रचनाकार कॉल / सीसी के बारे में बहुत अधिक परवाह क्यों नहीं करते हैं

Question

इसलिए थोड़ी देर पहले मैंने पहली बार किसी को बताया था कि कॉल / सीसी Peirce के कानून को लागू करके शास्त्रीय प्रमाण के लिए सबूत वस्तुओं की अनुमति दे सकता है। मैंने हाल ही में इस विषय के बारे में कुछ सोचा था और मैं इसके साथ कोई दोष नहीं ढूंढ सकता। हालाँकि मैं वास्तव में किसी और को इसके बारे में बात करते हुए नहीं देख सकता। यह चर्चा से शून्य लगता है। क्या देता है?

मुझे ऐसा लगता है अगर आप की तरह एक निर्माण है कि कुछ संदर्भ में तो दो में से 1 बातें सच है। या तो आप एक उदाहरण के लिए उपयोग किया ⊥ किसी भी तरह वर्तमान संदर्भ में ऐसी स्थिति में नियंत्रण प्रवाह यहाँ तक पहुँचने कभी नहीं होगा और हम यह मान के लिए जो कुछ भी या यह देखते हुए कि सुरक्षित हैं च : ¬ ( ¬ पी ) का अर्थ है च : ( पी → ⊥ ) → ⊥ केवल एक तरह से f, ⊥ P का एक उदाहरण बनाकर वापस आ सकता है$f : \neg(\neg P)$$\bot$$f : \neg(\neg P)$$f : (P \to \bot) \to \bot$$f$$\bot$$P$और यह दो यह तर्क (का एक उदाहरण लागू करने । ऐसे मामले में पहले से ही पी के एक उदाहरण के निर्माण का कुछ तरीका था ; यह मेरे लिए इस निर्माण को खींचने के लिए कॉल / सीसी के लिए उचित लगता है। यहां मेरा तर्क मुझे कुछ संदेहास्पद लगता है लेकिन मेरा भ्रम अभी भी कायम है। यदि कॉल / cc केवल पतली हवा से पी का एक उदाहरण नहीं बना रहा है (मैं यह नहीं देखता कि यह कैसे है) तो मुद्दा क्या है?$P \to \bot)$$P$$P$

क्या कुछ अच्छी तरह से टाइप की गई शर्तों में कॉल / सीसी नहीं है, जिनके सामान्य रूप नहीं हैं? क्या ऐसी अभिव्यक्तियों के कुछ अन्य गुण हैं जो उन्हें संदेह करते हैं? क्या कोई प्रसिद्ध कारण है कि एक रचनाकार को कॉल / सीसी पसंद नहीं करना चाहिए?

Comments

CPS , कॉल w / cc

— केवह

इसके अलावा एक नया रचनात्मक तर्क: क्लासिक तर्क ।

— केवह

Answer 1

रचनात्मक गणित केवल एक औपचारिक प्रणाली नहीं है, बल्कि इसके बारे में समझ है कि गणित किस बारे में है। या इसे अलग तरीके से रखने के लिए, प्रत्येक प्रकार के शब्दार्थ को रचनात्मक गणितज्ञ द्वारा स्वीकार नहीं किया जाता है।

एक रचनात्मक गणितज्ञ call/ccको धोखा देना अच्छा लगता है। कैसे हम गवाह पर विचार करें का उपयोग कर$p \lor \lnot p$call/cc :

1. हम एक समारोह प्रदान जो कथित तौर पर साबित होता है ¬ पी । हकीकत में एफ चाल का एक बैग है।$f$$\lnot p$$f$
2. क्या कभी किसी ने लागू होता है का एक सबूत के लिए पी , फिर च unleashes रोल बैक-समय पर, और का कोई प्रमाण पी हाथ में, अपने मन के बारे में बदल जाता है पी ∨ ¬ पी : इस समय का दावा है कि इसके बारे में एक सबूत है $f$$p$$f$call/cc$p$$p \lor \lnot p$$p$ ।

विघटन की रचनात्मक समझ एल्गोरिदमिक निर्णायकता है , लेकिन ऊपर शायद ही कोई निर्णय ले रहा है। एक परीक्षण के रूप में, एक रचनात्मक गणितज्ञ आपसे पूछ सकता है कि कैसे call/ccसाबित होता है कि हर ट्यूरिंग मशीन हॉल्ट या डायवर्ज करती है। और इस तथ्य को देखने वाला कार्यक्रम क्या है? (यह Halting Oracle होना चाहिए।)

Comments

आह !! मुझे लगता है कि वह वही चीज है जिसकी मुझे तलाश थी।

— जेक

Answer 2

जैसा कि आप ध्यान दें, इस अर्थ में शास्त्रीय तर्क की एक संभावित रचनात्मक व्याख्या है। तथ्य यह है कि शास्त्रीय तर्क अंतर्ज्ञानवादी तर्क के साथ समसामयिक है (कहते हैं, अरेटिंग अंकगणित) काफी समय से (पहले से ही 1933 में, उदाहरण के लिए गोडेल ) एक दोहरे नकार अनुवाद का उपयोग कर जाना जाता है ।

एक और अधिक परिष्कृत तर्क से, यह दिखाया जा सकता है कि Peano अंकगणित है रूढ़िवादी के लिए हा अधिक बयान। परिणाम का सार है कि शास्त्रीय सबूत Π 0 2 को शामिल ग एक एल एल / सी $\Pi^0_2$$\Pi^0_2$$\mathrm{call/cc}$ (एक से है कि निर्माण के बिना एक बयान के रूप में ही कम्प्यूटेशनल सामग्री है सीपीएस परिवर्तन)।

हालांकि यह है सच नहीं ऊपर बयान के लिए : में बयान Σ 0 3 , पीए में साध्य, एक गवाह निकालने के लिए एक सामान्य रूप उत्तरदायी नहीं हो सकता है! कंप्यूटर वैज्ञानिक इस स्तर पर प्रमाण के साथ कंप्यूटिंग के बारे में परवाह नहीं कर सकते हैं, लेकिन यह कुछ हद तक असुविधाजनक है$\Pi^0_2$$\Sigma^0_3$ दार्शनिक विचारों के : क्या हमने कुछ के अस्तित्व को साबित किया है, या नहीं?

मुझे लगता है कि इस का सार देता क्यों के अलावा द्वारा "फिक्सिंग" गैर-रचनात्मक तर्क $\mathrm{call/cc}$ असंतोषजनक हो सकता है।

यही कारण है कि किया जा रहा है ने कहा, वहाँ एक बहुत "शास्त्रीय करी-हावर्ड" ढांचे के भीतर गणना के कम्प्यूटेशनल पहलुओं की खोज के काम का, Krivine मशीन, Parigot पथरी (जैसे ) और कई अन्य। देख$\lambda\overline{\mu}\tilde\mu$अवलोकन के लिए यहां ।

अंत में, यह नोट करना उपयोगी हो सकता है कि जबकि स्थिति को भविष्यवाणी की गणना और अंकगणितीय मामलों में अच्छी तरह से समझा जाता है, अधिक शक्तिशाली सिद्धांत बहुत कम खोजे जाते हैं। उदाहरण के लिए, IIRC, ZFC के लिए IZF से अधिक रूढ़िवादी है वाक्य के साथ-साथ (ZFC गणित वाक्य के लिए जेडएफ से अधिक रूढ़िवादी है, और जेडएफ IZF से अधिक रूढ़िवादी है) है, जो पता चलता है पसंद का स्वयंसिद्ध के लिए एक कम्प्यूटेशनल अर्थ नहीं है। हालाँकि यह अनुसंधान का बहुत सक्रिय क्षेत्र है ( krivine , Berardi et al। )$\Pi^0_2$

संपादित करें: mathoverflow पर एक बहुत ही प्रासंगिक प्रश्न यहाँ दिखाई देता है: /mathpro/29577/solved-fterent-calculus-as-programming-language

Comments

क्या यह समानता रचनात्मक रूप से सत्य है?

— जेफ्री इरविंग

@GeoffreyIrving: हाँ यह, एक कर सकते हैं पूरी तरह से है शास्त्रीय में "बूटस्ट्रैप" विश्वास स्थिरता (यदि नहीं शास्त्रीय तर्क से प्रति ) केवल intuitionistic तर्क का उपयोग कर। यह गोडेल की मूल प्रेरणा थी$\neg\neg$-Translation।

— कोड़ी

"एक गवाह को निकालने के लिए सामान्य रूप नहीं हो सकता है" का मतलब क्या है। क्या यह सिर्फ शब्दार्थ का अर्थ है कि इन शब्दों का अर्थ शब्दार्थ के लिए नीचे है या इसका मतलब कुछ अजनबी है?

— जेक

@ जेक: शब्दों के अभी भी सामान्य रूप हैं, लेकिन संभवतः वे नहीं जो आप उम्मीद करेंगे: उदाहरण के लिए $A\vee \neg A$inr (fun x -> callcc(...))हालांकि यह भी है$A$सच हो सकता है।

— कोड़ी

समझ गया। धन्यवाद! मैं अभी भी आपके उत्तर के कुछ हिस्सों को पचा रहा हूं। मैं अंकगणितीय पदानुक्रम से बहुत परिचित नहीं हूं, इसलिए मुझे इसे संसाधित करने में थोड़ा अधिक समय लगा।

— जेक

Answer 3

मैं दोनों के और कॉडी के जवाब से सहमत हूं। हालांकि, मुझे लगता है कि यह भी ध्यान देने योग्य है कि क्यों निर्माणवादियों को नियंत्रण ऑपरेटरों (कॉल / सीसी) की परवाह करनी चाहिए ।

ये ऑपरेटर आमतौर पर शास्त्रीय तर्क से जुड़े होते हैं क्योंकि जब लोग उनके टाइपिंग रूल्स (फेलेइसेन, ग्रिफिन) को देखते थे तो उन्होंने देखा कि प्रकारों में पीयरस लॉ या डबल-नेगेटिव एलिमिनेशन ($\neg\neg P\vdash P$)। फिर भी, योजना प्रोग्रामिंग भाषा के अनछुए सेटिंग में नियंत्रण ऑपरेटरों का आविष्कार किया गया था। उनका उद्देश्य प्रोग्रामिंग भाषा को समृद्ध करने में सक्षम होना था: निरंतरता-गुजर शैली में कार्यक्रम लिखने के बजाय, कोई भी नियंत्रण ऑपरेटरों का उपयोग करके सीधी शैली में कार्यक्रम लिखने में सक्षम होगा।

प्रूफ थ्योरी में कंट्रोल ऑपरेटरों का उपयोग करने में एक लाभ यह है कि इसके बजाय: डबल-नेगनेशन का उपयोग करने के बजाय- और ए-अनुवाद के सबूतों से प्रोग्राम निकालने के लिए $\Pi^0_2$-शास्त्रीय अरिथमेटिक के सिद्धांत, एक नियंत्रण ऑपरेटर का उपयोग करेगा और सबूत पर प्रत्यक्ष पुनर्लेखन सामान्यीकरण करेगा।

एक अन्य लाभार्थी को इस बात पर ध्यान देना चाहिए कि नियंत्रण ऑपरेटर एक तरीका दिखाता है कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क के करी-हावर्ड विस्तार का निर्माण कैसे किया जाए जो अभी भी रचनात्मक है। उदाहरण के लिए, सीमित करना$P$ दोहरे निषेध उन्मूलन कानून से $\Sigma^0_1$-class of formulas, allows to have a typed control operator that can prove for example Markov's Principle or the Double Negation Shift. These principles are usually not accepted by constructivists, but for hardly a good reason, since it is known that they do not destroy the Disjunction and Existence properties when added to intuitionistic logic.