सबसे छोटा संभव सार्वभौमिक संयोजक

मैं सबसे छोटे संभव सार्वभौमिक कॉम्बिनेटर की तलाश कर रहा हूं , जो लैम्बडा कैलकुलस में ऐसे कॉम्बिनेटर को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक अमूर्त और अनुप्रयोगों की संख्या से मापा जाता है । यूनिवर्सल कॉम्बिनेटर के उदाहरणों में शामिल हैं:

आकार 23: λf.f (fS (KKKI)) के
आकार 18: λf.f (fS (KK)) के
आकार 14: λf.fKSK
आकार 12: λf.fS (λxyz.x)
आकार 11: λf.fSK

जहां S = λxyz.xz (yz) का आकार 6 और K = λxy.x का आकार 2 , एसके कॉम्बिनेटर कैलकुलस के कॉम्बीनेटर हैं । इस पेपर में पहले 4 उदाहरणों का वर्णन किया गया है ।

मेरे प्रश्न हैं:

क्या कोई सार्वभौमिक कॉम्बिनेटर हैं जो आकार में छोटे हैं?
सबसे छोटा संभव सार्वभौमिक कॉम्बिनेटर क्या है?

EDIT: /math//a/180263/76284 भी देखें , जो λazbc.bc(a(λy.c))( आकार 8 का होगा , जो SK आधार के आकार के योग से मेल खाता है)। क्या कोई जानता है कि इस कॉम्बिनेटर से एस और के को कैसे व्यक्त किया जाए।

— user76284
स्रोत

हो सकता है कि यह रुचि का है: wolframscience.com/nksonline/page-1123a-text?firstview=1

— Andrej Bauer

आकार की आपकी परिभाषा क्या है? क्या आप इसे एक फ़ंक्शन के रूप में लिख सकते हैं?

— जोशुआ हरमन

6 + 2 = 8 <11 के बाद से, यह मुझे आश्चर्यचकित करता है कि क्या {S, K} कुल आकार के कॉम्बिनेटरों का सबसे छोटा आधार है?

— नोआम ज़िलबर्गर

आपका हाल का संपादन बल्कि (आंशिक) उत्तर की तरह लगता है।

— एमिल जेकाबेक

कितनी सख्ती से आप " कॉम्बिनेटर " को परिभाषित कर रहे हैं ? क्या यह उस रूप का होना है λx*.Eजहाँ Eअमूर्तता है?

— पीटर टेलर

जवाबों:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ कमी वाले गुणों के साथ कॉम्बीनेटरों को ढूंढना हमेशा मुश्किल होता है, और सबसे छोटे ऐसे कॉम्बिनेटर को ढूंढना आसानी से अनिर्दिष्ट हो सकता है (तुच्छ कारणों से, क्योंकि यह साबित करना अयोग्य हो सकता है कि कॉम्बीनेटर का एक निश्चित अनुप्रयोग और भी रुक जाता है)।

एक समान स्वाद के कई सरल खुले प्रश्न हैं, उदाहरण के लिए खुली समस्याओं की TLCA सूची से # 4, # 6 और # 10 समस्याएं ।

एक बात का ध्यान रखें कि आपके कॉम्बिनेटर को निश्चित रूप से कम से कम 2 बाउंड वैरिएबल की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक को डुप्लिकेट किया जाता है (जैसा कि कॉम्बीनेटर का कोई भी पूरा सेट होता है) और एक को मिटाने की आवश्यकता होती है। यह 4 के निचले हिस्से को जोड़ता है, मुझे लगता है (एक चर के 2 सार और 2 दिखावे), जो कि 11 के ऊपरी सीमा से दूर नहीं है।

संपादित करें: नोआम की टिप्पणियां और संदर्भ 5 से निचले हिस्से को धक्का देते हैं! मुझे आश्चर्य नहीं होगा यदि प्रमाण में अतिरिक्त चर के रूप में अच्छी तरह से प्रकट होने की आवश्यकता होती है, जो हमें 6 तक पहुंचाएगा।

— कोड़ी
स्रोत

वास्तव में, दो चर नहीं पर्याप्त (हैं dl.acm.org/citation.cfm?id=2100917 , cstheory.stackexchange.com/a/36344/674 ), तो यह एक से थोड़ा अधिक बाध्य निचले (आकार देता है 5 = 3 कपोल-कल्पना और 2 आवेदन)।

— नोआम ज़िलबर्गर

@NoamZeilberger ठीक है, यह एक शानदार परिणाम है जिसके बारे में मुझे जानकारी नहीं थी!

— कोड़ी

आपके पहले प्रश्न के लिए मेरा मानना है कि यह कागज एक गुच्छा में मदद कर सकता है। इसमें 6 बिट कॉम्बिनेटर कलन है जो UTM भी है। इसके अलावा इसमें एक सार्वभौमिक कॉम्बीनेटर है जो आकार 7 में एक तत्व के साथ लगता है जिसे आप चाहते हैं। वे इसे ज़ोट कहते हैं। http://arxiv.org/pdf/cs/0508056v1.pdf

मुझे यकीन नहीं है कि आप कह सकते हैं या साबित कर सकते हैं कि एक न्यूनतम संयोजन है। कागज का सुझाव है कि यह कम से कम 6 बिट से कम होना चाहिए।

— जोशुआ हरमन
स्रोत

ज़ोट का कॉम्बिनेटर वास्तव में ओपी में सूचीबद्ध अंतिम है: λx.xSK (अपनी मूल भाषाओं, Iota और जोत के साथ साझा किया गया), जिसकी लंबाई 11. है "6 बिट कॉम्बीनेटर कैलकुलस" (केरिया) में, "6 बिट्स" है। UTM का आकार; और ऐसा लग रहा है कि यह सिर्फ लैम्ब्डा कैलकुलस की एन्कोडिंग है, न कि कॉम्बिनेटर कैलकुलस (और इसलिए इसमें बिलिन यूनिवर्सल कॉम्बिनेटर नहीं है)।

— २०१२ आर्कम्पशन