मामूली बंद गुण जो स्पष्ट रूप से एमएसओ अभिव्यंजक हैं

Question

नीचे, एमएसओ ने वर्टेक्स-सेट और एज-सेट मात्रा के साथ ग्राफ के दूसरे क्रमिक तर्क को निरूपित किया।

Let रेखांकन का एक मामूली बंद परिवार हो। यह रॉबर्टसन और सीमोर के ग्राफ मामूली सिद्धांत से निम्नानुसार है कि को एक सीमित सूची निषिद्ध नाबालिगों द्वारा विशेषता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक ग्राफ के लिए , हम उस राशि अंतर्गत आता है करने के लिए यदि और केवल यदि शामिल नहीं सभी रेखांकन नाबालिगों के रूप में।$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

इस तथ्य के परिणामस्वरूप, हमारे पास MSO फॉर्मूला जो कि ग्राफ पर सच है और यदि केवल । उदाहरण के लिए, प्लानर ग्राफ़ को नाबालिगों के रूप में और की अनुपस्थिति की विशेषता होती है , और इसलिए स्पष्ट रूप से एक एमएसओ फॉर्मूला लिखना होता है ग्राफ़ की विशेषता होती है।$\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

समस्या यह है कि कई अच्छे मामूली बंद ग्राफ गुणों के लिए, निषिद्ध नाबालिगों की सूची अज्ञात है। इसलिए, जब हम जानते हैं कि रेखांकन के उस परिवार की विशेषता वाला एक MSO सूत्र मौजूद है, तो हम यह नहीं जान सकते कि यह सूत्र क्या है।

दूसरी ओर, यह मामला हो सकता है कि कोई व्यक्ति ग्राफ प्रमेय का उपयोग किए बिना किसी दिए गए संपत्ति के लिए एक स्पष्ट सूत्र के साथ आने में सक्षम हो। मेरा प्रश्न इस संभावना से संबंधित है।

प्रश्न 1: क्या ग्राफ्स एक छोटा बंद परिवार है , जैसे कि निषिद्ध नाबालिगों के सेट का पता नहीं है, लेकिन कुछ MSO फॉर्मूला जो कि ग्राफ़ के सेट को चिह्नित करते हैं?$\mathcal{F}$$\varphi$

प्रश्न 2: क्या कुछ स्पष्ट MSO सूत्र को निम्न गुणों में से कुछ को चिह्नित करने के लिए जाना जाता है?$\varphi$

1. जीनस 1 (ग्राफ एक टोरस में एम्बेड किया गया है) (नीचे EDIT देखें)
2. कुछ निश्चित लिए जीनस k (नीचे EDIT देखें)$k>1$
3. कुछ निश्चित लिए k-externalplanarity$k> 1$

मैं इस मामले पर किसी भी संदर्भ या विचार की सराहना करता हूं। कृपया अन्य मामूली बंद संपत्तियों पर विचार करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, ऊपर दी गई सूची केवल उदाहरण है।

अवलोकन: स्पष्ट रूप से मेरा मतलब छोटा नहीं है। यह एक स्पष्ट तर्क या एल्गोरिथ्म देने के लिए पर्याप्त है, जिसमें दिखाया गया है कि दिए गए गुण को दर्शाते हुए सूत्र का निर्माण कैसे किया जाए। इसी तरह, इस प्रश्न के संदर्भ में मैं निषिद्ध नाबालिगों के परिवार पर विचार करता हूं यदि किसी ने उस परिवार का निर्माण करने वाला स्पष्ट एल्गोरिदम दिया हो।

EDIT: मुझे एडलर, क्रेटर, ग्रहे का एक पेपर मिला , जो जीनस k-1 के फॉर्मूला को दर्शाते हुए फार्मूला के आधार पर जीनस ग्राफ के रूप में एक सूत्र का निर्माण करता है । तो यह कागज प्रश्न 2 के पहले दो आइटमों का उत्तर देता है। दूसरी ओर यह प्रश्न 1 का उत्तर नहीं देता है क्योंकि वास्तव में एक एल्गोरिथ्म है जो प्रत्येक k के लिए निर्माण करता है, निषिद्ध नाबालिगों के परिवार को जीनस k (ग्राफ़ खंड 4.2) देखें। इसलिए यह परिवार प्रश्न के अर्थ में "ज्ञात" है।$k$

Comments

किसी भी निषिद्ध नाबालिग वर्ग को बहुत से निषिद्ध नाबालिगों में से प्रत्येक के लिए अनंत संख्या में सबग्राफ मना करके व्यक्त किया जा सकता है। आप इसलिए पूछ रहे हैं: क्या कोई मामूली-बंद ग्राफ वर्ग है जो कि (स्पष्ट रूप से विद्यमान) अनंत MSO परिभाषा है कि एक-एक करके इन प्रत्येक असीम रूप से कई सबग्राफ को एक परिमित MSO सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (जिसे हम स्पष्ट रूप से जानते हैं)? Hadwiger के अनुमान में यह रूप है, प्रत्येक , चूंकि ( k - 1 ) -colourability एक परिमित MSO सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है। यदि अनुमान सच है तो ये हैं कश्मीर कश्मीर -Minor मुक्त रेखांकन, लेकिन यह खुला है। $k$$(k-1)$$K_k$

— एंड्रस सलामन

मुझे लगता है कि टोरस पर एम्बेड करने की क्षमता स्पष्ट रूप से व्यक्त की जा सकती है क्योंकि "ग्राफ को दो प्लेनर टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है" या उस तरह का कुछ, और इसी तरह उच्चतर पीढ़ी के लिए।

— एमिल जेकाबेक

सुझाव के लिए धन्यवाद एमिल। मुझे एक ऐसा पेपर मिला, जो जीनस k-1 के फॉर्मूला के आधार पर फार्मूला के आधार पर जीनस k के ग्राफ को दर्शाने वाले सूत्र का निर्माण करता है। यह दूसरी तरफ मेरे सवाल का जवाब नहीं देता है। संपादन देखें।

— मट्टस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

@ AndrásSalamon - स्पष्ट और परिमित MSO अभिव्यक्ति में निषिद्ध नाबालिग को व्यक्त करना आसान है। मुद्दा यह है कि हम जरूरी नहीं जानते कि कौन से नाबालिगों को मना करें।

— डेविड एप्पस्टीन

@DavidEppstein: आह, चूक गया: धन्यवाद, इसलिए मेरी टिप्पणी के पहले भाग को सरल बनाया जा सकता है। हालांकि, -Hadwiger का अभी भी Q1 का जवाब लगता है? हम नाबालिगों की एक काल्पनिक सिंगलटन सेट है { कश्मीर कश्मीर } प्रत्येक के लिए कश्मीर , लेकिन "केवल" का सबूत है कि कमी { कश्मीर कश्मीर } -Minor मुक्त एमएसओ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है कि के रूप में एक ही कक्षा है φ कश्मीर = " ( कश्मीर - 1 ) -कलौअर "। $k$$\{K_k\}$$k$$\{K_k\}$$\phi_k =$$(k-1)$

— आंद्रेस सलामन

Answer 1

मेरा यहाँ एक उत्तर था जिसमें शीर्ष रेखांकन शामिल था लेकिन यह इस प्रश्न में दिए गए एक स्पष्ट रुकावट सेट के न होने की परिभाषा को विफल करता है: रुकावट का पता लगाने के लिए एक प्रकाशित एल्गोरिथ्म है, हालांकि चलाने के लिए बहुत धीमा है, इसलिए हम वास्तव में नहीं जानते हैं बाधा सेट क्या है।

तो यहां उस दोष के बिना जवाब का एक और पैरामीटर परिवार है (कम से कम, जहां तक ​​मुझे पता है)। एक छोटी सी बंद कर दिया परिवार को देखते हुए , और एक पूर्णांक कश्मीर ≥ 1 , दिए गए ग्राफ करता है जी हैव ए कश्मीर -ply कवर ग्राफ में एफ ? इस तरह के सवाल के बारे में बहुत कुछ पता नहीं है: विशेष रूप से, नेगामी का अनुमान, जो उन ग्राफों को चिह्नित करेगा जिनके पास एक प्लैनर कवरिंग ग्राफ है, अप्रमाणित है। और यह मामूली बंद है क्योंकि जी से एक नाबालिग बनाने के लिए जो भी कदम उठाए जाते हैं उन्हें कवर में कॉपी किया जा सकता है।$F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

एक के अस्तित्व के लिए परीक्षण करने के लिए की -ply कवर जी में एफ , एमएसओ में 2 , निम्न चरणों का कार्य करें:$k$$G$$F$$_2$

• G की (मनमानी) अभिविन्यास प्राप्त करने के लिए गहराई-पहले-खोज-ट्री ट्रिक का उपयोग करें ।$G$
• प्रत्येक जोड़ी के लिए के साथ 0 ≤ मैं , जे < कश्मीर , में किनारों का एक समूह चुनें जी , माना जाता है कि लोगों को एक कवर बढ़त है कि प्लाई से चला जाता है है कि मैं प्लाई के लिए जे ।$(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• जांचें कि प्रत्येक प्लाई में प्रत्येक शीर्ष पर प्रत्येक घटना किनारे की एक प्रति है, और इस प्रकार यह जानकारी एक वैध कवर ग्राफ का प्रतिनिधित्व करती है ।$G$
• कवरिंग ग्राफ पर में सदस्यता के लिए बाधा सेट आधारित सूत्र का अनुकरण करें ।$F$

Comments

डेविड, अगर मुझे कुछ याद नहीं आ रहा है, तो एडलर-क्रेटज़र-ग्रोह -2008 ने एक एल्गोरिथ्म दिया जो एपेक्स-सी के लिए एक अपवर्जित मामूली लक्षण वर्णन की गणना करता है, बशर्ते कि आप वर्ग सी के लिए मामूली लक्षण वर्णन के रूप में इनपुट दें, लेकिन यह एल्गोरिथ्म बहुत अक्षम हो सकता है । मुझे लगता है कि एडलर को उम्मीद है कि एपेक्स-प्लानर के लिए अपवर्जित नाबालिगों की सूची छोटी है और इसलिए वह स्पष्ट सूची के लिए पूछ रही है, क्योंकि उनके एल्गोरिथ्म का उपयोग करके इसका निर्माण करना बहुत जटिल होगा। मुझे एक ऐसी संपत्ति में दिलचस्पी है जिसके लिए एमएसओ सूत्र ज्ञात है, लेकिन नाबालिगों के निर्माण के लिए कोई एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

क्या यह किसी भी मामूली बंद वर्ग C के लिए सही है कि C में कवर होने वाले ग्राफ का वर्ग मामूली-बंद है?

— डेनिस

हाँ। "और यह मामूली-बंद है क्योंकि ..." के बारे में मेरे जवाब में पहले से ही वाक्य देखें।

— डेविड एपस्टीन

नए उत्तर के लिए धन्यवाद। मैंने यह नहीं देखा कि उत्तर अब तक संपादित किया जा चुका है।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा