निर्भर करता है, b, मुझे लगता है) )। कुछ सामान्य-प्रयोजन प्रोग्रामिंग भाषा पर विशेष रूप से कार्यान्वयन में मैं कार्यक्रम के अतिप्रवाह शुद्धता में दिलचस्पी रखता हूं।

सटीक होने के लिए मैं उल्लेख कर सकता हूं कि मैं विक्टर शौप के एल्गोरिथ्म के विवरण का उपयोग करता हूं (उनकी पुस्तक में 4.2 संख्या में " एक कम्प्यूटेशनल परिचय संख्या सिद्धांत और बीजगणित के लिए " स्वतंत्र रूप से उनके होमपेज से उपलब्ध है)।

ds.algorithms nt.number-theory

— आर्टेम पेलिनित्सिन
स्रोत

मुझे लगता है कि यह निश्चित रूप से दायरे में है।

— सुरेश वेंकट

इसे Bézout की पहचान / लेम्मा कहा जाता है ( बीजगणितीय ज्यामिति में Bézout के प्रमेय से भ्रमित न होने के लिए ), जिसमें कहा गया है:

$a,b \neq 0$ $\gcd(a,b) = ax + by$ $x,y$ $|x| \leq |b|$ $|y| \leq |a|$

प्रमाणों को मानक बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में स्थापित किया जा सकता है। इसके अलावा, आप इसे gcd प्रक्रिया के पुनरावृत्तियों पर शामिल करके खुद को साबित कर सकते हैं।

सामान्य तौर पर यह हर में सच है इयूक्लिडियन डोमेन एक गुणक इयूक्लिडियन समारोह के साथ । यहाँ मामले में जब , हमारे पासजो गुणक है। $R$ $f$ $R = \mathbf{Z}$ $f(x) = |x|$

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

आप विकिपीडिया का संदर्भ देते हैं, लेकिन ऐसा कोई शब्द नहीं है: "इसके अलावा, हम मान सकते हैं ..."। क्या आप कृपया कुछ "मानक बीजगणित पाठ्यपुस्तक" नाम देंगे? मैंने अमूर्त बीजगणित में रोटमैन के पहले पाठ्यक्रम पर ध्यान दिया: यूक्ल का वर्णन है। एल्गो, लेकिन गुणांक पर ऐसी कोई सीमा नहीं है। शौप की किताब में एक ही कहानी है, जिसे मेरे पोस्ट में मेरे द्वारा संदर्भित किया गया था।

— आर्टेम पेलेनिट्सिन

कीजो रूहोनेन की पुस्तक में प्रमेय 2.5 की कोशिश करें । math.tut.fi/~ruohonen/MC.pdf अगर मेरी मोमरी सही है, तो फ्रेलिन की किताब में मुख्य पाठ में या अभ्यास में लेम्मा है। amazon.com/First-Course-Astract-Algebra-7th/dp/0201763907

— Hsien-Chih चांग 張顯

क्या इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है? कहते हैं कि जैसे कि समाधान मौजूद है?

gcd (a_{1}, \dots, a_{n}) = \sum_{i} x_{i} a_{i}

$\gcd(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{i} x_ia_i$

\sum_{i} | x_{i} | \leq \sum_{i} | a_{i} |

$\sum_{i}|x_i|\leq \sum_{i}|a_i|$

— चाओ जू