क्या अर्ध-बहुपद समय में एक प्राकृतिक समस्या है, लेकिन बहुपद में नहीं?

Question

लेज़्ज़्लो बाबई ने हाल ही में साबित किया कि ग्राफ़ आइसोमोर्फिज्म समस्या क्वासिपोलिनोमियल समय में है । भी अपने देखें बात शिकागो विश्वविद्यालय में, जेरेमी कुन द्वारा वार्ता से टिप्पणी GLL पोस्ट 1 , GLL पद 2 , GLL पोस्ट 3 ।

Ladner की प्रमेय के मुताबिक, अगर $P \neq NP$ , तो $NPI$ खाली नहीं है, यानी $NP$ कि में न तो कर रहे हैं समस्याओं शामिल $P$ है और न ही $NP$ -Complete। हालाँकि, लैडनर द्वारा निर्मित भाषा कृत्रिम है और प्राकृतिक समस्या नहीं है। कोई प्राकृतिक समस्या में माना जाता है $NPI$ के तहत भी सशर्त $P \neq NP$ । लेकिन कुछ समस्याओं को $NPI$ लिए अच्छा उम्मीदवार माना जाता है , जैसे कि फैक्टरिंग पूर्णांक और GI।

$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

कुछ समस्याएं हैं जिनके लिए हम अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिदम जानते हैं, लेकिन कोई बहुपद समय एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है। इस तरह की समस्याएं सन्निकटन एल्गोरिदम में उत्पन्न होती हैं; एक प्रसिद्ध उदाहरण निर्देशित स्टीनर ट्री समस्या है, जिसके लिए ( एन वर्टिस की संख्या होने के नाते एक अनुमानित अनुपात प्राप्त करने वाला एक अर्ध-बहुपद समय सन्निकटन एल्गोरिदम है । हालांकि, इस तरह के बहुपद समय एल्गोरिथ्म के अस्तित्व को दिखाना एक खुली समस्या है।$O(\log^3 n)$$n$

मेरा प्रश्न:

क्या हम किसी भी प्राकृतिक समस्या को जानते हैं जो कि $QP$ लेकिन $P$ में नहीं है ?

Comments

क्या समय पदानुक्रम प्रमेय ऐसी समस्याओं के अस्तित्व की गारंटी नहीं देता है?

— आरबी

@RB आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। क्या आप मानते हैं कि समय पदानुक्रम ढह सकता है? मैं कुछ प्राकृतिक उदाहरणों की अपेक्षा कर रहा हूं जिन्हें अर्ध-बहुपद समय में हल किया जा सकता है लेकिन बहुपद में नहीं।

— रुपेई जू

@RupeiXu यह एक ज्ञात तथ्य है कि यह ढह नहीं सकता।

— टॉम वैन डेर ज़ंडेन

यदि आप प्राकृतिक समस्या की तलाश में हैं तो @RupeiXu आपका प्रश्न दिलचस्प होगा ।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

टूर्नामेंट में न्यूनतम डोमिनेटिंग सेट QP में है। यह तब तक P में नहीं हो सकता जब तक ETH गलत नहीं है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

Answer 1

वास्तव में, कम्प्यूटेशनल समस्याओं के लिए अर्ध-बहुपद चल रहे समय को कमतर साबित करने के लिए हाल ही में बहुत सारे काम किए गए हैं, जो ज्यादातर घातीय समय की परिकल्पना पर आधारित हैं। यहाँ उन समस्याओं के लिए कुछ परिणाम दिए गए हैं जिन्हें मैं काफी स्वाभाविक मानता हूँ (नीचे सभी परिणाम ETH पर सशर्त हैं):

• आरोनसन, इम्पेग्लियाज़ो और मोशकोविट्ज़ [1] एक अर्ध-बहुपदीय समय दिखाते हैं जो घने अवरोध संतुष्टि समस्याओं (सीएसपी) के लिए कम बाध्य है। ध्यान दें कि इस पेपर में CSP को जिस तरह से परिभाषित किया गया है, वह डोमेन को बहुपत्नी रूप से बड़ा होने देता है, क्योंकि डोमेन छोटा होने की स्थिति में पीटीएएस होता है।

• ब्रवरमैन, को और वेनस्टाइन [2] ϵ खोजने के लिए अर्ध-बहुपदीय समय को कम करते हैं$\epsilon$ -सर्वश्रेष्ठ जो लिप्टन एट अल। एल्गोरिथ्म [3] से मेल खाता है -approximate नैश संतुलन,।$\epsilon$

• ब्रेवरमैन, को, रुबिनस्टीन और वींस्टीन [4] एक अर्ध-बहुपदीय समय दिखाते हैं, जो पूर्णता के साथ घने -सुबग्राफ को सन्निकट करने के लिए कम होता है (यानी एक ग्राफ जिसमें एक k -clique होता है, आकार k का एक सबग्राफ पाता है जो कि ( 1 - 1 है ) ϵ ) -कुछ छोटे स्थिरांक के लिए -dense$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$ )। फिर से, समस्या के लिए एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म है (फीज और सेल्टसर [5])।$\epsilon$

संदर्भ

1. मल्टीपल मर्लिन्स के साथ एएम। कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी (CCC), 2014 IEEE 29 वें सम्मेलन में, पृष्ठ 44-55, जून 2014।

2. मार्क ब्रेवरमैन, यंग कुन को, और ओमरी वाइंस्टीन। N o ( l o g n n ) में सर्वश्रेष्ठ nash संतुलन के बारे में$n^{o(log n)}$ अनुमान लगाना समय-समय पर होने वाली परिकल्पना को तोड़ देता है। असत्य एल्गोरिदम, सोडा '15, पृष्ठ 970-982 पर छब्बीसवें वार्षिक ACM-SIAM संगोष्ठी की कार्यवाही में। SIAM, 2015।

3. रिचर्ड जे। लिप्टन, इवेंजेलोस मार्ककिस और अरण्यक मेहता। सरल रणनीतियों का उपयोग करके बड़े खेल खेलना। इलेक्ट्रॉनिक कॉमर्स, EC '03, पेज 36-41, न्यूयॉर्क, एनवाई, यूएसए, 2003 में 4 वें एसीएम सम्मेलन की कार्यवाही में। एसीएम।

4. मार्क ब्रेवरमैन, यंग कुन-को, एवाड रुबिनस्टीन और ओमरी वेनस्टाइन। Densest- k के लिए ETH कठोरता$k$ -Subgraph के साथ । कम्प्यूटेशनल जटिलता (ECCC) पर इलेक्ट्रॉनिक बोलचाल, 22:74, 2015।

5. यू। फीएगे और एम। सेल्टर। घने -subgraph की समस्याओं पर। तकनीकी रिपोर्ट, 1997।$k$

Answer 2

मेगिडो और विस्किन ने साबित किया कि टूर्नामेंट में न्यूनतम हावी सेट । उन्होंने दिखाया कि टूर्नामेंट के वर्चस्व वाले सेट में पी-टाइम एल्गोरिथ्म है यदि सैट में उपसंचालक समय एल्गोरिथ्म है। इसलिए, टूर्नामेंट के वर्चस्व वाली सेट समस्या P में तब तक नहीं हो सकती जब तक कि ETH झूठा न हो।$QP$$P$

यह ध्यान रखना बहुत दिलचस्प है कि घातीय समय की परिकल्पना एक साथ होती है, जो टूर्नामेंट के वर्चस्व वाले सेट में बहुपद समय के एल्गोरिदम नहीं हो सकते हैं$NP$ और यह एन पी- पूर्ण नहीं हो सकता है । दूसरे शब्दों में, ईटीएच का अर्थ है कि टूर्नामेंट का प्रभुत्व सेट इन्टरमीडिएट में है।$NP$

Woeginger ने अर्ध-बहुपद समय में एक प्रत्याशी समस्या हल करने का सुझाव दिया है और शायद बहुपद समय एल्गोरिदम नहीं है: पूर्णांक को देखते हुए , क्या आप उनमें से लॉग एन का चयन कर सकते हैं जो 0 तक जोड़ते हैं ?$n$$\log n$$0$

Answer 3

कम्प्यूटिंग वीसी आयाम बहुपद समय में होने की संभावना नहीं है, लेकिन एक क्सिपोलिनोमियल समय एल्गोरिथ्म है।

इसके अलावा, यादृच्छिक ग्राफ में आकार एक लगाए गए गुच्छे का पता लगाना कठिन लगता है , लेकिन किसी को क्वासिपोलिनोमियल समय में पाया जा सकता है; हालांकि इस वादे की समस्या की प्रकृति कुछ अन्य उल्लेख की तुलना में अलग है।$O(\log n)$

Answer 4

यदि घातीय समय परिकल्पना सही है (या यहां तक ​​कि कमजोर संस्करण), तो एक बहुपद समय में बहुभुज की संख्या के साथ उदाहरणों के लिए 3SAT को हल नहीं कर सकता है। बेशक, अर्ध-बहुपद समय ऐसे उदाहरणों को आसानी से हल कर सकता है।

जबकि हम जानते हैं कि वहाँ में समय वर्ग समस्याओं होना चाहिए जिसमें नहीं है टी ( एन ) , किसी के लिए टी ( एन ) , यह एक उपयोगी प्राकृतिक समस्या नहीं है (इस जटिलता में एक मानक परिणाम है) । किसी भी मामले में, एक समस्या है जो QP में है लेकिन P में नहीं है एक बहुत बड़ा परिणाम होगा। हम वर्तमान में एनपी में प्राकृतिक समस्याओं के बारे में भी नहीं जानते हैं जो सामान्य रैम मॉडल में द्विघात समय से अधिक की आवश्यकता है। क्योंकि निचले सीमा वास्तव में वास्तव में बहुत कठिन हैं। इस प्रकार, ईटीएच का सहारा, अद्वितीय खेल अनुमान, प्रार्थना करना, और यह साबित करना कि समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं।$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Answer 5

समानता खेलों को हल करना हाल ही में QP में दिखाया गया है: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

पैरिटी गेम स्वाभाविक रूप से कई औपचारिक सत्यापन संदर्भों में उत्पन्न होते हैं, जैसे एलटीएल संश्लेषण और $\mu$ -culculus संतोषजनकता।

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

हालांकि, हाल के पेपर ने QP को एक महत्वपूर्ण छलांग लगाई। यह अभी भी अज्ञात है कि क्या ये गेम पी में हैं।

Answer 6

में शास्त्रीय एल्गोरिदम, सहसंबंध क्षय, और क्वांटम कई शरीर प्रणालियों के विभाजन कार्यों की जटिल शून्य अराम हैरो, सईद Mehraban, और मेहदी Soleimanifar द्वारा

एक अर्ध-बहुपद समय शास्त्रीय एल्गोरिथ्म जो थर्मल चरण संक्रमण बिंदु से ऊपर के तापमान पर कई-शरीर प्रणालियों के क्वांटम के विभाजन कार्य का अनुमान लगाता है

प्रस्तुत है।

प्रश्न के "भाग लेकिन बहुपद समय में नहीं" के बारे में बहुत कुछ यहां नहीं कहा जा सकता है। यह भी संभावना हो सकती है कि एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म बाद में मिल जाएगा, पिछले काम के इतिहास को देखते हुए, नीचे देखें।

सन्निकटन एल्गोरिदम से संबंधित "विभाजन फ़ंक्शन का आकलन" कैसा है? पिछला काम (पृष्ठ 11):

विभाजन फ़ंक्शन का आकलन करने के लिए हाल ही में वैचारिक रूप से अलग दृष्टिकोण है, जो इस काम का आधार है। यह दृष्टिकोण विभाजन के कार्य को एक उच्च-आयामी बहुपद के रूप में देखता है और मापदंडों के गैर-तुच्छ शासन के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से आसान बिंदु पर समाधान का विस्तार करने के लिए छंटनी की गई टेलर विस्तार का उपयोग करता है। अपने परिचय [Bar16a] के बाद से, इस पद्धति का उपयोग विभिन्न रोचक समस्याओं जैसे कि फेरोमैग्नेटिक और एंटीफेरोमैग्नेटिक ईज़िंग मॉडल [LSS19b, PR18] के लिए निर्धारित ग्राफ़िक्स पर नियतात्मक एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए किया गया है।

शामिल

[LSS19b] जिंगचेंग लियू, एलिस्टेयर सिनक्लेयर, और पीयूष श्रीवास्तव। आइसिंग विभाजन कार्य: शून्य और नियतात्मक सन्निकटन। जर्नल ऑफ़ स्टैटिस्टिकल फ़िज़िक्स, 174 (2): 287–315, 2019। arXiv: 1704.06493

जो संबंधित कार्य पर tis अनुभाग में निम्नलिखित का उल्लेख करता है:

काम की एक समानांतर रेखा में, बर्विनोक ने विभाजन समारोह के लघुगणक के टेलर सन्निकटन के अध्ययन की शुरुआत की, जिसके कारण विभिन्न प्रकार की गिनती की समस्याओं [6, 7, 9, 10] के लिए क्सिपोलिनोमियल समय सन्निकटन एल्गोरिदम का जन्म हुआ। हाल ही में, पटेल और रेग्स [41] ने दिखाया कि कई मॉडलों के लिए जिन्हें प्रेरित उपसमूह के रूप में लिखा जा सकता है, वास्तव में कोई इस दृष्टिकोण से एफपीटीएएस प्राप्त कर सकता है।

[४१] वी। पटेल और जी। विभाजन कार्यों और ग्राफ बहुपद के लिए नियतात्मक बहुपद-समय सन्निकटन एल्गोरिदम। एसआईएएम जे। संग।, 46 (6) : 1893-1919 , दिसंबर 2017। arXiv: 1607.01167

निष्कर्ष में, "विभाजन फ़ंक्शन का अनुमान लगाना" सन्निकटन एल्गोरिदम से निकटता से संबंधित है, और विभिन्न प्रकार की गिनती की समस्याओं के लिए क्सीपिलिनोमियल टाइम सन्निकटन एल्गोरिदम हैं, और उनमें से कुछ के लिए एफपीटीएएस प्राप्त किए गए हैं। तो कुल मिलाकर, विभाजन समारोह से संबंधित समस्याओं का यह वर्ग दोनों ही क्यूसिपोलिनोमियल समय सन्निकटन एल्गोरिदम का उत्पादन करने के लिए लगता है, लेकिन अक्सर बाद में सुधार बहुपद समय को प्राप्त करते हैं।