ग्राफ़ के वर्णक्रमीय विभाजन के लिए पत्रों का श्रेय

Question

तो एक अनिर्दिष्ट है घ नियमित ग्राफ और एस प्रमुखता के कोने के एक सबसेट है ≤ | वी | / 2 , फोन किनारे विस्तार के एस मात्रा$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

जहाँ A में एक समापन बिंदु और B में एक समापन बिंदु के साथ किनारों की संख्या है । फिर एज एक्सपेंशन प्रॉब्लम के साथ एक सेट S ढूंढना है | एस | ≤ | वी | / 2 जो ϕ ( S ) को कम करता है । कॉल φ ( जी ) एक इष्टतम सेट के विस्तार।$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

स्पेक्ट्रल विभाजन एल्गोरिथ्म एज विस्तार समस्या के लिए ढूंढना आइजन्वेक्टर से काम करता है का दूसरा सबसे बड़ा eigenvalue की एक , की निकटता मैट्रिक्स जी , और तब सभी `` सीमा सेट '' पर विचार एस फार्म की { v : एक्स ( v ) ≤ t } सभी थ्रेसहोल्ड t पर । अगर हम λ 2 को मैट्रिक्स 1 का दूसरा सबसे बड़ा आइगेनवल बनाते हैं$x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, फिर स्पेक्ट्रल विभाजन एल्गोरिथ्म के विश्लेषण से पता चलता है किएल्गोरिदम द्वारा पाया गयासबसे अच्छा थ्रेशोल्ड सेटSSPसंतुष्ट करता है$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

जो कि चीगर की असमानताओं से मिलता है

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

तथा

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

ऐसा दावा करने वाला पहला पेपर कौन सा है? विचारों के लिए क्या कागजात हैं? यहाँ मुझे क्या मिला है:

• एन। अलोन और वीडी मिलमैन। , रेखांकन के लिए आइसोपरिमेट्रिक असमानताएं, और सुपरकांसेन्ट्रेटर, जर्नल ऑफ कॉम्बिनेटरियल थ्योरी, सीरीज बी, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  "सरल" Cheeger असमानता की भावना में एक परिणाम साबित , लेकिन शिखर के लिए किनारे विस्तार के बजाय विस्तार। मान्यता है कि एज विस्तार और eigenvalues ​​के बीच संबंध Cheeger द्वारा अध्ययन में एक समस्या का असतत संस्करण है $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  जे। चेगर। लाप्लासियन के सबसे छोटे eigenvalue के लिए एक निचली सीमा। विश्लेषण में समस्याएं, 1970।

• एन। अलोन। Eigenvalues ​​और विस्तारक। Combinatorica। 6 (2): 83-96, 1986।

  $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• ए। सिनक्लेयर, एम। जेरुम। अनुमानित गिनती, समान पीढ़ी, और तेजी से मार्कोव श्रृंखलाओं का मिश्रण। सूचना और संगणना 82: 93-133, 1989 (सम्मेलन संस्करण 1987)

  जैसा कि ऊपर कहा गया है कि विषमताओं को सिद्ध करो। (उनके पेपर समय-प्रतिवर्ती मार्कोव श्रृंखलाओं के _conductance_ का अध्ययन करते हैं, जो नियमित ग्राफ़ में बराबर _edge विस्तार_ के लिए होता है।) वे तकनीकों के लिए एलोन और मिलमैन और अलोन के काम का श्रेय देते हैं। वे नियमित ग्राफ़ में समय और किनारे के विस्तार के मिश्रण के बीच एक संबंधित बाध्यता के लिए एल्डस को भी श्रेय देते हैं।

• एम मिहेल। मार्कोव श्रृंखलाओं का संचालन और अभिसरण-विस्तारक का एक संयोजन उपचार। FOCS 1989, पृष्ठ 526-531

  $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

क्या अन्य कागजात हैं जिन्हें प्रमाण तकनीकों के संदर्भ में श्रेय दिया जाना चाहिए?

ग्राफ विभाजन एल्गोरिदम के रूप में उपरोक्त परिणामों के एल्गोरिथम का महत्व कब माना जाता है? उपरोक्त पत्रों में ऐसी कोई चर्चा नहीं है।

Comments

$[A,B]$$A$$B$$[S, \overline{S}]$

Answer 1

$\lambda_2$$\lambda_2$

दिलचस्प बात यह है कि फिडलर के पेपर के अंत में एक टिप्पणी है, 1971 के एक ग्राफ पर एंडरसन और मॉर्ले द्वारा लैप्लेशियन के आइगेनवेल्यूज शीर्षक से एक स्वतंत्र तकनीकी रिपोर्ट को इंगित करते हुए, जिसमें स्पष्ट रूप से समान विचार थे। हालांकि, यह एक ही शीर्षक के साथ एंडरसन और मॉर्ले का पेपर 1985 में केवल रैखिक और मल्टीलाइनर बीजगणित में दिखाई दिया।

Answer 2

कुछ अतिरिक्त संदर्भ मुझे उस युग के याद हैं:

1) डियाकोनिस और स्ट्रोक, मार्कोव श्रृंखलाओं के स्वदेशी के लिए ज्यामितीय सीमा, द एनल्स ऑफ एप्लाइड प्रोबेबिलिटी; 1991; लेकिन मुझे याद है कि मुझे 1990 में कुछ समय के लिए हाथ मिलाने थे

2) डोडज़ीउक, डिफरेंशियल इक्वेशन, इसोपरिमेट्रिक असमानता और कुछ रैंडम वॉक की क्षणभंगुरता, ट्रांजैक्शन ऑफ द अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी, 1984।

इसके अलावा, उस समय सिनक्लेयर और जेरुम के लिए एक महत्वपूर्ण "एल्गोरिथम साथी" पेपर था

3) डायर फ्रेज़े कन्नन, एक यादृच्छिक बहुपद समय एल्गोरिथ्म उत्तल निकायों की मात्रा, एसटीओसी 89 की स्वीकृति के लिए। निश्चित रूप से, यहां परिणाम एसजे के शीर्ष पर बनाए गए थे।