XOR द्वार का उपयोग करते हुए सबसे छोटा सर्किट आकार

Question

मान लीजिए कि हमें n बूलियन वेरिएबल्स का एक सेट x_1, ..., x_n और m फ़ंक्शंस का एक सेट y_1 ... y_m दिया गया है, जहाँ प्रत्येक y_i इन वेरिएबल्स का एक (दिए गए) सबसेट का XOR है। लक्ष्य इन सभी y_1 ... y_m फ़ंक्शंस की गणना करने के लिए आपको न्यूनतम XOR ऑपरेशंस की गणना करना है।

ध्यान दें कि XOR ऑपरेशन का परिणाम, कहते हैं कि x_1 XOR x_2 का उपयोग कई y_j की गणना में किया जा सकता है, लेकिन इसे एक के रूप में गिना जाता है। इसके अलावा, ध्यान दें कि यह x_i के बहुत बड़े संग्रह के XOR की गणना करने के लिए उपयोगी हो सकता है (किसी भी y_i फ़ंक्शन से बड़ा, जैसे कि सभी x_i के XOR की गणना) ताकि y_i की अधिक कुशलता से गणना की जा सके,

समान रूप से, मान लें कि हमारे पास एक बाइनरी मैट्रिक्स ए है, और एक वेक्टर एक्स है और लक्ष्य वेक्टर वाई की गणना करना है जैसे कि एएक्स = वाई जहां जीएफ (2) में किए गए सभी ऑपरेशन न्यूनतम संख्या में संचालन का उपयोग करते हैं।

यहां तक ​​कि जब ए की प्रत्येक पंक्ति में वास्तव में एक k (3 k = 3 है) दिलचस्प है। क्या कोई इस सवाल के लिए जटिलता (सन्निकटन की कठोरता) के बारे में जानता है?

मोहम्मद सालवतीपुर

Answer 1

यह एनपी-हार्ड है। देखें: जोन बॉयर, फिलिप मैथ्यूज, रेने पेराल्टा। क्रिप्टोलॉजी के अनुप्रयोगों के साथ तर्क न्यूनतम तकनीक। http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

कमी वर्टेक्स कवर से है और बहुत अच्छी है।

एक ग्राफ साथ m = | ई | , एक परिभाषित मीटर × ( n + 1 ) मैट्रिक्स एक के रूप में: एक [ मैं , जे ] = 1 यदि j < n + 1 और ( मैं , जे ) ∈ ई , और एक [ मैं , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ । दूसरे शब्दों में, यह देखते हुए में n + 1 चर एक्स 1 , ... , एक्स n + 1 हम गणना करने के लिए चाहते हैं मीटर रैखिक रूपों x मैं + एक्स जे + एक्स n + 1 सभी के लिए ( मैं , जे ) ∈ ई ।$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

थोड़ा विचार से पता चलता है कि पंखे के दो के साथ लिए एक एक्सओआर सर्किट है, जो रैखिक परिवर्तन ए को केवल एम + के गेट्स के साथ कंप्यूटिंग करता है , जहां कश्मीर ग्राफ के लिए इष्टतम शीर्ष कवर है। (पहली गणना x i ′ + x n + 1 सभी i i के लिए वर्टेक्स कवर में, k संचालन का उपयोग करते हुए । रैखिक रूप हैं, फिर m अधिक परिचालनों में सभी अभिकलन हैं ।) यह पता चलता है कि यह एक न्यूनतम आकार सर्किट भी है!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

सबूत है कि कमी सही है इतना अच्छा नहीं है। मैं एक छोटा सा सबूत देखना पसंद करूंगा कि यह कमी सही है।

Comments

धन्यवाद रयान। बहुत प्रासंगिक कागज वास्तव में। मैंने सोचा कि क्या समस्या हाइपरग्राफ में वर्टेक्स-कवर के रूप में कठिन हो सकती है, कम से कम उस मामले के लिए जो आप बड़े XOR रकम उत्पन्न करने के लिए नहीं हैं (मुझे लगता है कि इस पेपर में रद्द-मुक्त कहा जाता है)।

— मोहम्मद आर। सलावातिपोर

रद्दीकरण-मुक्त मामले के लिए, एनपी-कठोरता को कुछ अस्पष्ट नाम "एनसेंबल कंप्यूटेशन" (समस्या PO9, A11.1 में) के तहत गैरी-जॉनसन में नोट किया गया है। कमी वास्तव में रयान द्वारा उल्लिखित एक ही है, जीजे में धारा 3.2.2 देखें।

— जेन एच। कोरोहेन