कौन सी मोनोटोन बूलियन कार्य रकम पर सीमा के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य हैं?

Question

मैं अपनी समस्या एक उदाहरण के साथ पेश करूंगा। आप की एक निश्चित सेट के होते हैं जो एक परीक्षा, रचना कर रहे हैं का कहना है कि स्वतंत्र सवाल (कि उम्मीदवारों या तो सही है या गलत हो सकता है)। आप प्रत्येक प्रश्न को देने के लिए एक अंक पर निर्णय करना चाहते हैं, इस नियम के साथ कि एक निश्चित सीमा से ऊपर कुल स्कोर वाले उम्मीदवार पास होंगे, और अन्य असफल होंगे।$n$

वास्तव में, आप इस बारे में बहुत अच्छी तरह से जानते हैं, और आपने सभी संभावित परिणामों की कल्पना की है , और उनमें से प्रत्येक के लिए फैसला किया है कि इस प्रदर्शन के साथ एक उम्मीदवार पास होना चाहिए या असफल। तो आपके पास एक बूलियन फ़ंक्शन है : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } जो इंगित करता है कि उम्मीदवार अपने सटीक उत्तरों के आधार पर उत्तीर्ण होना चाहिए या असफल। बेशक यह फ़ंक्शन एकरस होना चाहिए : जब प्रश्नों का एक सेट सही हो जाता है तो आप पास हो जाते हैं, किसी भी सुपरसेट को प्राप्त करने के बाद आपको पास होना चाहिए।$2^n$$f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$

क्या आप प्रश्नों को देने के लिए स्कोर (पॉजिटिव रियल नंबर) और एक सीमा पर तय कर सकते हैं, ताकि आपका फंक्शन $f$ नियम से पूरी तरह से कैप्चर हो जाए "एक उम्मीदवार पास हो जाता है, तो सही प्रश्नों के लिए स्कोर का योग सीमा से ऊपर है" ? (बेशक दहलीज को सामान्यता के नुकसान के बिना 1 किया जा सकता है, स्कोर को एक निरंतरता से गुणा करने के लिए)।

औपचारिक रूप से: वहाँ एक लय बूलियन कार्यों का एक लक्षण वर्णन है जिसके लिए वहाँ मौजूद डब्ल्यू 1 , ... , डब्ल्यू एन ∈ आर + ऐसी है कि सभी के लिए वी ∈ { 0 , 1 } n , हम च ( v ) = 1 iff Σ मैं डब्ल्यू मैं v मैं ≥ $f: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$$w_1, \ldots, w_n \in \mathbb{R}_+$$v \in \{0, 1\}^n$$f(v) = 1$$\sum_i w_i v_i \geq 1$?

यह देखना इतना कठिन नहीं है कि सभी कार्यों का इस प्रकार प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। मिसाल के तौर पर समारोह नहीं कर सकते हैं: के रूप में ( 1 , 1 , 0 , 0 ) स्वीकार किया जाता है हम होना आवश्यक है डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 ≥ 1 , इसलिए में से एक डब्ल्यू 1 , डब्ल्यू 2 होना चाहिए ≥ 1 / 2 , और इसी तरह के लिए डब्ल्यू 3$(x_1 \wedge x_2) \vee (x_3 \wedge x_4)$$(1, 1, 0, 0)$$w_1 + w_2 \geq 1$$w_1, w_2$$\geq 1/2$ । अब, अगर ऐसा है, जैसे, w 1 और डब्ल्यू 3 , हम एक विरोधाभास है क्योंकि डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 3 ≥ 1 लेकिन ( 1 , 0 , 1 , 0 ) को अस्वीकार कर दिया है; अन्य मामले अनुरूप हैं।$w_3, w_4$$w_1$$w_3$$w_1 + w_3 \geq 1$$(1, 0, 1, 0)$

यह मुझे एक बहुत ही स्वाभाविक समस्या की तरह लग रहा है, इसलिए मेरा मुख्य प्रश्न यह जानना है कि किस नाम से इसका अध्ययन किया गया है। एक "चरित्र चित्रण" के लिए पूछना अस्पष्ट है, ज़ाहिर है; मेरा प्रश्न यह जानना है कि क्या इस तरह से प्रस्तुत किए जाने वाले कार्यों के वर्ग में एक नाम है, परीक्षण की जटिलता के बारे में क्या पता है कि क्या इनपुट फ़ंक्शन इसका है (सूत्र के रूप में दिया गया है, या सर्किट के रूप में), आदि।

बेशक कोई भी इस विषय पर कई बदलावों के बारे में सोच सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक परीक्षाओं पर, प्रश्न स्वतंत्र नहीं होते हैं, लेकिन निर्भरता का संकेत देने वाले प्रश्नों पर एक डीएजी है, और उम्मीदवार केवल एक प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं यदि सभी पूर्वापेक्षाओं का उत्तर दिया गया है। मोनोटोन फ़ंक्शंस की स्थिति तब में वैल्यूएशन तक सीमित हो सकती है जो निर्भरता को पूरा करती है, और प्रश्न यह निर्धारित करने के लिए होगा कि क्या एक इनपुट फ़ंक्शन को इस प्रकार कैप्चर किया जा सकता है कि वेरिएबल्स पर इनपुट DAG दिया जाए। कोई ऐसे वेरिएंट के बारे में भी सोच सकता है, जहाँ स्कोर निश्चित k के लिए k -tuples हैं (सारांश पॉइंट वाइज , और पॉइंटवाइज़ एक थ्रेशोल्ड वेक्टर की तुलना में), जो k की तुलना में अधिक फ़ंक्शन कैप्चर कर सकता है।$\{0, 1\}^n$$k$$k$ । वैकल्पिक रूप से आप अधिक अभिव्यंजक कार्यों को पकड़ना चाहते हैं जो बूलियन नहीं हैं, लेकिन पूरी तरह से ऑर्डर किए गए डोमेन पर जाएं, विभिन्न थ्रेसहोल्ड के साथ जो डोमेन में आपकी स्थिति को इंगित करना चाहिए। अंतिम, मुझे यकीन नहीं है कि यदि आप नकारात्मक स्कोर की अनुमति देते हैं तो क्या होगा (ताकि आप कार्यों के बारे में मोनोटोन प्रतिबंध को छोड़ सकते हैं)।$k = 1$

(नोट: मुझे इस बात से आश्चर्य हुआ कि Google कोड जैम चयन दौर है, जहां उम्मीदवारों का चयन एक निश्चित स्कोर सीमा तक पहुंचने पर किया जाता है, और समस्याओं का स्कोर संभवतः ध्यान से बनाया गया है, जो यह दर्शाता है कि समस्याओं के सेट को चयनित करने के लिए पर्याप्त माना जाता है। । कोड जैम में प्रश्नों पर निर्भरता संरचना है, कुछ "बड़े इनपुट" प्रश्नों के साथ जिन्हें हल नहीं किया जा सकता है जब तक कि आपने "छोटे इनपुट" को पहले हल नहीं किया है।)

Comments

इन्हें थ्रेशोल्ड फ़ंक्शंस के रूप में जाना जाता है (हालांकि इस शब्द को कभी-कभी अधिक प्रतिबंधात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है)। मैं नहीं जानता कि क्या एक अनिवार्य रूप से अलग लक्षण वर्णन है। एक स्पष्ट आवश्यक शर्त यह है कि और च - 1 ( 0 ) कर रहे हैं उत्तल (यह है कि, के उत्तल पतवार च - 1 ( 1 ) के साथ प्रतिच्छेद { 0 , 1 } एन में शामिल है च - 1 ( 1 ) , और इसी तरह 0 के लिए)। $f^{-1}(1)$$f^{-1}(0)$$f^{-1}(1)$$\{0,1\}^n$$f^{-1}(1)$

— एमिल जेकाबेक मोनिका का समर्थन करता है

दरअसल, अब जब मैं इसके बारे में सोचता हूं: एक बूलियन फ़ंक्शन एक दहलीज फ़ंक्शन है यदि एफ - 1 ( 1 ) और एफ - 1 ( 0 ) के उत्तल hulls असहमति हैं। $f$$f^{-1}(1)$$f^{-1}(0)$

— एमिल जेकाबेक

वास्तव में, ये अधिक सटीक रूप से सकारात्मक सीमा कार्य हैं।

— क्रिस्टोफ़र अर्नसेफेल्ट हैनसेन

@KristofferArnsfeltHansen: बिल्कुल धन्यवाद! वास्तव में यह बूलियन फ़ंक्शंस: थ्योरी, एल्गोरिदम और एप्लिकेशन में उल्लिखित है । प्रमेय 9.16 कहता है कि एक सकारात्मक DNF जिसे हम PTIME में दे सकते हैं, परीक्षण करें कि क्या यह एक थ्रेशोल्ड फ़ंक्शन है, और यदि हाँ एक वेक्टर निर्माण करें (जो तब सकारात्मक होगा, मुझे लगता है, थ्योरम 9.6 द्वारा)। क्या मेरे द्वारा सुझाए गए वेरिएंट के बारे में कुछ भी पता है, विशेष रूप से वैरिएबल पर एक डीएजी के साथ? यदि नहीं, तो आप ऐसा जवाब देने के लिए स्वागत करते हैं जो ऐसा कहता है (और आपकी टिप्पणी को सदस्यता लेता है), और मैं इसे स्वीकार करूंगा। :)$\mathbf{w}$

— a3nm

Answer 1

टिप्पणियों में यह उल्लेख किया गया था कि ये सकारात्मक सीमा कार्य हैं।

अन्य चरित्रों के रूप में, मुझे निम्नलिखित दिलचस्प लगा। मान लें कि हमारे पास वज़न कम करने के साथ एक सकारात्मक थ्रेशोल्ड फ़ंक्शन है : f ( v 1 , … , v n ) = $w_1\ge w_2\ge\dots w_n$ तब विशेष रूप से आदानों के सेट(v1,...,वीएन)जिसके लिएच( → v )=1के साथ द्विआधारी majorization जाली के एक आदेश आदर्श है2nअंक है, जो में अध्ययन किया

$$f(v_1,\dots,v_n)=1 \iff \sum_i w_iv_i\ge 1.$$ $(v_1,\dots,v_n)$$f(\vec v)=1$$2^n$

डोनाल्ड नुथ, "द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग", व्यायाम 7.1 सेक्शन 7.1.1।

यह अनौपचारिक रूप से कहें, समारोह ऐसी बातें हैं, पहले बिट्स बना रही है 1 बनाता है च अधिक 1 होने की संभावना: तो जैसे च ( 0 , 1 , 1 ) ≤ च ( 1 , 0 , 1 ) ≤ च ( 1 , 1 , ० ) । यही है, "कुछ बिट्स अधिक मायने रखती हैं", और निरर्थक आइसोमॉर्फिक मामलों को हटाने के लिए हम मानते हैं कि पहले के बिट्स अधिक मायने रखते हैं।$f$$f$$f(0,1,1)\le f(1,0,1)\le f(1,1,0)$

हालांकि, ऐसे सभी कार्य सकारात्मक सीमा वाले कार्य नहीं हैं! यही कारण है कि, क्योंकि आपने परीक्षा के प्रश्नों को सबसे महत्वपूर्ण से कम से कम करने का आदेश दिया है, इसका मतलब यह नहीं है कि आपका पास / फेल नियम सिर्फ कुछ अंकों को जोड़ने पर आधारित है।

वास्तव में, वेरिएबल्स पर पॉजिटिव थ्रेशोल्ड फंक्शंस (घटते वजन के साथ) की संख्या अनुक्रम 2 , 3 , 5 , 10 , 27 , 119 , 1113 , … (oeis.org अनुक्रम A000617 ) द्वारा दी गई है , जबकि इस तरह के ऑर्डर आदर्शों की संख्या है 2 , 3 , 5 , 10 , 27 , 119 , 1173 , ... (oeis.org अनुक्रम A132183 )$n$

$$2,3,5,10,27,119,\mathbf{1113},\dots$$ $$2,3,5,10,27,119,\mathbf{1173},\dots$$

Comments

धन्यवाद! बस मैंने सोचा था कि आपके उत्तर में उल्लिखित अन्य प्रकार के बूलियन फ़ंक्शंस, जो चर के प्रभाव पर कुल आदेश के साथ हैं, उन्हें "नियमित" बूलियन फ़ंक्शन कहा जाता है। यह क्रम A132183 में उल्लिखित है, और इस तरह के कार्यों का अध्ययन बूलियन फंक्शंस के

— a3nm