ललित-ग्रसित जटिलता सिद्धांत में उन परिकल्पनाओं के बीच क्या संबंध हैं?

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जटिलता सिद्धांत, एनपी-पूर्णता जैसी अवधारणाओं के माध्यम से, कम्प्यूटेशनल समस्याओं के बीच अंतर करता है जिनके अपेक्षाकृत कुशल समाधान होते हैं और जो कि असाध्य होते हैं। "ललित-दानेदार" जटिलता का उद्देश्य गुणात्मक मार्गदर्शिका में इस गुणात्मक भेद को परिष्कृत करना है ताकि समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सटीक समय मिल सके। अधिक विवरण यहां देखे जा सकते हैं: http://simons.berkeley.edu/programs/complexity2015

यहाँ कुछ महत्वपूर्ण परिकल्पनाएं दी गई हैं:

ETH: - को कुछ लिए समय की आवश्यकता होती है । $3$ $SAT$ $2^{\delta n}$ $\delta > 0$

SETH: प्रत्येक , एक ऐसा है जो - पर वैरिएबल, क्लॉज़ को समय में हल नहीं किया जा सकता है । $\varepsilon > 0$ $k$ $k$ $SAT$ $n$ $m$ $2^{(1-\varepsilon)n}~poly~m$

यह ज्ञात है कि SETH ETH से अधिक मजबूत है और वे दोनों से अधिक मजबूत हैं, और दोनों से अधिक मजबूत हैं । $P \neq NP$ $FTP\neq W[1]$

चार अन्य महत्वपूर्ण अनुमान:

3SUM अनुमान: में $n$ पूर्णांकों पर 3SUM के लिए समय की आवश्यकता होती है $\{-n^3,…,n^3\}$ $n^{2-o(1)}$
OV अनुमान: vectors पर ओर्थोगोनल वैक्टर $n$ को $n^{2-o(1)}$ समय की आवश्यकता होती है ।
APSP अनुमान: $n$ nodes और $O(\log n)$ बिट वेट पर सभी जोड़े सबसे कम पथ को $n^{3-o(1)}$ समय की आवश्यकता होती है ।
बीएमएम अनुमान: बूलियन मैट्रिक्स गुणन के लिए किसी भी "कॉम्बिनेटरियल" एल्गोरिथ्म के लिए $n^{3-o(1)}$ समय की आवश्यकता होती है ।

यह ज्ञात है कि SETH का तात्पर्य OV अनुमान (रयान विलम्स, 2004) है। रयान के सबूत के अलावा कि SETH $\implies$ OV अनुमान, ज्ञात अनुमानों से संबंधित कोई अन्य कटौती नहीं है।

मेरा प्रश्न: क्या आप इस क्षेत्र में अन्य संबंधित परिकल्पनाओं या अनुमानों को जानते हैं? उनके बीच क्या संबंध हैं?

आभार: सूचीबद्ध परिणाम वर्जीनिया वासिलिवस्का विलियम्स की स्लाइड्स से हैं, उसने मुझे इस प्रश्न के आंशिक उत्तर भी दिए।

स्लाइड्स से लिंक करें: http://theory.stanford.edu/~virgi/overview.pdf

— रूपेई जू
स्रोत

हाय रूपी, मैं विभिन्न ग्राफ रीचैबिलिटी और अड़चन की समस्याओं पर काम कर रहा हूं जो आपके द्वारा बताए गए ठीक दाने वाली जटिलता समस्याओं की बहुत अच्छी सूची से संबंधित हैं। यदि आप सभी इच्छुक हैं, तो मुझे एक ईमेल शूट करें और हम कुछ समय चैट कर सकते हैं। मैं ऐसे अन्य लोगों को देख कर प्रसन्न हूं जो स्टैटेक्सचेंज पर ठीक दानेदार जटिलता में रुचि रखते हैं। :)

— माइकल वीहर

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एक तुच्छ कमी: "कॉम्बिनेटरियल" सबकुबिक एपीएसपी का अर्थ है "कॉम्बिनेटरियल" सबकुबिक बीएमएम। 3SUM के लिए, इस स्लाइड के पेज 14 में संबंधित समस्याओं के बीच संबंध देखें । cs.uwaterloo.ca/~tmchan/talks/bsg_stoc_talk.pdf BMM के लिए, इस पत्र की धारा जी को देखने के theory.stanford.edu/~virgi/tria-mmult-conf.pdf । APSP के लिए, वर्जीनिया द्वारा कई कागजात हैं जो उपकुबिक समानता दिखाते हैं।

— थाचफॉल

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@Thatchaphol, इस तरह के साझा करने के लिए धन्यवाद!

— रूपेई जू

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यह एक हालिया पेपर है जिसमें नोंडेटर्मिनिस्टिक स्ट्रॉन्ग एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथिसिस (NSETH) की शुरुआत की गई है, जो SETH का विस्तार है।

NSETH: हर , एक ऐसा जो -DNF-TAUT को nondeterministic time में हल नहीं किया जा सकता है । $\epsilon >0$ $k$ $k$ $2^{(1-\epsilon)n}$

NSETH का अर्थ है SETH। यदि NSETH सच है, तो कुछ समस्याओं में SETH कम सीमाएँ नहीं होती हैं (क्योंकि उनके पास नियतात्मक एल्गोरिदम की तुलना में तेज़ी से nondeterministic एल्गोरिदम हैं)।

इस पत्र ने गैर-यूनिफ़ॉर्म नॉनडेर्मिनिस्टिक स्ट्रॉन्ग एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथिसिस (NUNSETH) भी पेश किया, जो एक परिकल्पना है जो NSETH और SETH से अधिक मजबूत है।

NUNSETH: हर के लिए , वहाँ है एक ऐसी है कि -DNF-तना हुआ आकार के गैर नियतात्मक सर्किट परिवारों द्वारा मान्यता प्राप्त नहीं किया जा सकता है । $\epsilon >0$ $k$ $k$ $2^{(1-\epsilon)n}$

— Rosetta
स्रोत

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अग्रणी कार्य के लिए धन्यवाद! रेयान विलियम्स का मानना है कि SETH गलत है। क्या आपको लगता है कि NSETH सच है?

— रुपई जू

2

यह कागज नोट करता है कि रयान ने वास्तव में दिखाया है कि SETH का MA संस्करण गलत है, जो लगता है कि NSETH के सत्य होने की संभावना नहीं है। फिर भी, कुछ अर्थों में, इन कुछ अन्य अनुमानों के बीच संबंध दिखाने के लिए, आपको सबसे पहले NSETH का खंडन करते हुए प्रगति करनी होगी।

— पलिंड्रोम

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एक और दिलचस्प अनुमान कठोरता है फिक्स्ड ( यहाँ देखें )। $k$ $k$

यह वास्तव में आपके लिए जिस तरह का संबंध है, वैसा नहीं है, लेकिन एक दिलचस्प FOCS पेपर था, जिसमें दिखाया गया था कि "मिलान त्रिकोण" नामक एक प्राकृतिक समस्या SETH, 3SUM, या APSP के किसी भी अनुमान के तहत कठिन है ( यहां देखें )। वर्तमान में यह ज्ञात नहीं है कि इन तीन अनुमानों में से कोई भी एक-दूसरे को किसी भी दिलचस्प तरीके से प्रभावित करता है या नहीं - यह फाइन-ग्रेन्ड कॉम्प्लेक्सिटी के प्रमुख खुले प्रश्नों में से एक है।

— GMB
स्रोत

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धन्यवाद ग्रेग! इस सवाल को यहाँ पोस्ट करने की मेरी मूल प्रेरणा इस क्षेत्र के सभी मौजूदा परिणामों को इकट्ठा करना है, जैसे कि द पेरीमेटलाइज़्ड

— Rupei Xu

-clique लिंक टूट जा रहा है। बस सोचा था कि मैं आपको बता दूंगा। :)

k

$k$

— माइकल वीहर

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Backurs द्वारा अपेक्षाकृत हाल के परिणाम, Indyk STOC 2015 तक स्वीकार किए जाते हैं कि में कंप्यूटिंग संपादित दूरी समय → सेठ बड़े करीने में झूठी टाई / नए उभरते "ठीक कणों का जटिलता" अनुसंधान कार्यक्रम / प्रतिमान के मजबूत। वे विलियम्स / एसटीएच → ऑर्थोगोनल वेक्टर्स अनुमान के परिणाम पर / से संबंधित हैं। (मुख्यधारा की मीडिया, बोस्टन ग्लोब द्वारा कवर)। $O(n^{2-\epsilon})$

एडिटिंग डिस्टेंस स्ट्रेंथली सबक्वैड्रिक टाइम (जब तक SETH गलत न हो) / Backurs, Indyk में गणना नहीं की जा सकती
एक नया नक्शा कम्प्यूटेशन / Pavlus, क्वांटा पत्रिका की सीमाओं का पता लगाता है
40 वर्षों के लिए, कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने एक समाधान की तलाश की जो मौजूद नहीं है / बोस्टन ग्लोब
Puzzling Evidence / RJLipton ब्लॉग

एक उचित रूप में बहुत समान Wehar की वजह से परिणाम "2 DFA चौराहे खालीपन" समस्या और पाता है कि मानता है समय → सेठ झूठी। $O(n^{2-\epsilon})$

उप -क्रमिक समय / cstheory SE में नियमित भाषाओं के प्रतिच्छेदन की शून्यता का निर्णय करना

Wehar, अन्य परिणाम है कि भी सामान्य "ठीक कणों का जटिलता" कनेक्शन में फिट लग रहे है कि एक ही में DFA चौराहे खालीपन समय → $k$ $n^{o(k)}$ $NL \subsetneq P$

प्रतिच्छेदन गैर-शून्यता / वीहर के लिए कठोरता परिणाम

इन पंक्तियों के साथ यह भी ध्यान देने योग्य है कि डीएफए निर्माण और लेवेंसहाइटिन गणना के बीच एक महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण संबंध है जैसे कागज में

लेवेनशेटिन ऑटोमेटा / शुल्ज, मिहोव के साथ फास्ट स्ट्रिंग सुधार

— vzn
स्रोत

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अपनी पोस्ट VZN में कुछ छोटे सुधार जोड़े। मेरा जिक्र करना आपको अच्छा लगा। मैं डीएफए चौराहे की समस्या के बारे में बहुत भावुक हूं और उम्मीद है कि भविष्य में साझा करने के लिए और चीजें होंगी। :)

— माइकल वीहर