3SAT- संतुष्टि की ट्रैक्टिबिलिटी के लिए शर्तें

Question

मैं विशेष रूप से सोच रहा हूं कि क्या असाइनमेंट के प्रतिशत पर एक दिलचस्प स्थिति है जो इस बात की गारंटी देने के लिए 3SAT फॉर्मूला को संतुष्ट करती है कि ऐसी समस्याएं ट्रैक्टेबल हैं।

उदाहरण के लिए मान लीजिए कि 3SAT समस्याओं का वर्ग जो कि संभव असाइनमेंट के nps बूलियन फॉर्मूला को पूरा करता है; क्या हम कुशलता से एक संतोषजनक काम पा सकते हैं? P में परिणामी समस्या किस है?2 n$\epsilon(n) 2^n$$2^n$$\epsilon$

नोट संपादित करें: भ्रम को दूर करने के लिए साथ प्रतिस्थापित ।ε ( एन $\epsilon$$\epsilon(n)$

Comments

एक साधारण अवलोकन: अगर सबसे उलटा पर polynomially छोटा है, तो समान रूप से नमूने 1 / ε बार उम्मीद बहुपद समय में एक समाधान निकलेगा। तो अगर ε 1 और 1 / पाली (एन) के बीच है, इस समस्या को आसान (यह ZPP में है) है। $\epsilon$$1/\epsilon$$\epsilon$

— रॉबिन कोठारी

इसी तरह, यदि 1 / eps quasipolynomial है, तो आपके पास एक यादृच्छिक quasipoly समय एल्गोरिथ्म है, जो स्वयं आश्चर्यचकित होगा

— सुरेश वेंकट

Answer 1

हाँ। यदि एक निरंतर (या है 1 / polylog ( एन ) ), और आप का वादा कर रहे हैं कि कम से कम ε 2 n हर संभव कार्य के इनपुट 3CNFs संतोषजनक रहे हैं, तो आप इस तरह के एक काम पा सकते हैं नियतात्मक polynomial- समय।$0< \epsilon <1$$1/\textit{polylog}(n)$$\epsilon 2^n$

एल्गोरिदम मुश्किल नहीं है:

दावा: कहा गया वादा के तहत, 3CNF में सभी खंडों को हिट करने वाले चर का एक निरंतर आकार सेट मौजूद होना चाहिए , इस अर्थ में कि प्रत्येक 3-खंड में S से एक चर होना चाहिए ।$S$$S$

दावे का प्रमाण (स्केच): अन्यथा, 3CNF से 3-खंडों का एक बड़ा पर्याप्त परिवार मौजूद होना चाहिए, जिसमें प्रत्येक चर केवल एक बार होता है। लेकिन यह परिवार, जब पर्याप्त रूप से बड़ा है, पहले से ही संतोषजनक असाइनमेंट के अंश से कम है । QED$\epsilon$

इस प्रकार, आप को असाइनमेंट के सभी संभव (निरंतर संख्या) से अधिक चला सकते हैं । S के लिए प्रत्येक नियत कार्य के तहत , 3CNF 2CNF बन जाता है, इस धारणा से कि S मूल 3CNF को हिट करता है। अब, आप 2CNF फ़ार्मुलों के लिए एक संतोषजनक असाइनमेंट खोजने के लिए ज्ञात पॉलीटाइम निर्धारक एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं। कुल मिलाकर, आपको एक बहुपद समय ऊपरी सीमा मिलता है।$S$$S$$S$

2SAT के लिए एल्गोरिथ्म मुझे लगता है कि एस। कुक प्रसिद्ध 1971 के पेपर में पहले से ही है।

3CNF के लिए एल्गोरिथ्म से है: एल। ट्रेविसन प्रोक में k-DNF के लिए निर्धारक अनुमानित गणना पर एक नोट । APPROX-RANDOM, स्प्रिंगर-वेरलाग, पृष्ठ 417-426, 2004

3 सीएनएफ के लिए परिणाम दिखाने वाला मूल पेपर है: ई। हिर्श, सूत्रों के लिए एक तेज निर्धारक एल्गोरिथ्म जिसमें कई संतोषजनक कार्य हैं , जर्नल ऑफ़ द आईजीपीएल, 6 (1): 59-71, 1998

Comments

जवाब के लिए धन्यवाद। मैं वास्तव में गैर-निरंतर में रुचि थी लेकिन एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म के अस्तित्व सीखने दिलचस्प है। मैंने इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए प्रश्न का संपादन किया। $\epsilon$

— रफी ने

$\epsilon = 1/polylog(n)$

आप एस का निर्माण कैसे करते हैं?

— राडू ग्रिजोर

$C_1$$C_2$$C_1$