गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय और चर्च-रोसेर की सीआईसी की संपत्ति के बीच विरोधाभास?

Question

एक ओर, गोडेल का दूसरा अपूर्णता प्रमेय कहता है कि कोई भी सुसंगत औपचारिक सिद्धांत जो किसी भी मूल अंकगणितीय कथनों को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त मजबूत है, अपनी स्वयं की स्थिरता साबित नहीं कर सकता है। दूसरी ओर, चर्च-रोसर की एक औपचारिक (पुनर्लेखन) प्रणाली की संपत्ति हमें बताती है कि यह सुसंगत है, इस अर्थ में कि सभी समीकरण व्युत्पन्न नहीं हैं, उदाहरण के लिए, के I , क्योंकि उनके पास समान नहीं है सामान्य रूप।$\neq$

फिर इंडक्टिव क्रिएटिव्स (CIC) की गणना स्पष्ट रूप से दोनों स्थितियों को पूरा करती है। यह अंकगणितीय प्रस्तावों (वास्तव में, -calculus अकेले ही चर्च के अंकों को सांकेतिक शब्दों में बदलना और सभी आदिम पुनरावर्ती कार्यों का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम है) का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त मजबूत है । इसके अलावा, CIC में संगम या चर्च-रोसेर की संपत्ति भी है। परंतु:$\lambda\beta\eta$

CIC को दूसरी अपूर्णता प्रमेय द्वारा अपनी स्वयं की स्थिरता साबित करने में असमर्थ होना चाहिए?

या यह सिर्फ बताता है कि सीआईसी सिस्टम के अंदर अपनी खुद की स्थिरता साबित नहीं कर सकता है, और किसी तरह संगम संपत्ति एक मेटा-प्रमेय है? या हो सकता है कि सीआईसी की संगम संपत्ति इसकी स्थिरता की गारंटी नहीं देती है?

मैं बहुत सराहना करता हूँ अगर कोई उन मुद्दों पर कुछ प्रकाश डाल सकता है!

धन्यवाद!

Comments

सीआर किस अर्थ में संगति करता है? संबंध पर विचार करें$x \rightarrow y$ जब कभी $x, y \in X$।

— मार्टिन बर्गर

@MartinBerger तो आप कह रहे हैं कि सीआर सीआईसी में निरंतरता नहीं करता है? क्योंकि यह में करता है$\lambda$-क्युलकस, उदाहरण के $\neq$ मैं । और क्षमा करें, मैं आपको उपरोक्त संबंध पर विचार करने के लिए नहीं समझता।

— स्टूडेंटटाइप

मैं सीआईसी के बारे में कुछ नहीं जानता, लेकिन स्पष्ट संभावना यह होगी कि यह अपनी खुद की चर्च-रोजर्स संपत्ति साबित नहीं करता है।

— एमिल जेकाबेक

एक सामान्य सिद्धांत के लिए मजबूत सामान्यीकरण निरंतरता के करीब होगा? सीआर का मतलब है कि असमान शब्द हैं, लेकिन यह शून्य के एक निवासी को बाहर नहीं करता है। मजबूत सामान्यीकरण आंतरिक रूप से cic के लिए सिद्ध नहीं है, इसलिए Godels प्रमेय अभी भी धारण करता है

— डैनियल ग्रैज़र

अंतर्ज्ञान यह है कि आम तौर पर यह दिखाना आसान है कि सिस्टम के अंदर कोई बुरी सामान्य वस्तु नहीं है। अब अगर हम यह साबित कर सकते हैं कि सभी शब्दों का सामान्य रूप है जो हम कर रहे हैं। सामान्यीकरण एल्गोरिथ्म को औपचारिक बनाना आसान है। कठिन हिस्सा यह दिखाना है कि यह समाप्त हो गया है। यदि हमारे पास फ़ंक्शन हैं जो सिस्टम के अंदर काफी तेजी से बढ़ते हैं तो हम उन्हें सामान्यीकरण एल्गोरिथ्म की समाप्ति पर एक ऊपरी बाध्य साबित करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। मुझे लगता है कि गिरार्ड की पुरानी किताब में ये होनी चाहिए। प्रमाण और प्रकार भी हो सकते हैं। (किसी भी अच्छी प्रूफ थ्योरी बुक, जिसमें किसी सिद्धांत के संभावित कुल कार्यों पर चर्चा होनी चाहिए।)

— केवह

Answer 1

सबसे पहले, आप एक तार्किक सिद्धांत के रूप में सीआईसी की स्थिरता के साथ एक समतुल्य सिद्धांत के रूप में सीआईसी की स्थिरता को भ्रमित कर रहे हैं । पहला अर्थ है कि CIC (सभी प्रकार के) के सभी शब्द नहीं हैं$\beta\eta$-equivalent। दूसरे का अर्थ है कि प्रकार$\bot$आबाद नहीं है। सीआर का अर्थ है पहली तरह की संगति, दूसरी नहीं। यह, जैसा कि टिप्पणियों में बताया गया है, इसके बजाय (कमजोर) सामान्यीकरण द्वारा निहित है। इस स्थिति का प्रोटोटाइप उदाहरण शुद्ध है$\lambda$-क्युलकस: यह समान रूप से सुसंगत है (सीआर होल्ड) लेकिन, यदि आप इसे एक तार्किक प्रणाली के रूप में मानते हैं (जैसा कि अलोंजो चर्च ने कथित तौर पर इरादा किया है) यह असंगत है (वास्तव में, यह सामान्य नहीं करता है)।

दूसरा, जैसा कि एमिल ने कहा है, भले ही सीआईसी के पास एक दी गई संपत्ति (सीआर या सामान्यीकरण) हो, यह पूरी तरह से संभव है कि सीआईसी खुद उस संपत्ति को साबित नहीं कर सकती। इस मामले में, मुझे इस तथ्य में कोई असंगतता नहीं दिखाई देती है कि सीआईसी अपनी सीआर संपत्ति साबित करने में सक्षम है, और मुझे लगता है कि यह वास्तव में मामला है (प्राथमिक दहनशील तर्क आमतौर पर सीआर के लिए पर्याप्त हैं, और इस तरह के तर्क निश्चित रूप से विशाल के भीतर आते हैं। CIC की तार्किक शक्ति)। हालांकि, सीआईसी निश्चित रूप से अपनी खुद की सामान्यीकरण संपत्ति साबित नहीं करता है, ठीक दूसरी अपूर्णता प्रमेय के कारण।

Comments

+1 धन्यवाद! क्या आप थोड़ा विस्तार से बता सकते हैं कि यह (कमजोर) सामान्यीकरण संपत्ति का अर्थ संगति (तार्किक सिद्धांत का) कैसे है? यानी यह कैसे कहा जाता है कि हर शब्द का सामान्य रूप होता है$\bot$आबाद है?

— छात्र टाइप

बेशक! यह अनिवार्य रूप से तथ्य है कि कट-उन्मूलन का अर्थ है संगति। अधिक विस्तार से: चूंकि सामान्यीकरण प्रकारों को संरक्षित करता है, कमजोर सामान्यीकरण का अर्थ है कि यदि$\bot$बसा हुआ है, तो यह एक सामान्य शब्द है। लेकिन यह (आमतौर पर) तार्किक प्रणाली की परिभाषा का एक तुच्छ परिणाम है (जैसे कि CIC या किसी की गणना$\lambda$-कुब) कि कोई सामान्य निवासी नहीं है $\bot$।

— दामियानो माज़ा

@StudentType: यह अपेक्षाकृत सीधा लेम्मा (व्युत्पत्तियों पर प्रेरण द्वारा) है कि खाली संदर्भ में सामान्य रूप में आगमनात्मक प्रकार के शब्द को तर्कों पर लागू होने वाला एक निर्माता होना चाहिए।$\bot$एक प्रेरक प्रकार है जिसमें कोई निर्माता नहीं है। इसी तरह के प्रमाण वैकल्पिक परिभाषाओं के साथ काम करते हैं$\bot$।

— कोड़ी

हां, आप सही हैं @ कोडी! मैंने कहा जाना चाहिए था (पारंपरिक प्रणालियों में) कोई नहीं है कि बंद के सामान्य निवासी$\bot$ (सामान्य निवासियों के बहुत सारे हैं $\bot$जो बंद नहीं हैं!)।

— डेमियानो माज़ा