स्वतंत्र सेटों के लिए संपत्ति परीक्षण

Question

मान लीजिए हमें एक ग्राफ दिया गया है $G$ और पैरामीटर $k,\epsilon$। क्या मूल्यों की सीमाएं हैं$k$ (या यह सभी के लिए उल्लेखनीय है $k$) जिसके लिए यह परीक्षण करना संभव है कि क्या $G$ है $\epsilon$-अगर कम से कम आकार का एक स्वतंत्र सेट होने से $k$ समय के भीतर $O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$ ?

अगर हम सामान्य धारणा का उपयोग करते हैं $\epsilon$-फर (यानी सबसे ज्यादा $\epsilon n^2$ इस तरह के एक सेट को प्राप्त करने के लिए किनारों को बदलना होगा), फिर समस्या तुच्छ है $k = O(n\sqrt{\epsilon})$। इसलिए

• ऐसा लगता है कि अगर $k$बड़ा है, समस्या को हल करने के लिए कुछ नमूने के विचारों को काम करना चाहिए। क्या यह सच है ?
• क्या अन्य धारणाएँ हैं $\epsilon$-फर (यानी शायद $\epsilon |E|$ किनारों के बजाय) जिसके तहत nontrivial परिणाम हैं?

मैं मूल रूप से इस बिंदु पर संदर्भ ढूंढ रहा हूं।

Answer 1

इस समस्या का वास्तव में अध्ययन किया गया है। गोल्डरिच, गोल्डवेसर और रॉन ने अपने सेमिनल पेपर में इसका अध्ययन किया, जिसने ग्राफ संपत्ति परीक्षण को बंद कर दिया और फिर, Feige, Langberg और Schechtman ने भी अपने FOCS '02 पेपर में इसका परिणाम "छोटे वेक्टर रंगीन संख्याओं और विशाल रंगीन संख्याओं पर रेखांकन" दिया। ।

विशेष रूप से, [FLS '02] यह दर्शाता है कि व्यक्ति ग्राफ़ के आकार के एक स्वतंत्र सेट के बीच अंतर कर सकता है $\rho n$ रेखांकन से $\epsilon$-अगर ऐसा होने से (मतलब, कम से कम $\epsilon n^2$ इस तरह के एक स्वतंत्र सबग्राफ को प्रेरित करके एक स्वतंत्र सेट बनाने के लिए किनारों को हटाने की आवश्यकता होती है $s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$ ग्राफ में यादृच्छिक कोने और यह जांचना कि क्या यादृच्छिक सबग्राफ का आकार स्वतंत्र है $\rho s$या नहीं। ([GGR '98) पर एक कमजोर बाध्यता दिखाई गई$s$ का $\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$।) [FLS '02] भी एक कम बाउंड शो करता है $s$ का $\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$।

Answer 2

की एक और प्राकृतिक परिभाषा $\epsilon$-स्वतंत्र समुच्चय में परिवर्तन हो रहा है $\epsilon k^2$किनारों। इस परिभाषा संपत्ति परीक्षण के साथ दुर्भाग्यपूर्ण बहुपद समय हल नहीं लगता है। कारण यह है कि किसी को पता नहीं है कि एक लगाए हुए गुच्छे (और इसी तरह स्वतंत्र सेट) को कैसे खोजना है$o(\sqrt{n})$ के एक यादृच्छिक ग्राफ में कोने $n$ की तुलना में तेजी $n^{O(\log n)}$समय। एक दिखा सकता है कि एक सबग्राफ जो कि औसत से थोड़ा सा घना होता है, का उपयोग बहुपद समय में लगाए गए गुच्छे को खोजने के लिए किया जा सकता है। यह आपकी समस्या के इस प्रकार के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म होने के खिलाफ सबूत है$k$ के बीच $\log n$ तथा $\sqrt{n}$।

संदर्भ: Feige और Krauthgamer। 1999 के अर्ध-रेखीय ग्राफ में एक बड़े छिपे हुए गुट को खोजना और प्रमाणित करना।