भगवान के नंबर का एक इंटरएक्टिव सबूत?

Question

मैं हाल ही में इंटरेक्टिव सबूतों के बारे में सीख रहा हूं और मुझे आश्चर्य हो रहा है कि क्या पूरी बात एक सैद्धांतिक जिज्ञासा से ज्यादा कुछ नहीं थी, या यदि यह कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग था। मैंने सोचा था कि मैं एक उदाहरण के साथ शुरुआत करूंगा जो मुझे शॉवर में हुआ था:

यह हाल ही में खबर बना रहा है कि "भगवान का नंबर" = 20। (भगवान की संख्या रूबिक के घन को हल करने के लिए आवश्यक कदमों की न्यूनतम संख्या है)। हालांकि यह बहुत दिलचस्प है, थोड़ा ट्विस्ट प्रतीत होता है ... यह पाठ्यपुस्तक, बहुपद समय सत्यापन योग्य अर्थ में "सामान्य" प्रमाण नहीं है। इस प्रमाण का एक विशिष्ट "पाशविक बल" स्वाद है - इससे मेरा तात्पर्य, डॉ। मॉर्ले की प्रयोगशाला में दोस्तों ने इस स्वच्छ, तंग कम बाउंड को खोजने के लिए Google के विशाल सुपर कंप्यूटरों में अरबों क्यूबों के संयोजन के साथ कोशिश की।

वैसे भी, सवाल यह है: हम कैसे निश्चित कर सकते हैं कि डॉ। मॉर्ले डेविडसन और उनकी टीम ईमानदार है? खैर, अधिकार से तर्क को खिड़की से बाहर फेंक सकते हैं क्योंकि यह गणितीय रूप से कठोर नहीं है। स्रोत कोड की जाँच करके और पूरी चीज़ को फिर से चलाने के लिए स्पष्ट विकल्प को फिर से सत्यापित करना है, जो कि कम्प्यूटेशनल संसाधनों की भयानक बर्बादी है, इस तथ्य का उल्लेख नहीं करना है कि हर कोई जो इस बात के लिए आश्वस्त होना चाहता है। अपने स्वयं के कार्य केंद्र पर इसे करने की आवश्यकता है - सच्चे संशय के लिए एक बहुत थकाऊ और अप्रिय प्रस्ताव। तो यह एक तरह का ऑन्थोलॉजिकल डिलेमा लगता है।

इसलिए मेरा मानना ​​है कि यह वास्तव में एक ऐसी स्थिति है जहां हमें एक इंटरैक्टिव प्रमाण की आवश्यकता है । Google का सुपरकंप्यूटर सभी शक्तिशाली लेकिन भ्रामक प्रोवर हो सकता है, और हमें संदेह है, अगर जनता के गुदा सदस्य पोलिनोमियलली बाउंडेड वेरिफायर नहीं हैं। यदि हम किसी भी समय अपने "Oracle" को एक बहुपद संख्या में क्वेरी कर सकते हैं, और इस निचली सीमा के बारे में आश्वस्त हो सकते हैं, तो हम इस तथ्य के बारे में आश्वस्त हो सकते हैं कि वह सही है, सभी उचित संदेह से परे।

इसलिए यह निर्णय समस्या लगती है "भगवान की संख्या है <20" में निहित है या फिर से बताने से किया जा सकता है इस प्रकार है (अनौपचारिक)$\Pi_2^p$

फिर भी प्रारंभ संयोजन के लिए रूबिक का क्यूब में, वहाँ एक समाधान है जो <= 20 कदम, ले जाता है मौजूद है β जो इसे हल करता है।$\alpha$$\beta$

(नहीं यकीन है कि अगर यह सही है, लेकिन और β दोनों आकार में छोटे होते हैं, एक शुरू करने विन्यास और एक समाधान यह है कि यह वास्तव में घन का समाधान करता है सत्यापित करने के लिए आसान है दी गई)$\alpha$$\beta$

और निर्णय समस्या "भगवान की संख्या 20 है" के रूप में पुनर्स्थापित किया जा सकता है

भगवान की संख्या <20 है और रुबिक के क्यूब के कुछ शुरुआती संयोजन के लिए एक समाधान मौजूद है जिसमें 20 कदम हैं।

तो शायद इसके लिए एक आईपी [एन] सबूत है। (एक बार फिर से, मेरे कामकाज की जाँच करें)

मेरा सवाल दुगना है

1. क्या ऐसा करने का कोई वास्तविक तरीका है?
2. इंटरएक्टिव सबूतों के "व्यावहारिक" उपयोग के अन्य उदाहरण क्या हैं?

Comments

मुझे लगता है कि आपका मतलब है "भगवान की संख्या" रूबिक्स क्यूब को हल करने के लिए आवश्यक अधिकतम संख्या है। इसी प्रकार आप कुछ समय का उल्लेख करते हैं "यह साफ, तंग निचला बाउंड" जबकि आपका मतलब है "ऊपरी बाउंड।"

— रॉस स्नाइडर

वैसे भी, आपके प्रश्न का आंशिक उत्तर। संभवतः संबंधित प्रश्न cstheory.stackexchange.com/questions/2461/… है । मेरी समझ से आपके पहले प्रश्न का उत्तर हाँ है - बस प्रोटोकॉल का पालन करें। हालांकि, यह मेरी समझ भी है कि वास्तव में एक इंटरैक्टिव प्रूफ सेटिंग में उलझने से "पकड़ा नहीं गया है।" क्या किसी को पता है कि इसमें शामिल स्थिरांक बहुत अधिक हैं?

— रॉस स्नाइडर

$\Pi_2$$PSPACE$

Answer 1

$\Pi_2^p$

$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$

अपनी तकनीकों का उपयोग करते हुए, शमीर ने साबित किया कि IP = PSPACE ।

यह पहले साबित किया गया था कि सभी आईपी में शून्य-ज्ञान प्रमाण हैं , इसलिए:

PSPACE की सभी भाषाओं में शून्य-ज्ञान संवादात्मक प्रमाण हैं।

Comments

$\Pi_2$$^{\#\mathrm{P}}$

@ पेटर: अगर "प्रैक्टिकल" से आपका मतलब है कि प्रोपर बीपीपी है, तो आप सही हैं। वास्तव में, केवल एनपी भाषाओं के पास ऐसे प्रमाण हैं।

— एमएस डौस्ती

मेरा मतलब "व्यावहारिक" कुछ से है जहां प्रोवर के पास प्रमाण के रूप में लगभग एक ही कम्प्यूटेशनल शक्ति है कि भगवान की संख्या = 20.

— पीटर शोर

$\alpha$

@sadeq: एमए और एएम में कुछ समस्याएं हो सकती हैं, लेकिन मुझे इन कक्षाओं के बाहर कुछ भी पता नहीं है, जिनमें "व्यावहारिक" इंटरएक्टिव प्रमाण हैं।

— पीटर शोर

Answer 2

$20$$G$$s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$$m$$\epsilon$$\pi$

$n\lt m$$n\ge m$$\pi$$A\subset G$ $\mathsf{AM}$

$\vert s \vert=18$$m$

• $n\ge m$$\epsilon$$g\in G$$\frac{18^n}{\vert G \vert}$$g$$s$$\le n$

• $n \lt m$$k=\vert A\vert$$g\in G$$g$$\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$$\le n$

$\epsilon$$\frac{1}{10^9}\vert G\vert$$k$$\frac{1}{10}\vert G\vert$

$n$

1. $g\in G$$h$$G$$\frac{18^n}{\vert G \vert}$$y$$h$
2. $W$$n$$g$
3. $W$$h(W)=y$$\le n$$g$
4. आर्थर और मर्लिन जरूरत के अनुसार बढ़ाना दोहराते हैं

क्योंकि, मुझे लगता है कि समूहों के लिए, मिश्रण का समय कम से कम व्यास (भगवान की संख्या) है, यह भगवान के बड़े समूह की संख्या को सीमित करने के लिए आर्थर-मर्लिन प्रमाण भी प्रदान करता है ।

Comments

मर्लिन को इस प्रोटोकॉल को निष्पादित करने के लिए कितनी शक्ति की आवश्यकता है? पहली नज़र में यह उस शब्द को खोजने के लिए संभावित रूप से बहुत कठिन लग रहा है, क्योंकि यह ब्रूट बल द्वारा व्यास की गणना करना है। (मुझे लगता है कि यह प्रोटोकॉल किसी के कहने के दृष्टिकोण से दिलचस्प है कि एक विशेष मार्कोव श्रृंखला ने मिश्रित किया है - शब्द को विशिष्ट हैश मान के साथ लंबे समय तक श्रृंखला चलाने से बहुत कठिन लगता है ...)

— लोरेंजो नजत

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$g$$y$$\mathsf{AM}$

$G$$\mathsf{coNP}$$G$$g$$\mathsf{coNP}$$g$$\Delta$

$g$$h$$y$