क्या यह अभी भी प्लानर ग्राफ के त्रिभुज की गणना की जटिलता का निर्धारण करने के लिए खुला है?

एक निरंतर के लिए , एक रेखीय समय में निर्धारित कर सकते हैं, एक इनपुट ग्राफ को देखते हुए क्या उसके, treewidth है । हालांकि, जब और दोनों को इनपुट के रूप में दिया जाता है, तो समस्या एनपी-हार्ड है। ( स्रोत ) $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

हालांकि, जब इनपुट ग्राफ प्लानर होता है , तो जटिलता के बारे में बहुत कम जाना जाता है। समस्या स्पष्ट रूप से 2010 में खुली थी, एक दावा जो 2007 में इस सर्वेक्षण में और शाखा विकेंद्रीकरण के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर भी दिखाई दिया । इसके विपरीत, समस्या का दावा एनपी-हार्ड (संदर्भ के प्रमाण के बिना) पहले उल्लेखित सर्वेक्षण के एक पुराने संस्करण में किया गया है, लेकिन मुझे लगता है कि यह एक त्रुटि है।

दिया यह अभी भी समस्या की जटिलता का निर्धारण करने के लिए खुला है और एक समतल ग्राफ , का निर्धारण करने का treewidth है ? यदि ऐसा है, तो क्या हाल ही में एक पेपर में यह दावा किया गया था? क्या कोई आंशिक परिणाम ज्ञात हैं? यदि ऐसा नहीं है, तो इसे हल कौन करता है? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
स्रोत

दिलचस्प सवाल, सर्वेक्षण को रिबूट करने के लिए चीयर्स। मेरे 2 सेंट में चिप करने के लिए, मेरा मानना है कि रैखिक समय प्रमाण के लिए मूल स्रोत Bodlaender है, लेकिन एसिम्प्टोटिक जटिलता नोटेशन द्वारा छिपाया गया निरंतर कारक बहुत बड़ा है। शायद आपके सवाल का एक दिलचस्प स्पिन-ऑफ / विस्तार यह होगा कि क्या इस संदर्भ में प्लानर प्रतिबंध अधिक व्यावहारिक स्थिर कारक की अनुमति देता है?

— फासरमेलर

मुझे लगता है कि यह एक "प्रसिद्ध और पुरानी समस्या" है, इसलिए यदि आपको एक पेपर नहीं मिलता है तो यह शायद अभी भी एक खुली समस्या है। अन्य "साक्ष्य": पाठ्यक्रम ग्राफ से एल्गोरिथ्म, अनुप्रयोग और कार्यान्वयन (2015), पाठ्यक्रम से व्याख्यान व्याख्यान और एल्गोरिदम: उन्नत विषय (2014), एल्गोरिदम का विश्वकोश (2008)।

— मार्जियो डी बियासी

@ सरिएल: यह एक स्थिर कारक (3/2) के भीतर इस तथ्य का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है कि यह और शाखाएं एक दूसरे के एक निरंतरता के भीतर हैं और प्लानेर शाखा को बहुपद समय में गणना की जा सकती है। इसके अलावा यह लीटन-राव का उपयोग करते हुए सभी ग्राफ़ के लिए लॉग के भीतर अनुमानित किया जा सकता है; kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— डेविड

@Fasermaler Bodlaender के एल्गोरिथ्म में पहला चरण (और पिछले एल्गोरिदम जो FPT थे लेकिन रैखिक समय नहीं था) एक अनुमानित पेड़ के अपघटन की गणना करना है जिस पर कोई इष्टतम अपघटन खोजने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर सकता है। तंग, दूसरा चरण जितना तेज़। तो तथ्य यह है कि planar treewidth को तंग करने वाले अनुमानों का उपयोग करके पाया जा सकता है, ब्रांच के उपयोग से पैरामीटर पर बेहतर निर्भरता (रैखिक से बहुपद में वापस जाने की कीमत पर) होने की संभावना है। लेकिन मुझे ऐसे कागजात की जानकारी नहीं है जो इस पर सावधानीपूर्वक विश्लेषण करते हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

ट्रेविद को सन्निकटन की समस्या के बारे में। विरल / संतुलित नोड-विभाजक खोजने के लिए एक Alpha -approximation treewidth के लिए एक Alpha -प्रकरण प्रदान करेगा। इस प्रकार, सामान्य रेखांकन में हम OV को ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi और से planar और उचित लघु-बंद परिवारों में प्राप्त करेंगे। सामान्य रेखांकन के लिए कोई जहां treewidth है।

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— चंद्रा चकुरी

जहां तक मुझे पता है कि प्लानर ग्राफ के treewidth की गणना करने की एनपी-पूर्णता अभी भी खुली है। सबसे हाल का संदर्भ मुझे पता है कि 2012 से Bodlaender का एक सर्वेक्षण है, जिसे 'फिक्स्ड-पेरामेट ट्रैक्टिबिलिटी ऑफ ट्रेविद एंड पाथेवोल्यूशन' कहा जाता है, जो माइक फैलो के 65 वें जन्मदिन के उत्सव में दिखाई दिया था। समस्या सर्वेक्षण के निष्कर्ष में सूचीबद्ध है।

— बार्ट जानसन
स्रोत

धन्यवाद! (और अन्य संदर्भों का सुझाव देने के लिए @MarzioDeBiasi को भी धन्यवाद।) जिज्ञासा से बाहर, क्या किसी को यह भी पता है कि समस्या पहले सामने आई थी?

— a3nm