फूरियर के गुणांक बूलियन फ़ंक्शंस को AND और XOR गेट्स के साथ बाउंडेड डेप्थ सर्किट्स द्वारा वर्णित किया गया है

Question

चलो $f$ एक बूलियन समारोह हो सकता है और के से एक समारोह के रूप च बारे में सोचते हैं $\{-1,1\}^n$ करने के लिए $\{ -1,1 \}$ । इस भाषा में f का फूरियर विस्तार केवल वर्ग मुक्त मोनोमियल के संदर्भ में f का विस्तार है। (ये $2^n$ मोनोमियल $\{-1,1\}^n$ पर वास्तविक कार्यों के स्थान के लिए एक आधार बनाते हैं । गुणांक के वर्गों का योग बस $1$ इसलिए $f$वर्ग मुक्त मोनोमियल पर संभाव्यता वितरण की ओर जाता है। आइए इस वितरण को एफ-वितरण कहते हैं।

यदि बहुपद के आकार के बंधे हुए गहराई सर्किट द्वारा f का वर्णन किया जा सकता है तो हम Linial, Mansour और Nisan के एक प्रमेय द्वारा जानते हैं कि F वितरण लगभग-घातीय-छोटे वजन तक $\text{polylog } n$ आकार के मोनोमियल  पर केंद्रित है । यह हस्सद स्विचिंग लेम्मा से लिया गया है। (प्रत्यक्ष प्रमाण सबसे अधिक वांछनीय होगा।)

क्या होता है जब हम mod 2 gates जोड़ते हैं? विचार करने के लिए एक उदाहरण 2 n वेरिएबल्स पर फ़ंक्शन $IP_{2n}$ जो कि पहले n वेरिएबल्स के मॉड 2 इनर प्रोडक्ट और अंतिम एन वेरिएबल्स के रूप में वर्णित है। यहां एफ-वितरण एक समान है।$2n$

प्रश्न : एक बूलियन समारोह के एफ वितरण घिरे गहराई बहुपद आकार और, या, एमओडी द्वारा वर्णित है 2 पर (superpolynomially छोटी त्रुटि तक) सर्किट केंद्रित ओ ( n ) "स्तर"?$_2$$o(n)$

टिप्पणी :

1. एक प्रतिरूप के लिए एक संभव पथ चर के "" किसी भी तरह से विभिन्न आईपी 2 k "गोंद" होगा, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह कैसे करना है। शायद किसी को सवाल को कमजोर करना चाहिए और चर को कुछ भार प्रदान करने की अनुमति देनी चाहिए, लेकिन मुझे ऐसा करने का कोई स्पष्ट तरीका नहीं दिखता है। (इसलिए इन दो मामलों का जिक्र करना भी उसी का हिस्सा है, जिसके बारे में मैं पूछ रहा हूं।)$_2k$

2. मैं अनुमान लगाऊंगा कि प्रश्न का एक सकारात्मक उत्तर, (या एक सफल भिन्नता के लिए) तब भी लागू होगा जब आप mod k gates की अनुमति देंगे । (इसलिए सवाल पूछना रायन विलियम्स के हालिया प्रभावशाली एसीसी परिणाम से प्रेरित था।) $_k$

3. मुख्यता के लिए एफ-वितरण हर "स्तर" के लिए बड़ा (1 / पाली) है।

जैसा कि लुका द्वारा दिखाया गया है, मेरे द्वारा पूछे गए प्रश्न का उत्तर "नहीं" है। जो प्रश्न बचा है, वह बूलियन फ़ंक्शंस के एफ वितरण के गुणों को खोजने के तरीकों का प्रस्ताव करना है जो कि AND OR और mod 2 gates द्वारा साझा किए जा सकते हैं जिन्हें MAJORITY द्वारा साझा नहीं किया गया है।

MONOTONE फ़ंक्शन के बारे में बात करके प्रश्न को सहेजने का प्रयास:

$_2$$o(n)$

$o(n)$$\text{polylog} (n)$

Comments

यह एक बहुत मजबूत अनुमान लगता है, अगर यह सच हो सकता है तो बहुत दिलचस्प होगा। क्या इसके पीछे यह अंतर्ज्ञान है कि मॉड गेटों के साथ लगातार गहराई वाले सर्किट के लिए या तो आपके पास फ़ंक्शंस हो सकते हैं जो बहुत कम डिग्री पॉलीओनियम्स जैसे असंवेदनशील हैं, या समता की तरह पूरी तरह से यादृच्छिक हैं, लेकिन बहुमत जैसे बीच में कुछ बनाना मुश्किल है?

— बोअज़ बराक

प्रिय बोअज़, (मैं मजबूत सुझाए गए बयान के प्रतिरूप की अपेक्षा करूंगा।) पुन: अंतर्ज्ञान, "बर्नौली-जैसे" द्वारा "पूरी तरह से यादृच्छिक" की जगह। जैसा कि मुझे याद है, जब आप सिंगल मोड k गेट पर विचार करते हैं तो F- डिस्ट्रीब्यूशन एक निश्चित बर्नौली डिस्ट्रीब्यूशन की तरह होता है (जिसके लिए वजन | S | p जैसा है p ^ | S (1-p) ^ {n- | S } कुछ पी के लिए, जरूरी नहीं कि पी = 1/2 हो। इसलिए ऐसा लगता है कि मॉड के गेट्स के साथ छोटे बंधे हुए गहराई वाले सर्किट उनके एफ-डिस्ट्रिब्यूशन में इस तरह के बर्नौली डिस्ट्रिब्यूशन में हेरफेर करते हैं, इसलिए शायद "कुछ स्तरों पर सबसे अधिक वजन" की संपत्ति (या कुछ अन्य) बर्नौली वितरण की संपत्ति) बनी हुई है।

— गिल कलई

Answer 1

गिल, कुछ इस तरह से एक प्रतिरूप होगा?

$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f () को डेप्थ -3 में महसूस किया जा सकता है: सभी XOR को एक लेयर में रखें, और फिर ANDs, ORs और NOTs की दो लेयर्स में "सिलेक्शन" करें (नॉट्स को डीप को जोड़ते हुए न गिनें, हमेशा की तरह)।

Comments

हाँ, लुका, ऐसा लगता है कि आप सही हैं।

— गिल कलाई