एक उन्मुख चक्र को डिग्राफ होमोमोर्फिज्म की जटिलता

Question

एक निश्चित निर्देशित ग्राफ ( डिग्राफ ) को देखते हुए , कॉलिंग निर्णय समस्या पूछती है कि क्या इनपुट डिग्राफ में लिए एक समरूपता है । (का एक समरूपता को मैपिंग है के के कि बरकरार रखता है आर्क्स, कि है, अगर का एक चाप है , फिर का एक चाप है ।)$D$$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

कोलोरिंग समस्याओं का वर्ग फेडर और वर्डी ( साइटसीर पर सुलभ ) द्वारा बताए गए सीएसपी के लिए डाइकोटॉमी अनुमान से जुड़ा हुआ है ।$D$

में 2001 कागज (लेखक का पृष्ठ पर सुलभ यहाँ ), फेडर एक विरोधाभास प्रमेय साबित होता है जब एक उन्मुख चक्र (कर रहा है उन्मुख चक्र मैं एक अनिर्दिष्ट चक्र जहां प्रत्येक किनारे एक भी चाप से बदल दिया जाता है, कि मनमाने ढंग से उन्मुख किया जा सकता मतलब) दूसरे शब्दों में, वह दर्शाता है कि किसी भी उन्मुख चक्र , कोलोरिंग या तो बहुपद-समय विलेय या एनपी-पूर्ण है।$D$$D$$D$

दुर्भाग्य से, फ़ेडर का वर्गीकरण बहुत ही सामान्य है और स्पष्ट नहीं है, क्योंकि कई मामलों की जटिलता सेटी के कुछ प्रतिबंधित वेरिएंट की जटिलता से संबंधित है जो कि अभिविन्यास पर निर्भर करते हैं। कागज को देखकर, मैं अपने प्रश्न का उत्तर निर्धारित नहीं कर पाया:

प्रश्न: एक उन्मुख चक्र का सबसे छोटा आकार ऐसा है जो -COLORING NP-complete है?$D$$D$

इसका उत्तर शायद साहित्य में कहीं बताया जा सकता है, लेकिन मुझे यह नहीं मिला।

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संपादित करें:मुझे फेडर के वर्गीकरण पर अधिक जानकारी दें। फेडर से पता चलता है कि किसी भी एनपी-पूर्ण उन्मुख चक्र को संतुलित होना चाहिए, अर्थात दोनों दिशाओं में समान संख्या में आर्क्स हैं (इसलिए इसका भी क्रम है)। फिर, अभिविन्यास से प्रेरित "स्तरों" पर विचार करें (एक मनमाना शीर्ष पर चक्र के चारों ओर जाना शुरू करें; यदि एक चाप सही जाता है, तो आप 1 से ऊपर जाते हैं, यदि एक चाप बाएं जाता है, तो आप 1 से नीचे जाते हैं)। फिर, अगर कोई एक "टॉप-बॉटम रन" है, तो यह बहुपद है। यदि कम से कम 3 ऐसे "रन" हैं और चक्र एक कोर है, तो यह एनपी-पूर्ण है। (टिप्पणियों में एंड्रस के उदाहरण में, ऐसे तीन "रन" हैं, लेकिन चक्र कोई कोर नहीं है।) सबसे मुश्किल मामले वे हैं जिनमें दो "टॉप-बॉटम रन" हैं। कुछ कठिन हैं, कुछ बहुपद हैं, और फेडर एक द्विबीजपत्री प्राप्त करने के लिए विशेष SAT समस्याओं से संबंधित हैं।

एक मध्यवर्ती प्रश्न के रूप में: सबसे छोटा उन्मुख चक्र क्या है जिसमें तीन "टॉप-बॉटम" रन हैं और एक कोर है? उपरोक्त चर्चा से ऐसा उदाहरण एनपी-पूर्ण होगा।

Comments

मुझे साहित्य में एक त्वरित उत्तर याद नहीं है (शायद बरनबी मार्टिन या फ्लोरेंट मैडेलाइन को पता होगा)। हालाँकि, आकार अधिकतम 6 कोने और 6 निर्देशित किनारों पर है, क्योंकि कोई भी K_3 को कम कर सकता कोलीगिंग को छह-वर्टेक्स डीग्राफ के लिए -Colouring में प्रत्येक अप्रत्यक्ष किनारे को दो आर्क्स में बदलकर दो आर्क्स की ओर इशारा करते हुए इसके बीच एक नए वर्कट की ओर इशारा करते हैं अंतिम बिंदु। $K_3$$D$$D$

— आंद्र सलाम

धन्यवाद आंद्रसु। हालांकि, मुझे लगता है कि इसका उत्तर बड़ा होना चाहिए क्योंकि इस उदाहरण का मूल केवल एक अनोखे चाप के साथ एक खुदाई है, जो बहुपद-समय-सॉल्व है ...

— फ्लोरेंट फौकॉड

आप सही हैं, मेरे द्वारा प्रस्तावित निर्माण बहुत सरल है।

— आंद्र सलाम

मैंने फ्लोरेंट मैडेलाइन और बरनबी मार्टिन से पूछा, लेकिन वे सीधे जवाब नहीं जानते हैं, हालांकि वे रुचि रखते हैं :-) मेरे सहयोगी ने पिछले सप्ताह ईमेल द्वारा फेडर से पूछा, लेकिन उन्होंने जवाब नहीं दिया (अभी तक)।

— फ्लोरेंट फौकाड

मेरा दूसरा आवेग त्रिकोण के एक कठोर संस्करण का उपयोग करना था। हालाँकि, Chvátal et al से कठोरता गैजेट के साथ। (JCT 1971) कठोर त्रिभुज को तब कई सारे वर्टिस की आवश्यकता होती है जो कि कम से कम 9v + 36 है, यदि इनपुट ग्राफ में v वर्टिक्स हैं, और यह स्पष्ट नहीं है कि इन गैजेट्स को पाथ में कैसे बदला जाए। शायद इसके बजाय प्रत्येक किनारे को बदलने के लिए एक कठोर मार्ग का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि त्रिकोण के किसी भी किनारे पर ग्राफ के किसी भी किनारे को मैप करने की क्षमता को बरकरार रखते हुए (लेकिन कहीं नहीं), क्योंकि यह करने का स्पष्ट तरीका समरूपता की आवश्यकता है।

— आंद्र सलाम

Answer 1

इंटरमीडिएट प्रश्न (तीन टॉप-बॉटम रन के साथ एक कोर) के बारे में, यह कैसे?

कुछ अंकन: मैं में शब्दों द्वारा रन का वर्णन किया जाएगा , जैसे के साथ एक subgraph के लिए इसी । आर्क्स पर स्तर बढ़ता है और आर्क्स पर घटता है , और मुझे लगता है कि इसकी न्यूनतम । कुछ सीधी बाधाएँ हैं:$\{l,r\}^*$$llrl$$\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$$r$$l$$0$

• केवल s या केवल s से युक्त कोई रन नहीं हो सकता है , क्योंकि अन्यथा से इस रन के लिए एक स्पष्ट समरूपता है ( समान स्तर के साथ प्रत्येक नोड को मैप करना)। इसका मतलब यह भी है कि अधिकतम स्तर कम से कम होना चाहिए ।$l$$r$$D$$D$$3$
• यदि अधिकतम स्तर , तो सभी टॉप-बॉटम ( -टॉप) रन फॉर्म ( । ; फिर से से होमोमोर्फिज्म खोजना बहुत मुश्किल नहीं है, जो कम से कम करता है ।$3$$llr(lr)^ill$$rrl(rl)^irr)$$D$$i$

हालाँकि, अधिकतम स्तर लिए एक समाधान है, लंबाई : द्वारा दिए गए विचार । इसमें आवश्यक टॉप-बॉटम रन हैं और एक कोर है (नीचे देखें)। उपरोक्त बाधाओं से, यह आवश्यक रूप से न्यूनतम है, क्योंकि प्रत्येक रन में केवल एक "बैकवर्ड" एज है।$4$$36$$D$$(rrrlrrlllrll)^3$

अपने आप को यह समझाने के लिए कि यह एक कोर है, चलो पहले कोने ( ) का नाम दें। नीचे (यानी स्तर ) कोने । से एक सबग्राफ के लिए किसी भी होमोर्फिज्म को स्तरों को संरक्षित करना चाहिए, और विशेष रूप से ; स्पष्ट , यह केस पर विचार करने के लिए पर्याप्त है । में के पड़ोस पर विचार करें (स्तरों के साथ एनोटेट):$v_1,\ldots,v_{36}$$0$$v_1,v_{13},v_{25}$$\varphi$$D$$\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$$v_i\mapsto v_{i+12}$$\varphi(v_1)=v_1$$v_1$$D$

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

शुरू होकर , हमारे पास में । लेकिन अगर , तो , और हमारे पास लिए कोई संभावित मूल्य नहीं है । हमें । अगला , लेकिन हमें , जिसमें लिए कोई संभावित मूल्य नहीं है । तो पूरे रन की पहचान होनी चाहिए , और शेष रनों के लिए एक ही तर्क को दोहराते हुए, सभी पर समान है$\varphi(v_1)=v_1$$\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$$\varphi(v_2)=v_{36}$$\varphi(v_3)=v_{35}$$\varphi(v_4)$$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$$\varphi(v_5)=v_3$$\varphi(v_6)=v_4$$\varphi(v_7)$$\varphi$$v_1\to\ldots\to v_7$$D$। विशेष रूप से, एक उचित उपसमूह पर मैप नहीं करता है ।$\varphi$$D$

Comments

इसी विश्लेषण से पता चलता है कि दो रनों वाले सभी संतुलित उन्मुख चक्रों की लंबाई कम से कम 24 है, है ना? ताकि मुख्य समस्या के उत्तर पर एक कम बाउंड हो।

— डेविड एपस्टीन

हाँ, अच्छी बात है।

— क्लॉस ड्रेगर

महान, धन्यवाद, यह बहुत मददगार है! क्या हम हाथ से खुद को समझा सकते हैं कि यह एक मूल है? (ध्यान दें कि अगर एक उन्मुख चक्र की जाँच करने के एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कि वहाँ एक कोर है: के सेट बनाने उन्मुख उप पथ ऐसी है कि का एक चाप है , और फिर जांच अगर इन रास्तों में से किसी को नक्शे, यह polytime में किया जा सकता, देख Gutjahr एट अल: sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X9290294K )$D$$|V(D)|$$\{D-a$$a$$D\}$$D$

— फ्लोरेंट Foucaud

@FlorentFoucaud मैंने दिखाया है कि एक कोर है। $D$

— क्लॉस ड्रेगर