Treewidth

चलो को ठीक किया जाए, और को एक (जुड़ा) ग्राफ़ होने दें। अगर मैं गलत नहीं हूं, तो यह बोडलेंडर के काम से आता है [1, प्रमेय 3.11] कि अगर का ट्रेविएड लगभग कम से कम , तो में एक स्टार एक नाबालिग के रूप में। $k$ $G$ $G$ $2k^3$ $G$ $K_{1,k}$

क्या हम शब्द छोटा बना सकते हैं? यह है, कम से कम पहले से ही -minor के अस्तित्व का मतलब है ? कहीं सबूत है? $2k^3$ $k$ $K_{1,k}$

[१] बोडलेंडर, एचएल (१ ९९ ३)। गहराई-पहली खोज के साथ रैखिक समय पर मामूली परीक्षण। एल्गोरिथ्म जर्नल, 14 (1), 1-23।

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
स्रोत

से एक शिथिल संबंधित परिणाम Demaine और Hajiaghayi : एक निश्चित ग्राफ के लिए

H

$H$ , किसी भी

H

$H$ -Minor मुक्त treewidth का ग्राफ

w

$w$ एक है

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$ ग्रिड ग्राफ नाबालिग।

— मुहं

@ @ में स्थिरांक

Ω

$\Omega$ तेजी से निर्भर करता है

| H |

$|H|$ , तो सीधे इसे लागू करने से

2 k^{3}

$2k^3$ बाउंड से भी बदतर हो जाएगा ।

— डेनियलो

@daniello यह वास्तव में मामला है। स्थिरांक बहुत अच्छा नहीं है और

-minor-free रेखांकन के लिए विशेषज्ञता भी महान नहीं है। मैं सिर्फ एक अस्पष्ट रूप से संबंधित परिणाम को इंगित करना चाहता था।

H

$H$

— मुहम्मद

यह वास्तव में सच है कि हर ग्राफ में नाबालिग के पास सबसे पर treewidth है । हम इसे नीचे साबित करते हैं, पहले कुछ परिभाषाएँ: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

चलो के treewidth हो और में एक गुट का अधिकतम आकार हो । एक ग्राफ के ट्राईऐन्ग्युलेशंस है करता है, तो की एक subgraph है और डोरी का है (यानी कोई कम से कम पर प्रेरित किया है चक्र कोने)। एक ट्राईऐन्ग्युलेशंस के एक न्यूनतम ट्राईऐन्ग्युलेशंस है यदि का कोई उचित subgraph भी की एक ट्राईऐन्ग्युलेशंस है । के कोने का एक सबसेट $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ यदि का न्यूनतम त्रिकोणीय मौजूद है, तो एक संभावित मैक्सिमम क्लिक है, जैसे कि , का मैक्सिमम क्लिक है । यह सर्वविदित है कि इधर, न्यूनतम भर में कम से कम triangulations लिया जाता है के । $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

उपरोक्त सूत्र का तात्पर्य है कि कि साबित करने के लिए यह साबित करने के सभी संभावित अधिक से अधिक क्लिक्स कि पर्याप्त है अधिक से अधिक आकार है । हम अब यह साबित करते हैं। बता दें कि , का एक संभावित मैक्सिमल क्लिक है , और मान लीजिए कि । $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

हम संभावित मैक्सिमल क्लिक्स के निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करेंगे: एक वर्टेक्स सेट , में एक संभावित मैक्सिमम क्लिक है , और केवल अगर, प्रत्येक जोड़ी , में आसन्न (अलग) वर्टिस का एक पथ से करने के लिए में के बाहर अपने सभी आंतरिक कोने के साथ । यह चरित्र चित्रण ट्रेविएथ और मिनिमल फिल-इन: ग्रुपिंग द मिनिमल सेपरेटर्स इन बाउचर और टोडिंका द्वारा पाया जा सकता है । $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

$K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ $u$ $k$

— daniello
स्रोत

धन्यवाद डैनियल! क्या आपको पता है कि क्या वही तर्क (या परिणाम, वास्तव में) कहीं प्रकाशित हुआ है?

— जुहो

K_{2, r}

$K_{2,r}$