"लगभग आसान" एनपी-पूर्ण समस्याएं

Question

यदि कोई बहुपद समय एल्गोरिथ्म है जो लगभग सभी इनपुट पर सही ढंग से तय करता है तो हमें एक भाषा P -density-close $L$है जो बताती है ।$L$

दूसरे शब्दों में, P , जैसे कि गायब हो रहा है, जिसका अर्थ है इसका अर्थ यह भी है कि एक समान यादृच्छिक इनपुट पर, लिए पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म लिए सही उत्तर देने की संभावना 1 के साथ आ जाएगा। इसलिए, यह लगभग आसान देखने के लिए समझ में आता है ।∞ L ∈ A lim n → Δ | ( एल Δ एक ) ∩ { 0 , 1 } n $A\in$ $L\Delta A$एएल

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$$ $A$$L$$L$

ध्यान दें कि $L\Delta A$ को विरल नहीं होना है। उदाहरण के लिए, यदि इसमें $2^{n/2}$ $n$ -बिट स्ट्रिंग्स हैं, तो यह 2 ^ {n / 2} / 2 ^ n = 2 ^ {- n / 2 के बाद से गायब है (एक घातीय दर पर) है। }$2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$ ।

उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, यह (कृत्रिम रूप से) एनपी- अपूर्ण समस्याओं का निर्माण नहीं है, जो पी -डेंसिटी-क्लोज़ हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी एनपी- अपूर्ण भाषा को जाने दें , और परिभाषित । फिर NP -completeness को बनाए रखता है , लेकिन अधिकांश -bit Yes-instances हैं। इसलिए, हर इनपुट पर "नहीं" का जवाब देने वाला तुच्छ एल्गोरिथ्म लगभग सभी इनपुट पर को सही ढंग से तय करेगा ; यह केवल -bit निविष्टियों के अंश पर गलत होगा।$L$एल $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$$L^2$$2^{n/2}$ $n$$L^2$$\leq 1-2^{-n/2}$$n$

दूसरी ओर, यह बहुत आश्चर्य की बात होगी यदि सभी एनपी- अधूरी समस्याएं पी -घनत्व-करीब हैं। इसका अर्थ होगा कि, एक अर्थ में, सभी एनपी- अधूरी समस्याएं लगभग आसान हैं। यह प्रश्न को प्रेरित करता है :

मान लिया जाये कि पी एनपी , जो कुछ कर रहे हैं प्राकृतिक एनपी -Complete समस्याओं कर रहे हैं नहीं पी घनत्व-पास?$\neq$

Comments

चूंकि Heuristica की संभावना से इनकार नहीं कर रहा है, वहाँ भी एक नहीं जरूरी प्राकृतिक समस्या है जिसके लिए पी ≠ एनपी सूचित करते हैं कि समस्या लगभग में पी नहीं है जाना जाता है नहीं है

मेरा मानना ​​है कि पोस्ट पत्राचार समस्याओं एक अच्छा उम्मीदवार समस्या है। समान रूप से यादृच्छिक उदाहरणों के लिए भी यह कठिन है और इसलिए यह औसत-मामले में कठिन है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

FYI करें: आपकी पसंद का नामकरण, जबकि स्वाभाविक है, कुछ मौजूदा नामकरण के साथ टकराव: वर्ग लगभग-पी में उन भाषाओं का समावेश होता है, जैसे कि L में 1 का माप है। आप भी रुचि ले सकते हैं यह जान लें कि आपकी परिभाषा का विरल संस्करण पहले ही उपयोग किया जा चुका है और इसमें कई अन्य विचारों के कनेक्शन हैं, पी-बंद देखें । पी-क्लोज़ के अवतरण को देखते हुए, शायद आपकी अवधारणा का एक अच्छा नाम पी-डेंसिटी-क्लोज़, या पी-क्लोज़-पर्याप्त :) है। $\{A : L \in P^A\}$

— जोशुआ ग्रोको

दूसरी ओर, " ग्राफ़ रंगकरण " निर्णय समस्या संभवतः ऐसी समस्या के लिए एक उम्मीदवार है।$\;$

मुझे यकीन नहीं है कि यह सही परिभाषा है। यदि का घनत्व गायब हो जाता है, तो यह किसी भी तुच्छ भाषा ए के माध्यम से "लगभग आसान" है , चाहे वह वास्तव में कितना भी कठिन हो। फिर भी यह मुश्किल है कि वर्णमाला { 0 , 1 } से अधिक प्राकृतिक कठिन भाषाओं को घनत्व के साथ प्रदर्शित किया जाए जो गायब नहीं होती हैं, बस एन्कोडिंग के कारण। क्या चौराहे का आकार n वैध इनपुट्स के साथ नहीं होना चाहिए (इसलिए यह एक वादा समस्या है), बजाय सभी तार के? अन्यथा, यह मुख्य रूप से प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: क्या घनत्व के साथ कुछ एनपी-कठिन भाषा का बूलियन एन्कोडिंग है जो गायब नहीं होता है? $L$$A$$\{0,1\}$$n$

— आंद्र सलामन

Answer 1

मैंने देखा कि क्या जटिलता सिद्धांत में आम तौर पर स्वीकार की गई परिकल्पना है, जिसका अर्थ है कि एक एनपी- अधूरी भाषा मौजूद होनी चाहिए जिसे लगभग सभी इनपुटों पर बहुपद में स्वीकार नहीं किया जा सकता (जैसा कि प्रश्न में परिभाषित किया गया है)।

दिलचस्प बात यह है कि सबसे "मानक" परिकल्पना इसका मतलब नहीं है। यही है, यह पी एनपी से (जब तक मैंने कुछ अनदेखी नहीं की है) का पालन नहीं करता है$\neq$ , पी बीपीपी , एनपी ≠ coNP , ई ≠ NE , ऍक्स्प ≠ NEXP , एनपी ≠ PSPACE , एनपी ≠ ऍक्स्प , एनपी ⊈ पी / पाली, PH का पतन नहीं होता है, आदि।$=$$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$$\not\subseteq$

दूसरी ओर, मैंने एक पाया, थोड़ा कम मानक, परिकल्पना, जो कि एनपी- अधूरी समस्या के अस्तित्व का अर्थ है, भले ही वह प्राकृतिक न हो। के सिद्धांत में संसाधन घिरा मापने के मौलिक परिकल्पना है कि है एनपी नहीं है शून्य, द्वारा सूचित किया जाता मापने μ पी ( एनपी ) ≠ 0 । अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि E के भीतर NP -languages एक नगण्य उपसमूह नहीं बनाते हैं। विवरण के लिए, यहां एक सर्वेक्षण देखें । इस सिद्धांत में वे साबित, कई अन्य बातों के अलावा, कि μ पी ( एनपी ) $p$$\mu_p($$)\neq 0$$\mu_p($ एक के अस्तित्व का तात्पर्यपीमें द्विपक्षीय प्रतिरक्षा भाषाएनपी। एक भाषा एल हैपीद्विपक्षीय प्रतिरक्षा करता है, तो न एल और न ही इसके पूरक में एक अनंत उप-समूह हीपी। ऐसी भाषा हमारी आवश्यकता को एक मजबूत तरीके से संतुष्ट करती है।$)\neq 0$$L$$L$

हालाँकि, यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि क्या एक उदाहरण मौजूद है जो एक प्राकृतिक समस्या का प्रतिनिधित्व करता है।

Comments

द्वि-प्रतिरक्षा आपकी स्थिति की तुलना में बहुत अधिक मजबूत है, और संरचनात्मक जटिलता सिद्धांत में "लगभग सभी" के अधिक सामान्य उपयोग से संबंधित है, जिसका नाम "सभी के लिए, लेकिन बहुत सारे" है ...

— जोशुआ ग्रोचो

@JoshuaGrochow मैं सहमत हूं, लेकिन ऐसा प्रतीत होता है कि, एक अर्थ में, पी-द्वि-प्रतिरक्षा का मतलब बहुत मजबूत अंतरंगता है। यह प्राकृतिक एनपी-पूर्ण समस्याओं के बीच नहीं होता है। यह मेरे लिए आश्चर्य की बात है कि जाहिर तौर पर कोई परिणाम नहीं है जो "कमजोर रूप से लगभग हर जगह" अयोग्य एनपी-पूर्ण भाषा के अस्तित्व के लिए स्थिति प्रदान करता है। "कमजोर रूप से लगभग हर जगह" से मेरा मतलब है कि "सभी लेकिन सूक्ष्मता से कई" स्थिति को "सभी लेकिन गायब रूप से कई" से बदल दिया जाता है। जो वास्तव में व्यवहार में सामने आया है, उससे बेहतर संबंधित हो सकता है।

— एंड्रास फरगाओ

क्या एनपी को पी-मापने योग्य माना जाता है?

@ रिकइडेमर जहां तक ​​मुझे पता है, यह ज्ञात नहीं है कि एनपी पी-मापने योग्य है या नहीं।

— एंड्रास फरगाओ