स्वयंसिद्ध सीआईसी के विस्तार के नकारात्मक परिणाम क्या हैं?

Question

क्या यह सच है कि सीआईसी में स्वयंसिद्ध जोड़ने से परिभाषाओं और प्रमेयों की कम्प्यूटेशनल सामग्री में नकारात्मक प्रभाव पड़ सकता है? मुझे लगता है कि समझ में सिद्धांत के सामान्य व्यवहार में, किसी भी बंद अवधि अपनी विहित सामान्य रूप, जैसे करने के लिए कम हो जाएगा अगर, सत्य है, तभी n प्रपत्र की अवधि को कम करना चाहिए ( एस यू सी सी । । । ( रों यू c c ( 0 ) ) ) । लेकिन जब एक स्वयंसिद्ध पोस्टिंग करते हैं - फ़ंक्शन को एक्सटेंसिबिलिटी एक्सिओम कहते हैं - हम सिस्टम में एक नया निरंतर जोड़ते हैं$n : \mathbb{N}$$n$$(succ ... (succ (0)))$funext

$$funext : \Pi_{x : A} f (x) = g (x) \to f = g$$

कि होगा बस "जादुई" का एक सबूत का उत्पादन के कोई सबूत से Π x : एक च ( एक्स ) = जी ( एक्स ) , (सब पर किसी भी कम्प्यूटेशनल अर्थ के बिना अर्थ है कि हम उनसे कोई कोड अलग नहीं कर सकता है? )$f = g$$\Pi_{x : A} f (x) = g (x)$

लेकिन यह "बुरा" क्यों है?

के लिए funext, मैं इस coq प्रविष्टि और इस mathoverflow सवाल में पढ़ा है कि यह या तो ढीले canonicity या decidable जाँच प्रणाली का कारण होगा। कोक प्रविष्टि एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करती है, लेकिन मुझे अभी भी उस पर कुछ और संदर्भ चाहिए - और किसी तरह मुझे कोई नहीं मिल सकता है।

यह कैसे है कि अतिरिक्त स्वयंसिद्ध को जोड़ने से सीआईसी का व्यवहार बदतर हो सकता है? कोई भी व्यावहारिक उदाहरण बहुत अच्छा होगा। (उदाहरण के लिए, Univalence Axiom?) मैं इस सवाल से डरता हूं कि यह बहुत नरम है, लेकिन अगर कोई उन मुद्दों पर कुछ प्रकाश डाल सकता है या मुझे कुछ संदर्भ दे सकता है तो यह बहुत अच्छा होगा!

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पुनश्च: कोक प्रविष्टि में उल्लेख किया गया है कि "थियरी कोक्विंड ने पहले से ही देखा है कि 90 के दशक के मध्य में आयामी परिवारों के साथ मेल खाते पैटर्न अतुलनीयता के साथ असंगत है।" क्या किसी को पता है कि किस कागज या कुछ में?

Answer 1

स्वयंसिद्धों को अस्वीकार करने का एक पहला कारण यह है कि वे असंगत हो सकते हैं। यहां तक ​​कि जो स्वयंसिद्ध सिद्ध होते हैं, उनमें से कुछ के लिए एक कम्प्यूटेशनल व्याख्या होती है (हम जानते हैं कि उनके लिए एक कमी सिद्धांत के साथ निश्चित समानता को कैसे बढ़ाया जाए) और कुछ नहीं करते हैं - वे विवर्तनिकता को तोड़ते हैं। यह विभिन्न कारणों से "खराब" है:

• सिद्धांत रूप में, एक विशिष्ट मॉडल पर जाने के बिना, कैनोनिकिटी आपको अपनी भाषा के मूल्यों के बारे में बातें साबित करने देती है। यह आपके सिस्टम के बारे में सोचने के लिए एक बहुत संतोषजनक संपत्ति है; विशेष रूप से, यह वास्तविक दुनिया के बारे में दावों का समर्थन करता है - हम natसिस्टम में औपचारिक रूप से "प्राकृतिक संख्या" के रूप में प्रकार के बारे में सोच सकते हैं क्योंकि हम यह साबित कर सकते हैं कि इसके बंद सामान्य निवासी वास्तव में प्राकृतिक संख्या हैं। अन्यथा यह सोचना आसान है कि आपने अपने सिस्टम में कुछ सही तरीके से मॉडलिंग की है, लेकिन वास्तव में विभिन्न वस्तुओं के साथ काम कर रहे हैं।

• व्यवहार में, कमी निर्भर प्रकार के सिद्धांतों की एक प्रमुख संपत्ति है, क्योंकि यह सबूत को आसान बनाता है। एक प्रस्तावक समानता को साबित करना मनमाने ढंग से कठिन हो सकता है, जबकि एक निश्चित समानता साबित करना (कम अक्सर संभव है) लेकिन बहुत आसान है, क्योंकि प्रमाण शब्द तुच्छ है। आम तौर पर, गणना एक प्रमाण सहायक के उपयोगकर्ता अनुभव का एक मुख्य पहलू है, और चीजों को परिभाषित करना आम है, इसलिए वे सही ढंग से कम करते हैं जैसा कि आप उम्मीद करते हैं। (आपको अभिकलन को कठिन बनाने के लिए स्वयंसिद्धताओं की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, प्रस्तावक समानता पर रूपांतरण सिद्धांत का उपयोग करके पहले से ही पुनर्वितरित कर सकते हैं)। प्रतिबिंब द्वारा सबूत का पूरा कारोबारसाक्ष्यों की सहायता के लिए अभिकलन के उपयोग पर आधारित है। यह अन्य लॉजिक्स-आधारित प्रूफ सहायक (उदाहरण के लिए। HOL- लाइट, जो केवल समानता तर्क का समर्थन करता है, या एक अलग दृष्टिकोण के लिए ज़ोंबी देखें ), और अनियंत्रित स्वयंसिद्धों, या अन्य प्रोग्रामिंग शैलियों का उपयोग करते हुए शक्ति और सुविधा में एक बड़ा अंतर है। आप इस सुविधा क्षेत्र से बाहर निकल सकते हैं।

Comments

+1 आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! क्या आप मुझे स्वयंसिद्ध व्याख्या के कुछ उदाहरण दे सकते हैं जिनकी एक कम्प्यूटेशनल व्याख्या है (या शायद विषय के लिए कोई संदर्भ)?

— स्टूडेंटटाइप

स्वयंसिद्ध व्याख्या का एक उदाहरण जिसकी कम्प्यूटेशनल व्याख्या है: प्रोप-इरेलेवेंस: यह दावा करना कि कुछ प्रकार के परिवार के सभी निवासी (इस सटीक मामले Propमें, कोक प्रूफ असिस्टेंट्स में उस तरह के, जो शुद्ध तार्किक विवरणों के अनुरूप हैं; पैपर-इरेलवेन्स मेल खाती है। उन कथनों के साक्ष्यों की आंतरिक संरचना की अनदेखी करना) बराबर हो सकते हैं, जो कि अब उनकी देखभाल नहीं करते हैं, उन्हें संगणना को प्रभावित करने की आवश्यकता नहीं है - लेकिन सिस्टम को असंगत न बनाने के लिए इसे सावधानी से करने की आवश्यकता है।

— गैसच

कम्प्यूटेशनल इंट्रिप्टेशन का एक और परिवार शास्त्रीय तर्क और नियंत्रण प्रभाव के बीच पत्राचार से आता है। इसका बेहतर ज्ञात हिस्सा यह है कि बाहर किए गए मध्य को निरंतरता पर कब्जा करके एक कम्प्यूटेशनल शब्दार्थ दिया जा सकता है, लेकिन नियंत्रण के सीमित रूप हैं (सकारात्मक प्रकार के अपवाद) जो महीन दाने वाले तार्किक सिद्धांत देते हैं (जैसे। मार्कोव का सिद्धांत )। ह्यूगो हेर्बेलिन का एक अंतर्ज्ञानवादी तर्क देखें जो मार्कोव के सिद्धांत को साबित करता है , 2010.

— गैसचेन

Answer 2

यह समझने के लिए कि कुछ स्वयंसिद्ध शब्दों के साथ एक प्रमेय कहावत का विस्तार करना समस्या पैदा कर सकता है, यह देखना भी दिलचस्प है कि ऐसा करना कब सौम्य है। दो मामले दिमाग में आते हैं और उन दोनों को इस तथ्य के साथ करना पड़ता है कि हम पोस्टुलेट्स के कम्प्यूटेशनल व्यवहार के बारे में परवाह नहीं करते हैं।

• ऑब्जर्वेशनल टाइप थ्योरी में, किसी भी Propसुसंगतता को बिना खोए किसी भी प्रमाण को प्रमाणित करना संभव है । वास्तव में, सभी सबूतों को समान माना जाता है और सिस्टम शर्तों को देखने से पूरी तरह से इनकार करके इसे लागू करता है। परिणामस्वरूप, तथ्य यह है कि एक सबूत हाथ से बनाया गया था या बस पोस्ट किए गए भालू कोई परिणाम नहीं है। एक विशिष्ट उदाहरण "सामंजस्य" का प्रमाण होगा: यदि हमारे पास ऐसा कोई प्रमाण eqहै, A = B : Typeतो किसी भी tप्रकार के लिए A, t == coerce A B eq tजहां coerceएक समानता प्रमाण के साथ एक शब्द का परिवहन होता है।

• MLTT में, कोई भी नकारात्मकता के नुकसान के बिना किसी भी नकारात्मक संगत स्वयंसिद्ध को पोस्ट कर सकता है । इसके पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि नकारात्मक स्वयंसिद्ध (रूप के स्वयंसिद्ध A -> False) केवल अप्रासंगिक शाखाओं को खारिज करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। यदि स्वयंसिद्ध सुसंगत है, तो इसका उपयोग केवल उन शाखाओं में किया जा सकता है जो वास्तव में अप्रासंगिक हैं और इसलिए कभी भी शर्तों का मूल्यांकन करते समय नहीं लिया जाएगा।

Answer 3

एक स्वयंसिद्ध व्यवहार का एक व्यावहारिक उदाहरण बुरी तरह से आप पूछते हैं, इस बारे में क्या?

 0 = 1

कोक्वांड पेपर को संदर्भित किया जा सकता है [1], जहां वह दर्शाता है कि पैटर्न मिलान के साथ विस्तारित आईटीटी (मार्टिन-लोफ का अंतर्ज्ञानवादी प्रकार सिद्धांत) आपको यूआईपी ( पहचान प्रमाणों की विशिष्टता का स्वयंसिद्ध) साबित करने की अनुमति देता है । बाद में स्ट्रीचर और हॉफमैन [2] आईटीटी में एक मॉडल प्रस्तुत करते हैं जो यूआईपी को गलत साबित करता है। इसलिए पैटर्न मिलान आईटीटी का एक रूढ़िवादी विस्तार नहीं है।

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1. टी। कोक्वांड, आश्रित प्रकारों के साथ मेल खाता पैटर्न ।

2. एम। हॉफमैन, टी। स्ट्रीचर, ग्रुप थ्योरी ऑफ़ टाइप थ्योरी ।