डायकोटॉमी प्रमेय किस पर फ़ीड करते हैं?

Question

यह सर्वविदित है कि NP -problems के कुछ वर्गों में डाइकोटॉमी प्रमेय हैं, जो इस बात की गारंटी देते हैं कि कक्षा में प्रत्येक कार्य या तो NP -complete है या P में है । इस तरह के सबसे प्रसिद्ध परिणाम शहाफर के द्विभाजन प्रमेय के साथ-साथ कई सामान्यीकरण भी हैं।

मेरी समझ यह है कि इन द्विभाजन प्रमेयों को साबित करना वास्तव में आसान नहीं है। मुझे आश्चर्य है कि, अगर कुछ वर्गों के पास डायकोटॉमी प्रमेय है, तो कुछ के लिए अपेक्षाकृत कम स्पष्टीकरण है, जबकि अन्य नहीं हैं? आवश्यक समस्या संरचना क्या है जो इन प्रमेयों को संभव बनाती है? या शायद ऐसी कोई स्पष्ट रूप से समझी गई संरचना नहीं है, बल्कि यह प्रत्येक मामले में एक रहस्य है कि कक्षा एक द्विध्रुवीय एनीम क्यों करती है या नहीं करती है?

Comments

अच्छा प्रश्न। मुझे लगता है कि एक अंतर्ज्ञान यह है कि हम समस्याओं को एक ऐसे वर्ग तक सीमित कर रहे हैं, जिनका अच्छा वर्णन है।

— केवह

यह एक उत्तर नहीं है, लेकिन शायद यह इंगित करता है कि एक उत्तर कहां हो सकता है (नहीं): यदि समस्याओं का वर्ग काफी बड़ा है तो सभी को शामिल करना होगा (या यहां तक ​​कि इसका एक विशेष उपसमुच्चय), तो लडनेर का प्रमेय लागू होगा और एक द्वंद्ववाद नहीं होगा। तो कम से कम $\mathsf{NP}$

— डाइकोटॉमी के

Dichotomies तब होती है जब भाषा ठीक भेद बनाने के लिए बहुत मोटे होती है।

— आंद्र सलाम

Answer 1

Schaefer के द्विभाजन प्रमेय के मामले के लिए, अनौपचारिक रूप से, गैर-Schaefer तार्किक संबंधों से निर्मित बूलियन CNF फ़ार्मुलों की सार्वभौमिक अभिव्यंजक शक्ति dichotomy के पीछे है। अस्तित्वगत मात्रा का उपयोग करके इस तरह के सूत्र से हर तार्किक संबंध निश्चित है। यह औपचारिक रूप से शेफ़र की अभिव्यक्ति प्रमेय (प्रमेय 2.5) में कहा गया है।