एक यादृच्छिक बूलियन समारोह का अपेक्षित न्यूनतम प्रभाव

Question

$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$$i$

$$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$$ $x^{\oplus i}$$i$$x$$f$ $$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$$

एक पैरामीटर को देखते हुए , हम में से प्रत्येक पर इसके मूल्य को चुनकर एक -random function चयन करते हैं, स्वतंत्र रूप से प्रायिकता साथ यादृच्छिक पर , और प्रायिकता । फिर, यह देखना आसान है कि, प्रत्येक और एक$p\in[0,1]$$p$$f$$2^n$$1$$p$$-1$$1-p$$i\in[n]$

$$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$$ $$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$$

मेरा सवाल यह है कि:

क्या लिए एक संबंध में ) तंग अभिव्यक्ति है ? यहां तक ​​कि , क्या हम ऐसी अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं?$n$$I_n(p)$$p=\frac{1}{2}$

विशेष रूप से, मैं कम ऑर्डर की शर्तों के बारे में परवाह करता हूं, अर्थात मैं मात्रा ।$2p(1-p)-I_n(p)$

(अगला प्रश्न, लेकिन जो पहले से अधीनस्थ है, वह यह है कि क्या कोई इस अपेक्षा के आसपास अच्छी एकाग्रता सीमा प्राप्त कर सकता है।)

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चेरनॉफ सीमा के द्वारा एक यह भी दिखा सकता है कि प्रत्येक में अच्छी एकाग्रता है, ताकि एक संघ बाध्य हम प्राप्त करें (यदि मैंने बहुत बुरी तरह से गड़बड़ नहीं की) तो लेकिन यह सबसे अधिक संभावना कम बाउंड (यूनियन बाउंड के कारण) और निश्चित रूप से ऊपरी बाउंड पर ढीली है। (मैं विशेष रूप से तुच्छ ) की तुलना में एक ऊपरी बाध्य की तलाश में हूं ।$\operatorname{Inf}_i[f]$

$$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$$ $\frac{1}{2}$

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ध्यान दें कि ऐसा करने में एक समस्या यह है कि न्यूनतम वितरित पहचान योग्य यादृच्छिक चर (प्रभाव) लेने के अलावा , यह है कि ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र नहीं हैं ... हालांकि मैं साथ "बहुत तेजी से" क्षय के लिए उनके सहसंबंध की उम्मीद करता हूं ।$n$$n$

(इसके लायक होने के लिए, मैंने स्पष्ट रूप से पहले कुछ के तक की गणना की है , और निम्नलिखित लोगों का अनुमान लगाने के लिए सिमुलेशन चलाया है, या तो तक। यह सुनिश्चित करने में सहायक नहीं है कि यह कितना उपयोगी है। हो सकता है, लेकिन मैं इसे शामिल कर सकता हूं कि एक बार मैं अपने कार्यालय में वापस आ जाऊं।)$I_n(1/2)$$n=4$$n=20$

Comments

यहां पहले कुछ (केवल पहले 4 सटीक हैं, अन्य यादृच्छिक नमूने से हैं (प्रभावों का अनुमान लगाने के लिए) 10 से अधिक ^ 5 यादृच्छिक रूप से उत्पन्न कार्य): (नोट , सिमुलेशन के लिए सुनिश्चित नहीं है कि 4 अंक वास्तव में है महत्वपूर्ण) $$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$$

— क्लेमेंट सी।

Answer 1

यहां देखें सही दिशा में एक कदम ...

मैं तर्क देता हूं कि , आपके पास ।$p=1/2$$1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(यह उतना मजबूत नहीं है जितना इसे होना चाहिए। हो सकता है कि कोई व्यक्ति को दिखाने के तर्क को मजबूत कर सकता है ।) यहां एक प्रूफ स्केच है।$\Omega(\sqrt{n/2^n})$

यह दिखाने के लिए पर्याप्त है । हम ऐसा करते हैं।$1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

ध्यान दें कि यदि और पूरी तरह से स्वतंत्र थे, तो हम किया जाएगा क्योंकि दो स्वतंत्र रकमों में से न्यूनतम । सबसे पहले, हम ध्यान से तर्क देंगे कि दोनों रकम लगभग स्वतंत्र हैं।$\text{Inf}_1[f]$$\text{Inf}_2[f]$$1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

के ब्रह्मांड पर विचार करें । -neighbors में और को कॉल करें यदि वे सिर्फ वें समन्वय में भिन्न होते हैं । मान लें कि दो पड़ोसी योगदान करते हैं (to ) यदि । (तो योगदान की संख्या है -neighbors, से विभाजित नोट अगर है कि,।) और कर रहे हैं -neighbors, और और हैं -neighbors, फिर या तो$X=\{-1,1\}^n$$x$$x'$$X$ $i$$i$$\text{Inf}_i[f]$$f(x) \ne f(x')$$\text{Inf}_i[f]$$i$$2^{n-1}$$x$$x'$$i$$y$$y'$$i$$\{x,x'\}=\{y,y'\}$ या । इसलिए, -neighbors में योगदान करने की संख्या स्वतंत्र यादृच्छिक चर है, प्रत्येक की अपेक्षा ।$\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$$i$$2^{n-1}$$1/2$

ब्रह्मांड को आकार चार के समूहों में विभाजित करें , जहां और एक ही समूह में हैं यदि और सभी पर सहमत हैं लेकिन उनके पहले दो निर्देशांक हैं। फिर प्रत्येक जोड़ी के लिए 1-पड़ोसियों के, और प्रत्येक जोड़ी 2-पड़ोसियों के, और एक ही समूह में हैं। दिए गए समूह और , rv में -neighbors योगदान करने की संख्या हो । फिर, उदाहरण के लिए, कुल मिलाकर 1-पड़ोसियों के योगदान की संख्या है$X$$2^{n-2}$$x$$x'$$x$$x'$$(x,x')$$(x,x')$$x$$x'$$g$$i\in\{1,2\}$$c^g_i$$i$$g$$\sum_g c^g_1$ , स्वतंत्र यादृच्छिक चर, प्रत्येक ।$2^{n-2}$$\{0,1,2\}$

ध्यान दें कि और स्वतंत्र हैं यदि । केस विश्लेषण के अनुसार, यदि , और का संयुक्त वितरण$c^g_1$$c^{g'}_2$$g\ne g'$$g=g'$$c^g_1$$c^g_2$

$$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$$

बता दें कि rv तटस्थ समूहों के सेट को दर्शाते हैं। (वे 1-प्रभाव और 2-प्रभाव के लिए अपनी अपेक्षित मात्रा में योगदान करते हैं।) 1-पड़ोसियों के योगदान की संख्या तब है $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

$$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$$

पर वातानुकूलित , प्रत्येक rv's और स्वतंत्र हैं (ऊपर उनके संयुक्त वितरण के निरीक्षण द्वारा), इसलिए ( पर वातानुकूलित ) सभी आरवी के समान रूप से से अधिक iid हैं , इसलिए $N$$g\in \overline N$$c^g_1$$c^g_2$$N$$\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$$\{0,2\}$

$$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$$

अंत में, ध्यान दें कि प्रत्येक समूह प्रायिकता 1/2 के साथ तटस्थ है, इसलिए बहुत छोटा है, कहते हैं (और उस मामले में भी ऊपर-बाएं-हाथ कम से कम ) । इससे दावा किया गया निचला बाउंड निम्न है ...$\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$$\exp(-\Omega(2^n))$$-2^n$

Comments

धन्यवाद! मैं कोशिश करूँगा और देखूंगा कि क्या आपके दृष्टिकोण को अनुकूलित करने का कोई तरीका है , रूट के तहत एक अतिरिक्त मिलता है ...$n$

— क्लेमेंट सी।