कार्गर के एल्गोरिथ्म का उपयोग किए बिना एक ग्राफ के मिनटों की संख्या

Question

हम जानते हैं कि करगर के मिनक एल्गोरिथ्म का उपयोग (गैर-रचनात्मक तरीके से) यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि एक ग्राफ़ में अधिकतम संभव शॉर्टकट की अधिकतम संख्या $n \choose 2$ ।

मैं सोच रहा था कि क्या हम किसी तरह से कार्डिनिटी के दूसरे सेट \ _ 2 के लिए मिनीकॉट के सेट से एक विशेषण (बल्कि इंजेक्शन) प्रमाण देकर इस पहचान को साबित कर सकते हैं$n \choose 2$ । कोई विशेष कारण नहीं है, यह सिर्फ एक जिज्ञासा है। मैंने इसे अपने दम पर करने की कोशिश की लेकिन अभी तक कोई सफलता नहीं मिली है। मैं नहीं चाहूंगा कि कोई भी इस पर समय व्यतीत करे और इसलिए यदि यह प्रश्न व्यर्थ लगता है तो मैं मध्यस्थों से अनुरोध करूंगा कि आप इसके अनुसार कार्रवाई करें।

उत्तम-आकाश

Comments

कुमार, $n$ नेटटेक्स क्लिक में $n$ मिन्टकट्स हैं, प्रत्येक ग्राफ को बाकी ग्राफ से अलग करते हैं, इसलिए मिनिट्स की संख्या n \ choose 2 से कम हो सकती है $n\choose 2$।

— मार्कस रिट

इस जुझारू साबित करने के लिए यह एक बहुत ही उपयोगी नोट है। cs.elte.hu/egres/qp/egresqp-09-03.ps

— चाओ जू

Answer 1

द $\binom{n}{2}$ बाध्य मुझे लगता है कि मूल रूप से 1976 में डिनिट्ज़, कर्ज़नोव और लोमोनोसोव द्वारा साबित किया गया था, "एक ग्राफ के सभी न्यूनतम कटौती की प्रणाली के लिए एक संरचना" में। शायद आप पा सकते हैं कि आप इस पेपर में क्या देख रहे हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह ऑनलाइन है।

Comments

धन्यवाद jelani .... ऑनलाइन पेपर देखने की कोशिश की। अब तक कोई भाग्य नहीं। मुझे लगता है कि मैं अपने कॉलेज के पुस्तकालय की कोशिश करूंगा। इस बीच, यदि आप समय पाते हैं (और इसके लिए तैयार हैं) क्या आप कागज़ के कुछ प्रमुख विचारों को उजागर करने का प्रयास कर सकते हैं? यदि आप कर सकते हैं तो यह बहुत अच्छा होगा। एक बार फिर धन्यवाद!

— आकाश कुमार

क्षमा करें, मुझे नहीं पता कि उनका प्रमाण कैसे काम करता है। : / जाहिर तौर पर रॉबर्ट बिक्सबी के कुछ कामों के बारे में पहले से मौजूद कोई सबूत हो सकता है। आप शायद कुछ Googling के माध्यम से मुझे पता है कि (या शायद कोई है जो अधिक जानता है कि यहाँ एक बेहतर जवाब प्रदान कर सकते हैं) से अधिक पता लगाने में सक्षम हो जाएगा। मैं स्वयं उत्तर सुनने के लिए उत्सुक हूं ... मुझे याद है कि एक बार इस प्रश्न के बारे में सोचकर मुझे आश्चर्य हुआ था कि जब मैंने पहली बार कारगर का एल्गोरिथ्म सीखा था।

— जेलानी नेल्सन

Answer 2

अनौपचारिक रूप से, कोई तर्क दे सकता है कि अधिकतम संख्या में न्यूनतम कटौती करने के लिए, एक ग्राफ में सभी नोड्स के पास समान डिग्री होनी चाहिए।

कट को ग्राफ को नोड्स और दो सेट में विभाजित करते हैं जैसे कि । बता दें कि एक ग्राफ में न्यूनतम कटौती को रूप में दर्शाया जाता है ।$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

कोने के साथ एक जुड़े ग्राफ पर विचार करें जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर डिग्री दो है। यह चक्र ग्राफ होना चाहिए और न्यूनतम कट दो किनारों वाला होना चाहिए। यह स्पष्ट है कि किसी भी दो किनारों को काटने के परिणामस्वरूप कटौती होगी और ऐसा कटौती न्यूनतम कटौती है। चूंकि किनारों के अलग अलग जोड़े हैं न्यूनतम कटौती हैं।$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

साइकिल ग्राफ से एक किनारे को हटाकर एक नया ग्राफ बनाएं। नए ग्राफ का न्यूनतम कटौती एक किनारे है और किसी भी किनारे को काटने से पर्याप्त होगा: ऐसे कट हैं जो बनाए जा सकते हैं।$n-1$

साइकिल ग्राफ में बढ़त जोड़कर एक नया ग्राफ बनाएं। अब दो नोड्स में डिग्री तीन और नोड्स में डिग्री दो हैं। डिग्री तीन नोड्स दोनों से संबंधित होने चाहिए या दोनों से संबंधित होने चाहिए । ध्यान दें कि चक्र ग्राफ के मामले में, कोई नोड्स या में एक साथ दिखाई देने के लिए प्रतिबंधित नहीं थे । निहितार्थ यह है कि एक किनारे को जोड़ने से एक बाधा जुड़ जाती है, जिससे न्यूनतम कटौती की संख्या कम हो जाती है।$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

डिग्री तीन तक अधिक नोड्स को बढ़ावा देने से अतिरिक्त अड़चनें बढ़ जाती हैं जब तक कि बिंदु दो में केवल दो डिग्री का एक न्यूनतम कटौती न हो।

पूर्वगामी से पता चलता है कि चक्र ग्राफ (कम से कम) स्थानीय अधिकतम ।$mc$

ग्राफ के सेट पर विचार करें जिसमें प्रत्येक नोड डिग्री तीन का हो। एक किनारे को हटाने से दो के एकल न्यूनतम कट के साथ एक ग्राफ निकलता है। एक किनारे को जोड़ने, ऊपर के रूप में, दो नोड्स का उत्पादन करता है जो कटौती के एक ही तरफ दिखाई देते हैं।

इससे पता चलता है कि ग्राफ जिसमें प्रत्येक नोड डिग्री का है, की स्थानीय अधिकतम सीमा है । यह देखते हुए कि पूर्ण ग्राफ में आकार की कटौती है, यह बताता है कि यह एक गिरावट वाला कार्य है।$k$$mc$$mc=n$$n-1$

मैंने बहुत अधिक विचार नहीं किया है कि क्या उपरोक्त को औपचारिक रूप देना संभव है, लेकिन यह एक संभावित दृष्टिकोण का प्रतिनिधित्व करता है।

इसके अलावा, मुझे लगता है कि बिक्सबी पेपर जेलानी नेल्सन ने अपने जवाब में टिप्पणी में उल्लेख किया है, "एज कनेक्टिविटी एन और एम एन-बॉन्ड के साथ एक ग्राफ में किनारों और ऊर्ध्वाधर की न्यूनतम संख्या" ( लिंक )