लेबल किए गए DAG का न्यूनतम रूप से न्यूनतम टोपोलॉजिकल प्रकार

Question

उस समस्या पर विचार करें, जहां हमें इनपुट एसाइक्लिक ग्राफ $G = (V, E)$ , V से एक लेबलिंग फ़ंक्शन $\lambda$ है जो कुल ऑर्डर < L (उदाहरण के लिए, पूर्णांक) के साथ कुछ सेट L पर है , और जहां हमें पूछा जाता है λ के संदर्भ में लेक्सिकोग्राफिक रूप से सबसे छोटे स्थलाकृतिक जी की गणना करें । दरअसल, एक संस्थानिक तरह के जी का एक गणन है वी के रूप में वी = वी 1 , ... , वी एन$V$$L$$<_L$$G$$\lambda$$G$$V$$\mathbf{v} = v_1, \ldots, v_n$, ऐसा सभी $i \neq j$ , जब भी G में $v_i$ से तक का मार्ग आता है , तो हमारे पास i < j होना चाहिए । लेबल इस तरह के एक संस्थानिक तरह के तत्वों के अनुक्रम है एस के रूप में प्राप्त एल = λ ( v 1 ) , ... , λ ( वी एन ) । ऐसे अनुक्रमों पर लेक्सोग्राफिक क्रम (जिसमें सभी की लंबाई है । V | ) को l < LEX के रूप में परिभाषित किया गया है$v_j$$G$$i < j$$S$$\mathbf{l} = \lambda(v_1), \ldots, \lambda(v_n)$$|V|$$\mathbf{l} <_{\text{LEX}} \mathbf{l'}$ कुछ स्थान नहीं है iff$i$ऐसा है कि$l_i <_L l_i'$ और$l_j = l'_j$ सभी के लिए$j < i$। इस तथ्य पर ध्यान दें किमें प्रत्येक लेबल$S$कोमें कई कोने में सौंपा जा सकता है$V$(अन्यथा समस्या तुच्छ है)।

इस समस्या को या तो एक अभिकलन संस्करण में ("लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से न्यूनतम टोपोलॉजिकल प्रकार की गणना") या एक निर्णय संस्करण में कहा जा सकता है ("क्या यह इनपुट शब्द न्यूनतम टोपोलॉजिकल प्रकार है?")। मेरा सवाल यह है कि इस समस्या की जटिलता क्या है ? क्या यह पीटीआईईएम (या एफपी में, संगणना संस्करण के लिए) है या क्या यह एनपी-हार्ड है? यदि सामान्य समस्या एनपी कठिन है, मैं भी संस्करण है जहाँ सेट के बारे में दिलचस्पी $S$ संभव लेबल के लिये पहले ही तय हो गई है (यानी, वहाँ केवल संभव लेबल की एक स्थिर संख्या हैं)।

टिप्पणियों:

यहाँ समस्या को प्रेरित करने के लिए एक छोटा सा वास्तविक दुनिया उदाहरण है। हम DAG को एक परियोजना के कार्यों (उनके बीच एक निर्भरता संबंध के साथ) के रूप में देख सकते हैं और लेबल पूर्णांक उन दिनों की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं जो प्रत्येक कार्य में लगते हैं। परियोजना को पूरा करने के लिए, मुझे उसी समय की कुल राशि लेनी पड़ेगी, चाहे मैं कोई भी कार्य करूं। हालांकि, मैं अपने बॉस को प्रभावित करना चाहूंगा, और ऐसा करने के लिए मैं जितनी जल्दी हो सके उतने कार्य समाप्त करना चाहता हूं (एक लालची तरीके से, भले ही इसका मतलब अंत में बहुत धीमा हो क्योंकि कठिन कार्य बने हुए हैं)। कोषगत न्यूनतम आदेश का चयन का अनुकूलन निम्नलिखित कसौटी: मैं एक आदेश का चयन करना चाहते $o$ ऐसी कोई अन्य आदेश है कि वहाँ $o'$ और दिनों की संख्या $n$ जहां के बाद$n$ दिनों मैं आदेश के साथ और अधिक कार्य समाप्त हो गया है |$o'$ आदेश के साथ की तुलना में$o$ (यानी, मेरे मालिक दिखता समय में यदि$n$ , मैं के साथ एक बेहतर छाप दे$o'$ ), लेकिन सभी के लिए$m < n$ मैं के साथ कम नहीं कार्यों समाप्त कर दिया है ऑर्डर$o'$ साथ ऑर्डर with$o$।

समस्या के बारे में कुछ जानकारी देने के लिए: मैं पहले से ही पिछले उत्तरों से जानता हूं कि निम्नलिखित संबंधित समस्या कठिन है: "क्या एक टोपोलॉजिकल प्रकार है जो निम्नलिखित अनुक्रम को प्राप्त करता है"? हालांकि, यहां तथ्य यह है कि मैं एक ऐसा क्रम चाहता हूं, जो इस लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए न्यूनतम हो , बहुत संभव सामयिक आदेशों को बाधित करने के लिए लगता है जो इसे प्राप्त कर सकते हैं (विशेष रूप से उन अन्य उत्तरों में कटौती अब काम नहीं लगती है)। सहज रूप से, वहाँ बहुत कम स्थितियाँ हैं जहाँ हमारे पास चुनाव करने का विकल्प है।

नोट वहाँ (जब DAGs कि द्विपक्षीय कर रहे हैं, यानी करने के लिए समस्या सीमित है, ऊंचाई दो है) सेट कवर के मामले में समस्याओं की दिलचस्प rephrasings प्रतीत हो रहा है कि:, सेट का एक सेट दिया उन्हें एक क्रम में गणना कि लेक्सिकोग्राफिक रूप से अनुक्रम को कम करता है | एस 1 | , | एस 2 ∖ एस 1 | , | एस 3 ∖ ( एस 1 ∪ एस 2 ) | , ... , | एस एन ∖ $S_1, \ldots, S_n$$|S_1|$$|S_2 \backslash S_1|$$|S_3 \backslash (S_1 \cup S_2)|$$\ldots$। समस्या को अप्रत्यक्ष ग्राफ़ पर भी रीफ़्रेश किया जा सकता है (क्रमिक रूप से ग्राफ़ के एक जुड़े क्षेत्र का विस्तार करें जो उस आदेश का अनुसरण करता है जो अनलॉक्ड लेबलों के लेक्सोग्राफ़िक अनुक्रम को कम करता है)। हालाँकि, इस तथ्य के कारण कि अनुक्रमकोहर समय लेक्सोग्राफ़िक आदेश की परिभाषा से लालची होनापड़ताहै, मुझे काम करने के लिए रिडक्शन (जैसे, स्टेनर ट्री) नहीं मिल सकता है।$|S_n \backslash (S_1 \cup \cdots \cup S_{n-1})|$

आपके विचारों के लिए अग्रिम धन्यवाद!

Answer 1

$G$$k$$G$$G$$xy$$x$$G$$y$$G$$1$$G$$0$

फिर, G में एक -clique है यदि और केवल अगर lexicographically पहला टोपोलॉजिकल ऑर्डर k 1 का अनुक्रम बनाता है और ($k$$G$$k$ $1$$\tbinom{k}{2}$ $0$$i-1$ $0$$i$$1$$110100100010000100000$$1$$0$$G$

Comments

$\{0, 1\}$

मेरा संदेह यह है कि समस्या "यह सटीक अनुक्रम प्राप्त करने योग्य है" एनपी-पूर्ण है, लेकिन मेरे पास हाथ में कमी नहीं है। "क्या यह सटीक अनुक्रम न्यूनतम एक है" बहुपद पदानुक्रम के दूसरे स्तर पर होना चाहिए, क्योंकि इसमें अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव (यह प्राप्त होता है) और सार्वभौमिक मात्रा का ठहराव की आवश्यकता है (सभी प्राप्त अनुक्रम कम से कम बड़े हैं)।

— डेविड एप्पस्टीन

वास्तव में मुझे पहले से ही पता है कि परीक्षण एक सटीक अनुक्रम प्राप्त करने योग्य है कि एनपी-हार्ड (3 लेबल के साथ एक वर्णमाला पर) Marzio de Biasi द्वारा यूनिरी 3-विभाजन से कमी करके यहां स्केच किया गया: cstheory.stacketchange.com/a/19415 । लेकिन मुझे लगता है कि यह समस्या की स्थिति को नहीं बताता है "क्या यह न्यूनतम प्राप्य अनुक्रम है": यह पूछने पर कि क्या एक निश्चित अनुक्रम प्राप्त करने योग्य है, सामान्य तौर पर यह कुछ लेक्सिकोग्राफिक क्रम में कम से कम होने की संभावना को कम करेगा। किसी भी तरह से, आपके कटौती शो अभी भी बहुत दिलचस्प है, फिर से धन्यवाद! :)

— a3nm

Answer 2

इस संदर्भ (1) के अनुसार , शाब्दिक रूप से पहली टोपोलॉजिकल ऑर्डर समस्या एनएलओजी-पूर्ण है।

$\lambda(u) \neq \lambda(v)$$u \neq v$

1. शुदाई, तकायोशी। " लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहली टोपोलॉजिकल ऑर्डर समस्या एनएलओजी-पूर्ण है। " सूचना प्रसंस्करण पत्र 33.3 (1989): 121-124।

Comments

एनएलओजी-पूर्ण बहुपद-समय का एक उपसमूह है, और (समस्या के पहले पैराग्राफ में "ध्यान दें" वाक्य के अनुसार) कोने के लेबल को अलग बनाने से बहुपद-काल-लालची एल्गोरिथ्म द्वारा समस्या को आसानी से हल किया जा सकता है। असली सवाल यह है कि क्या होता है जब लेबल अलग नहीं होते हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

यह एक उचित बिंदु है। यह अब आपके उत्तर से स्पष्ट है कि लेबलों की पुनरावृत्ति अद्वितीय लेबल के मामले की तुलना में समस्या को और अधिक कठिन बना देती है।

— mhum