बहुपद पदानुक्रम के स्तरों के लिए इंटरएक्टिव सबूत

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हम जानते हैं कि यदि आपके पास एक PSPACE मशीन है, तो यह किसी भी स्तर के बहुपदीय पदानुक्रम का एक इंटरैक्टिव प्रमाण देने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली है। (और अगर मुझे सही याद है, तो आप सभी की जरूरत #P है।) लेकिन मान लीजिए कि आप एक सदस्यता का एक इंटरेक्टिव सबूत देना चाहते हैं a भाषा में। क्या यह पर्याप्त समस्याओं को हल करने में सक्षम होने के लिए ? में समस्याओं का पर्याप्त है? आम तौर पर, यदि आप या समस्याओं को हल कर सकते हैं, तो लिए क्या यह पर्याप्त है जो में सभी अपक्षयों के संवादात्मक प्रमाण उत्पन्न करता ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

यह प्रश्न इस cstheory स्टेक्सचेंज प्रश्न से प्रेरित था ।

cc.complexity-theory interactive-proofs

— पीटर शोर
स्रोत

क्या आप केवल एकल प्रोवर मामले में रुचि रखते हैं या आप कई प्रूवर्स के मामले में रुचि रखते हैं? मुझे यह प्रतीत होता है कि इस पर हमला करने का स्पष्ट तरीका पीसीपी के माध्यम से होगा, जो सीधे तौर पर दो साबित करने वालों के लिए आगे हो सकता है, लेकिन शायद एक भी प्रोवर के लिए काम नहीं करेगा।

— जो फिट्जसिमों

1

मुझे दोनों मामलों में दिलचस्पी होगी। मैं इस सवाल के बारे में काफी समय से सिंगल प्रोवर्स के लिए सोच रहा था, लेकिन कई प्रॉवर्स के बारे में बिल्कुल नहीं सोचा था।

— पीटर शोर

4

@Peter: आईपी = PSPACE कागज के ऊपर देख रहे हैं, ऐसा लगता है कि सबूत का उपयोग कर के माध्यम से जाना होगा

(जिसके लिए पूरा हो गया है

) के बजाय QBF से है, बशर्ते आप एक prover पर्याप्त बहुपद पहचान से उत्पन्न होने वाली गणना करने के लिए शक्तिशाली है

का अंकन । क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— जो फिट्जसिमोंस

1

@ जो, मैंने उस विचार पर विचार नहीं किया है; यह काम हो सकता है।

— पीटर शोर

2

जो, शायद आपको इसे उत्तर के रूप में पोस्ट करना चाहिए

— सुरेश वेंकट

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यहां तक कि कोएनपी के लिए एक आईपी देने के लिए, वर्तमान तकनीकों का उपयोग करके, किसी को अंकगणित करने की आवश्यकता है, अर्थात गिनती का उपयोग करें, जिसका अर्थ है अनिवार्य रूप से # पी की पूर्ण शक्ति। CoNP के लिए भी कोई भी कमजोर कहावत बहुत दिलचस्प होगी, मुझे लगता है (विशेष रूप से एक नई गैर-सापेक्ष तकनीक होगी।)

— नोम
स्रोत

@Peter: नोम सही है। मैं यहां से निम्नलिखित पंक्तियों को उद्धृत करता हूं : ... एक ब्लैक-बॉक्स कटौती के माध्यम से एनपी की सबसे खराब स्थिति पर टकराव प्रतिरोधी हैशिंग को आधार बनाते हुए, सह-एनपी के लिए एक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम का अर्थ है BPP ^ NP ... (यहां तक कि मल्टी-प्रोवर) सह-एनपी के लिए प्रूफ सिस्टम में #P जटिलता के साथ प्रॉवर्स की आवश्यकता होती है ...

— एमएस डौस्टी

किस मामले में मेरा जवाब सबसे अधिक संभावना है। इस पर ध्यान दिलाने के लिए धन्यवाद।

— जो फिट्जसिमोंस

वास्तव में, यह वास्तव में दिलचस्प है, यह देखते हुए कि ग्राफ गैर-आइसोमोर्फिज्म के लिए एक इंटरैक्टिव सबूत केवल उस समस्या के लिए एक ओरेकल के साथ एक कहावत की आवश्यकता है। यह सबूत की तरह लगता है कि या तो जीआई बहुत कमजोर है (पी की तरह) या बहुपद पदानुक्रम के स्तरों के इंटरैक्टिव सबूत के लिए सीमा बहुत ढीली होने की संभावना है।

— जो फिट्जसिमों

1

मुझे लगता है कि कई प्रूफ़रों को मदद के लिए नहीं जाना जाता है। क्या ये सही है?

— पीटर शोर

1

ग्राफ गैर समाकृतिकता के लिए सबूत @Joe एक निरंतर दौर सार्वजनिक सिक्का सबूत है, इस प्रकार वर्ग पूर्वाह्न में डालने (व्यापक रूप से एनपी बराबर करने के लिए माना जाता है, और इसलिए सैनिक और जीएनआई में माना जाता है

)। यह बहुपद गोल सबूत की तुलना में बहुत कम है जिसे माना जाता है कि कोएनपी पूर्ण समस्याओं में सदस्यता साबित करने के लिए आवश्यक है।

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— बोअज़ बराक

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यह एक ज्ञात (अद्भुत) खुली समस्या है जो मैंने समय-समय पर सफलता के बिना काम की है।

एवी विगडरसन और मैंने अपने बीजगणित पत्र में समस्या का उल्लेख किया , जहां हमने सवाल उठाया कि कोएनपी _NP आईपी _एनपी जैसे युक्तियों को बीजगणित तकनीकों के माध्यम से साबित किया जा सकता है या नहीं । (यहाँ IP _NP IP को BPP वेरिफ़ायर और BPP ^NP प्रॉवर के साथ दर्शाता है ।) यदि (जैसा कि मैं अनुमान लगाता हूँ) उत्तर नहीं है, तो यह एक औपचारिक कारण प्रदान करेगा कि क्यों पीटर जैसा कोई इंटरएक्टिव प्रोटोकॉल नॉन-रिलेटिविंग की आवश्यकता होगी। ऐसी तकनीकें जो आईपी = पीएसपीएसी के लिए उपयोग की जाने वाली "मौलिक रूप से परे" हैं।

एक अनुरूप सवाल यह है कि क्या बीक्यूपी = आईपी _{बीक्यूपी} , जहां आईपी _{बीक्यूपी का} मतलब बीपीपी सत्यापनकर्ता के साथ आईपी और बीक्यूपी (क्वांटम बहुपद-समय) कहावत है। यह सवाल भी खुला है --- हालांकि ब्रॉडबेंट, फिट्ज़सिमों और काशीफी द्वारा हाल ही में की गई सफलता से पता चला है कि निकट-संबंधी कथन सत्य है।

— स्कॉट आरोनसन
स्रोत

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हां, यह सवाल कि क्या coNP का एक इंटरेक्टिव प्रूफ है, जहां पर #P (# एनपी ऑरेकल की एक्सेस के साथ पॉलिटाइम) की तुलना में यह कहावत कमजोर है, एक प्रसिद्ध खुला प्रश्न है। हाईटनर, महमूदी और जिओ के हालिया पेपर इस सवाल पर चर्चा करते हैं और इस धारणा के कुछ परिणाम दिखाते हैं कि ऐसा नहीं किया जा सकता है।

— बोअज बराक
स्रोत

11

चूंकि सुरेश ने सुझाव दिया है कि मैं अपनी टिप्पणी एक उत्तर के रूप में पोस्ट करूंगा, इसलिए मैं करूंगा। हालाँकि, मैं इसे पूर्ण उत्तर नहीं मानता, क्योंकि मैंने इसे साबित करने का प्रयास नहीं किया है, और यह एक मृत अंत हो सकता है।

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

मुद्दा पहले से ही coNP के लिए सबूत में उत्पन्न होता है। सम्मेक प्रोटोकॉल में एन राउंड (प्रत्येक चर के लिए एक) है। प्रत्येक दौर में, नीतिवचन को बहुपदों के गुणांक के साथ आने की आवश्यकता होती है जो कुछ घातीय रूप से बड़ी राशि द्वारा प्राप्त की जाती है। मैं नहीं जानता कि कैसे इसे #P से कम बिजली का उपयोग करना है।

— बोअज़ बराक

@Boaz: हाँ, मुझे लगता है कि यह दृष्टिकोण असफल होना तय है। मुझे लगा कि मैंने अंकगणित का एक संस्करण कुछ इस तरह से देखा है कि बहुपद केवल 0 और 1s के इनपुट के लिए मान 1 या 0 पर लिया। यदि यह मामला है, तो ऐसा लगता है कि आप एक संबंधित निर्णय समस्या के लिए एक ओरेकल का उपयोग कर सकते हैं। तो फिर, मैं बस कि कल्पना कर सकते हैं!

— जो फिट्ससिमों