संख्या क्षेत्र छलनी की सबसे खराब स्थिति क्या है?

Question

कंपोजिट जनरल नंबर फील्ड छलनी को पूर्णांक फैक्टराइजेशन के लिए सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है । यह एक यादृच्छिक एल्गोरिथ्म है और हमें अपेक्षित जटिलता मिलती है फैक्टर को फैक्टर । एन ओ ( ई $N\in\Bbb N$$N$$O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$$N$

मैंने इस यादृच्छिक एल्गोरिदम पर सबसे खराब स्थिति जटिलता के बारे में जानकारी की तलाश की। हालांकि मैं जानकारी का पता लगाने में असमर्थ हूं।

(१) संख्या क्षेत्र छलनी की सबसे खराब स्थिति क्या है?

(२) निर्धारक उपसमिति एल्गोरिथ्म देने के लिए भी क्या यहाँ यादृच्छिकता को हटाया जा सकता है?

Answer 1

संख्या क्षेत्र छलनी का कड़ाई से विश्लेषण नहीं किया गया है। आप जिस जटिलता को उद्धृत करते हैं, वह केवल विधर्मी है। एकमात्र उपसंचाई एल्गोरिथ्म जिसका कठोरता से विश्लेषण किया गया है, डिक्सन का कारक है एल्गोरिथ्म , जो द्विघात चलनी के समान है। विकिपीडिया के अनुसार, डिक्सन का एल्गोरिथ्म समय में चलता है । डिक्सन का एल्गोरिथ्म यादृच्छिक है।$e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

सभी (हेयुरिस्टिकली) ज्ञात उपसमिति एल्गोरिदम को यादृच्छिककरण की आवश्यकता होती है। डिक्सन के एल्गोरिदम को पूर्णांक को खोजने की आवश्यकता है जैसे कि चिकनी है (छोटे अपराधों के उत्पाद में फैक्टर किया जा सकता है) और "यादृच्छिक", और नंबर-फ़ील्ड छलनी की समान लेकिन अधिक जटिल आवश्यकताएं हैं। अण्डाकार वक्र विधि को एक अण्डाकार वक्र मोडुलो खोजने की आवश्यकता है जिसका क्रम modulo का कुछ कारक चिकना है। दोनों ही मामलों में एल्गोरिदम को व्युत्पन्न करना कठिन लगता है।x $x$एन $x^2 \pmod{n}$$n$$n$

इन सभी एल्गोरिदम की नाममात्र सबसे खराब स्थिति जटिलता अनंत है: द्विघात चलनी और संख्या-क्षेत्र छलनी के मामले में आप हमेशा एक ही उत्पन्न कर सकते हैं , जबकि अण्डाकार वक्र विधि में आप हमेशा एक ही अण्डाकार वक्र उत्पन्न कर सकते हैं। । इसके आसपास कई तरीके हैं, उदाहरण के लिए समानांतर में एक घातांक समय एल्गोरिथ्म चल रहा है।$x$

Comments

जब से तुम भी ईसीएम को छुआ: हम एक subexp एल्गोरिथ्म यादृच्छिक गणना करने के लिए पता है में समय ईसीएम का उपयोग कर जहां अज्ञात और बेतरतीब है। क्या आपके पास यह अनुमान है कि इस एल्गोरिथ्म के कितने परीक्षण और प्राप्त करने के लिए पर्याप्त हैं जहाँ ? ओ ( ई एक्स पी ( $n!r$rn! आरएन! s(r,s)=$O(exp(\sqrt{\log n}))$$r$$n!r$$n!s$$(r,s)=1$

मुझे पता नहीं है कि क्या है है, लेकिन आम तौर पर बोलते हुए, ECM में मापदंडों का चयन करते समय, हम इस संभावना बीच संतुलन बना रहे हैं कि वक्र पर्याप्त रूप से चिकना है, और प्रत्येक वक्र का परीक्षण करने के लिए रनिंग टाइम आवश्यक है। आमतौर पर संतुलन बिंदु जब है । इसलिए परीक्षण की अपेक्षित संख्या होनी चाहिए । पी टी 1 / पी ≈ टी ओ ( exp $n!r$$p$$T$$1/p \approx T$$O(\exp\sqrt{\log n})$

— युवल फिल्मस

n n ! आर आर एन ! आर एन ! s ( n ! r , n ! s ) = n ! ( आर , एस ) = $n!$ का भाज्य है । यह गुटबाजी की सीधी रेखा जटिलता प्राप्त करने के लिए एक खुली समस्या है। हम गणना करने के लिए कैसे पता जहां subexp समय में अज्ञात है। अगर हम दो अलग-अलग और को जानते हैं, तो हम प्राप्त कर सकते हैंsubexp समय अगर में । $n$$n!r$$r$$n!r$$n!s$$(n!r,n!s)=n!$$(r,s)=1$

मुझे याद है कुछ समय पहले की गणना। मुझे नहीं लगता कि मुझे एक सुधार मिल सकता है क्योंकि एक कैच था और मुझे विवरण याद नहीं है।

अंतिम पैराग्राफ अजीब लगता है और अधिक स्पष्ट किया जा सकता है। क्या आप एक ऐसे परिदृश्य के बारे में बात कर रहे हैं जहाँ RNG "टूटा हुआ" इस अर्थ में है कि यह समग्र वितरण स्थान का नमूना नहीं है? लेकिन तब वहाँ समानता नहीं होगी? क्योंकि यह समानांतर में समान "टूटा हुआ" आरएनजी होगा? या यह विचार है कि यह समानांतर में चलने वाला एक अलग आरएनजी होगा? फैक्टरिंग एल्गोरिदम की वास्तव में समानांतर जटिलता वास्तव में एक संपूर्ण अन्य जटिल विषय है जैसे कुछ को दूसरों की तुलना में बेहतर ढंग से समानांतर किया जा सकता है, बड़े-ओ बिल्कुल लागू नहीं हो सकते हैं, आदि

— vzn

Answer 2

पिछले कुछ महीनों में, संख्या क्षेत्र छलनी के एक संस्करण का कठोरता से विश्लेषण किया गया है: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-fororing

मूल रूप से सबसे खराब स्थिति में चलने का समय$L_n(1/3, 2.77)$ बिना शर्त और GRH के तहत। यह "क्लासिक" नंबर फ़ील्ड छलनी के लिए नहीं है, लेकिन थोड़ा संशोधित संस्करण है जो जटिलता विश्लेषण को आसान बनाने के लिए अधिक चरणों को यादृच्छिक बनाता है।$L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

मेरा मानना ​​है कि संबंधित पेपर अभी भी समीक्षाधीन है।

अद्यतन: कागज अब बाहर है। जोनाथन डी। ली और रामरत्नम वेंकटेशन, "एक यादृच्छिक संख्या क्षेत्र छलनी का कठोर विश्लेषण," जर्नल ऑफ़ नंबर थ्योरी 187 (2018), पीपी। 92-159, doi: 10.1016 / j.jjj.2017.10.019

Comments

क्या आप अधिक संपूर्ण संदर्भ दे सकते हैं, जहां हम अधिक जान सकते हैं, शीर्षक, लेखक के साथ, और जहां प्रकाशित किया गया है, ताकि उत्तर अभी भी उपयोगी हो, भले ही लिंक काम करना बंद कर दे?

— DW

चूंकि परिणाम हाल ही में घोषित किया गया था, मेरा मानना ​​है कि यह वर्तमान में समीक्षा के अधीन है जैसा कि मेरे उत्तर में इंगित किया गया है, और इसलिए अभी तक प्रकाशित नहीं हुआ है। प्रकाशन की जानकारी उपलब्ध होने पर मैं भविष्य में अपने उत्तर को अपडेट करूंगा।

— djao

FWIW यह arxiv.org पर नहीं लगता है। हालाँकि, लेखक रामरत्नम वेंकटेशन हैं, जो भविष्य में होने वाली खोजों को आवश्यक बनाने में मदद कर सकते हैं।

— पीटर टेलर

यह वास्तव में एक दो-लेखक का काम है (जेडी ली और आर। वेंकटेशन): cmi.ac.in/activities/…

— Sary