पी में कौन सी समस्याओं के लिए परिणाम को सत्यापित करने के लिए इसे खोजने की तुलना में आसान है?

Question

एनपी- अधूरी समस्याओं के लिए (खोज संस्करण) , किसी समाधान की पुष्टि करना इसे खोजने की तुलना में स्पष्ट रूप से आसान है, क्योंकि एक साक्षी समय (संभवतः) घातीय समय लगता है, जबकि सत्यापन बहुपद समय में किया जा सकता है।

में पी , फिर भी, समाधान भी बहुपद समय में पाया जा सकता है, तो यह स्पष्ट प्रतीत नहीं होता है जब समाधान ढूँढने से सत्यापन तेज है। वास्तव में, विभिन्न समस्याएं इस दृष्टिकोण से भिन्न व्यवहार करती हैं। कुछ उदाहरण:

1. 3SUM: दिए गए इनपुट नंबर, उनमें से 3 को खोजते हैं , जो कि 0. से है। जहां तक ​​मुझे पता है, सबसे तेज ज्ञात एल्गोरिथ्म O ( n 2 - o ( 1 ) ) समय में चलता है , और यह आदेश इष्टतम है। दूसरी ओर, एक समाधान का सत्यापन बहुत तेज है, क्योंकि हमें केवल यह जांचना है कि 3 पाए गए नंबर वास्तव में 0 के योग हैं।$n$$O(n^{2-o(1)})$

2. ऑल-पेयर शॉर्टेस्ट पाथ्स: एज वेट्स के साथ एक ग्राफ दिया गया, इसकी सबसे छोटी पथ दूरी मैट्रिक्स की गणना करें। एक बार ऐसा मैट्रिक्स दिए जाने के बाद, क्या इसे तेजी से जांचा जा सकता है कि यह वास्तव में सही दूरी का मैट्रिक्स है, इसे पुन: कम्प्यूट करने की तुलना में? मेरा अनुमान है कि उत्तर शायद हां है, लेकिन यह 3SUM की तुलना में निश्चित रूप से कम स्पष्ट है ।

3. रैखिक प्रोग्रामिंग। यदि एक दावा किया गया इष्टतम समाधान दिया जाता है, तो इसे पुनः जाँचने की तुलना में आसान होता है, जब सहायक जानकारी भी दी जाती है (एक इष्टतम दोहरी समाधान)। दूसरी ओर, यदि केवल मौलिक समाधान उपलब्ध है, तो यह स्पष्ट नहीं है कि कोई इसे तेजी से जांच सकता है, वास्तव में एलपी को हल करने की तुलना में।

प्रश्न: इस विषय में क्या जाना जाता है? यही है, जब समाधान खोजने की तुलना में पी में किसी समस्या के समाधान को सत्यापित करना आसान है ?

Comments

मुझे लगता है कि कई उदाहरण एनपी-पूर्ण समस्याओं से आते हैं जो पी में आते हैं जब हम कुछ मापदंडों को ठीक करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी ग्राफ़ में निश्चित k के लिए आकार का एक समूह है, तो जाँच करना । सत्यापन में रैखिक समय लगता है, लेकिन जब तक पी = एनपी, खोज समस्या (बहुपद) जटिलता कश्मीर पर निर्भर नहीं करती है$k$$k$$k$

— Marzio De Biasi

हम पुष्टि कर सकते हैं की एक सूची पूर्णांकों के साथ क्रमबद्ध किया जाता है n - 1 तुलना, लेकिन यह लेता है Θ ( n लॉग इन करें n ) एक अवर्गीकृत सूची सॉर्ट करने के लिए तुलना। $n$$n-1$$\Theta(n \log n)$

— थॉमस

क्या आप चाहते हैं कि निर्णय की समस्याओं के लिए हां और कोई उदाहरण दोनों को सत्यापित करना आसान हो? 3SUM के लिए, जबकि निरंतर समय में हाँ उदाहरणों को सत्यापित करना आसान है, मुझे नहीं पता कि क्या कोई उदाहरण नहीं सत्यापित करना आसान है। या क्या आप उन समस्याओं की तर्ज पर अधिक सोच रहे हैं जहां मैट्रिक्स गुणन की तरह गैर-बूलियन आउटपुट है? (मैट्रिक्स गुणन एक उदाहरण है कि आप क्या चाहते हैं यदि आप यादृच्छिक एल्गोरिदम की अनुमति देते हैं।)

— रॉबिन कोठारी

"दूसरी ओर, एक समाधान का सत्यापन बहुत तेज़ है, क्योंकि हमें केवल इतना करना है कि 3 जाँच किए गए नंबर वास्तव में 0. के योग हैं।" - हमें यह भी जांचना होगा कि 3 पाए गए नंबर वास्तव में इनपुट का हिस्सा हैं।

— hvd

क्या ऐसी समस्याएं हैं जिनके लिए हम जानते हैं कि सत्यापन आसान नहीं है?

— राफेल

Answer 1

यह ज्ञात है कि एक ग्राफ जी और एक पेड़ टी दिया गया है, यह रैखिक समय में सत्यापित किया जा सकता है कि टी जी का एक न्यूनतम फैले पेड़ है लेकिन हमारे पास अभी तक एमएसटी की गणना करने के लिए एक निर्धारक रैखिक समय एल्गोरिथ्म नहीं है। बेशक अंतर छोटा है (1 बनाम ), लेकिन यह अभी भी है :)$\alpha(n)$

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शायद यह जोड़ना उचित है कि एक यादृच्छिक एल्गोरिदम है जो अपेक्षित रैखिक समय (कार्गर-क्लेन-टार्जन एल्गोरिथ्म) में चलता है।

— सैशो निकोलेव

इसके अलावा, यदि कोई व्यक्ति लिंक चाहता है, तो यह सबसे सरल रैखिक-समय एमएसटी सत्यापन एल्गोरिथ्म है, जिसके बारे में मुझे पता है: webhome.cs.uvic.ca/~val/Publications/Algorithmica-MSTverif.ps ।

— साशो निकोलेव

Answer 2

इस पत्र से पता चलता है कि अधिकतम प्रवाह, 3SUM और APSP सहित 3 समस्याओं के लिए YES और NO उदाहरण दोनों के लिए सत्यापन एल्गोरिदम हैं , जो स्वयं समाधान की गणना के लिए ज्ञात सीमा की तुलना में एक बहुपद कारक से तेज़ हैं ।

समस्याओं का एक वर्ग है, अर्थात जो समय को बेहतर बनाते हैं वह है SETH- कठिन, जिसके समाधान के लिए संकलित करने के लिए NO उदाहरणों को सत्यापित करने के लिए चल रहे समय की तुलना में तेजी से होने की संभावना नहीं है, अन्यथा इस पेपर से अनुमान को Neteterministic कहा जाता है मजबूत घातीय समय परिकल्पना विफल होगी।

Answer 3

कुछ समस्याओं के लिए कोई फर्क नहीं लगता है। विशेष रूप से, Vassilevska विलियम्स और विलियम्स शो:

• बूलियन मैट्रिक्स गुणन के लिए, मैट्रिक्स उत्पाद की गणना करना और मैट्रिक्स उत्पाद सबकुबिक-समतुल्य की पुष्टि करना, जिसका अर्थ है कि उनके पास या तो सबकुबिक-टाइम एल्गोरिदम हैं या दोनों में से कोई भी नहीं है।

• मैट्रिक्स उत्पाद गणना और किसी भी "विस्तारित (न्यूनतम, +) संरचना" पर सत्यापन के लिए भी यही सच है (परिभाषा के लिए कागज देखें, लेकिन इसमें बहुत सारी प्राकृतिक समस्याएं शामिल हैं)।

(अब, निश्चित रूप से, यह संभव है कि इन समस्याओं में सबकुबिक एल्गोरिदम हैं, और फिर कंप्यूटिंग और सत्यापन के बीच एक बहुपद अंतर हो सकता है, लेकिन इन समस्याओं के लिए एक घन अंतर नहीं हो सकता है। और यह मेरे लिए प्रशंसनीय है। वास्तव में वे सभी को अनिवार्य रूप से घन समय की आवश्यकता होती है।)

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दूसरी ओर, एक बड़े पर्याप्त क्षेत्र में मैट्रिक्स गुणा के लिए, सत्यापन के लिए एक द्विघात समय यादृच्छिक एल्गोरिदम है, जबकि उत्पाद की गणना के लिए सबसे तेज़ चलने का समय n ^ ओमेगा है।

— थाचफॉल

@ थैचफॉल: हां, हालांकि बहुत से लोग ओमेगा = 2 को मानते हैं ... इसके अलावा, यह व्यापक रूप से मान्यता है कि बूलियन मैट्रिक्स गुणा (यानी बूलियन और सेमी रिंग पर मल्टीप्लेयर मैट्रिक्स) मैट्रिक्स गुणन पर कुछ हद तक एक अलग प्रकृति है मैदान।

— जोशुआ ग्रोको

Answer 4

• $\Omega(n)$$\Omega(\log n)$

  $O(1)$

• $\Omega(n \log n)$$O(n)$

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$\Omega(n \log n)$$O(1)$

$O(n)$

$\Theta(n)$

Answer 5

मुझे लगता है कि कई उदाहरण एनपी-पूर्ण समस्याओं से आते हैं जो पी में गिरते हैं जब हम एक या अधिक मापदंडों को ठीक करते हैं ।

$k$$k$$k$

$k$$P=NP$$k$$\Omega(n^k) )$

$k$

Answer 6

$\tilde{O}(n^6)$$\tilde{O}(n^3)$

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पूरक (संयोजकता) साक्षी के लिए और भी आसान है!

— योनातन एन

Answer 7

एबॉड एट अल द्वारा एक पेपर। सोडा 2016 के लिए हाल ही में स्वीकार किया गया है कि उप-समरूपतावाद को में हल नहीं किया जा सकता है$O(n^{2-\epsilon})$

$\sf{P}$$\Omega(n^{1-\epsilon})$

$O(n^2/\log n)$ एल्गोरिथ्म जड़, निरंतर-डिग्री वाले पेड़ों के लिए जाना जाता है (जिसके लिए एबॉड एट अल। कम बाध्य परिणाम अभी भी लागू होते हैं)। SETH के तहत, इस समस्या के लिए लगभग रैखिक खोज-सत्यापित अंतराल अनिवार्य रूप से तंग है।