शोर का एल्गोरिथ्म में ओडिल्ज्को सुधार

Question

एक क्वांटम कंप्यूटर पर प्राइम फैक्टराइजेशन और डिसक्रीट लॉगरिथमस के लिए 1995 के अपने पेपर पोलिनोमियल-टाइम एल्गोरिदम में , पीटर डब्लू शोर ने अपने फैक्टराइजेशन एल्गोरिदम के ऑर्डर-फाइंडिंग पार्ट पर सुधार पर चर्चा की। मानक एल्गोरिथ्म एक्स algorithm मोडुलो एन के आदेश आर का एक विभाजक आर ′ आउटपुट करता है । जाँच करने के बजाय अगर r ' = r जाँच करके यदि , तो सुधार निम्नलिखित है:$r'$$r$$x$$N$$r'=r$$x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[एफ] या एक उम्मीदवार को न केवल आर not बल्कि इसके छोटे गुणकों २ आर 2, ३ आर ots, \ डॉट्स पर विचार करना चाहिए , यह देखने के लिए कि क्या ये एक्स के वास्तविक क्रम हैं । [... यह] तकनीक परीक्षणों की अपेक्षित संख्या के लिए सबसे मुश्किल कम हो जाएगा एन से ओ (\ लॉग इन करें \ लॉग एन) के हे (1) यदि पहले ( एन लॉग इन करें \) ^ {1 + \ epsilon} के गुणकों आर । माना जाता है [Odylzko 1995]।$r$$r ′$$2r ′ , 3r ′ , \dots$$x$$n$$O(\log \log n)$$O(1)$$\log n)^{1+\epsilon}$$r ′$

[Odylzko 1995] का संदर्भ एक "व्यक्तिगत संचार" है, लेकिन मैं तब उपस्थित नहीं था जब पीटर शोर और एंड्रयू ओडलीज़को ने इस पर चर्चा की ... मैं पूरी तरह से समझता हूं कि यह एक सुधार क्यों है, लेकिन मुझे नहीं पता कि संख्या कैसे दिखानी है परीक्षण के लिए को कम कर दिया जाता है । क्या आपको इसका कोई प्रमाण पता है?$O(1)$

Comments

एल्गोरिथ्म क्या करता है? अनिवार्य रूप से, यह और एक यादृच्छिक लेता है और आउटपुट करता है । इसलिए यदि आप सभी छोटे गुणकों की जांच करते हैं , तो यह बहुत संभावना है कि इनमें से एक है। क्यों करता है दे ? यह संख्या सिद्धांत है। एंड्रयू ओडलीज़को एक नंबर सिद्धांतवादी है, और मैंने उसे इस समस्या के बारे में सलाह दी, लेकिन मैं इसके लिए अपने औचित्य को पूरी तरह से भूल गया हूं। $r$$\ell \leq r$$r' = r/gcd(\ell,r)$$r'$$r$$(\log n)^{1+\epsilon}$$O(1)$

— पीटर शोर

धन्यवाद! ऐसा लगता है कि मुझे खुद एक संख्या सिद्धांतकार की तलाश करने की आवश्यकता है!

— Frédéric Grosshans

आप MathOverflow की कोशिश करना चाह सकते हैं ।

— केवह

मैं इसके बारे में सोच रहा हूँ। मैं शायद इसके लिए और अधिक "संख्या सिद्धांत" में सुधार करूंगा, अगर मुझे जल्द ही जवाब नहीं मिलता है। मुझे लगता है कि यह योगात्मक कार्यों के योग के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है।

— Frédéric Grosshans

@Kaveh: MathOverflow पर संबंधित प्रश्न , एक संबंधित संख्या सिद्धांत प्रश्न पूछ रहा है, जो मुझे लगता है, समकक्ष है।

— Frédéric Grosshans

Answer 1

MathOverflow पर टेरी ताओ का जवाब ।