एक Impredicative प्रकार के सिद्धांत का रामकरण

अधिकांश प्रकार के सिद्धांत जो मुझे ज्ञात हैं वे विधेय हैं जिनके द्वारा मेरा मतलब है

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

अधिकांश प्रमेय सिद्ध नहीं किए गए हैं क्योंकि यह पीआई प्रकार उसी ब्रह्मांड से संबंधित है Propऔर ऐसा नहीं है Prop : Prop। यह उन्हें विधेय बनाता है और उपर्युक्त की तरह अप्रत्यक्ष परिभाषाओं को अस्वीकार करता है। हालांकि, सिस्टम एफ या सीओसी जैसी बहुत सारी "ब्लैकबोर्ड भाषाएं" वास्तव में अनुकरणीय हैं। वास्तव में, भाषा में मुख्य रूप से शामिल नहीं किए गए अधिकांश निर्माणों को परिभाषित करने के लिए यह स्पष्टता महत्वपूर्ण है।

मेरा सवाल यह है कि तार्किक निर्माणों को परिभाषित करने में शक्ति देने के लिए कोई व्यक्ति चाहे तो प्रतिपादकता छोड़ सकता है? मैंने कुछ लोगों को टिप्पणी करते हुए सुना है कि impredicativity "गणना" या "प्रेरण" पर शिकंजा करता है, लेकिन मुझे एक ठोस स्पष्टीकरण खोजने में परेशानी हो रही है।

lo.logic type-theory

— डैनियल ग्रैज़र
स्रोत

क्या प्रकार सिद्धांतवादी विधेयवादी हैं, या उनके सिद्धांत?

— बाउर

मुझे लगता है कि Coq आपके लिए "सबसे प्रमेय साबित" नहीं है, क्योंकि यह उपरोक्त परिभाषा को स्वीकार करता है।

— बाउर

@AndrejBauer दोनों क्यों नहीं? :) मुझे लगता है कि coq में एक impredicative ब्रह्माण्ड के साथ-साथ एक पूर्वानुमान है। मुझे लगता है कि मेरा सवाल है। "क्यों सेट नहीं है impredicative?" कोक के संदर्भ में

— डैनियल ग्रैजर

क्यों प्रकार impredicative नहीं है? > चेक प्रकार। प्रकार: प्रकार। अच्छी तरह से :) :)

— कोड़ी

डेवलपर्स को परेशान करने की कोई ज़रूरत नहीं है! Impredicative सेट काफी बुरा है, और विशेष रूप से, यह कुछ नहीं बल्कि स्वाभाविक पसंद सिद्धांतों के खिलाफ है और तथाकथित "जानकारीपूर्ण बीच बहिष्कृत" forall P : Type, {P} + {~P}, के रूप में यह + impredicative सेट सबूत अप्रासंगिकता का तात्पर्य (और natहै नहीं प्रमाण अप्रासंगिक)। उदाहरण के लिए देखें coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.html और coq.inria.fr/library/Coq.Logic.Berardi.html

— cody

जवाबों:

मैं अपनी टिप्पणियों को एक उत्तर में विस्तृत करने जा रहा हूं। विधेय प्रकार के सिद्धांत की उत्पत्ति लगभग प्रकार के सिद्धांत के रूप में पुरानी है, क्योंकि रसेल की प्रेरणाओं में से एक को "परिपत्र" परिभाषाओं पर प्रतिबंध लगाना था, जिन्हें XIX वीं शताब्दी की विसंगतियों और विरोधाभासों के स्रोत के रूप में पहचाना गया था। थियरी कोक्विंड यहां एक प्रबुद्ध अवलोकन देता है । इस सिद्धांत में, एक "स्तर" या प्रकार की भविष्यवाणी करता है, "अगले" स्तर के प्रकारों से संबंधित है, जहां एक अनंत (गिनती योग्य) स्तर की संख्या होती है।

जबकि रसेल की विधेय पदानुक्रम ज्ञात विरोधाभासों को खारिज करने के लिए (जाहिरा तौर पर) पर्याप्त था, यह एक मूलभूत प्रणाली के रूप में उपयोग करने के लिए बहुत मुश्किल निकला। विशेष रूप से, वास्तविक संख्या प्रणाली के रूप में कुछ भी सरल को परिभाषित करना बेहद मुश्किल था, और इसलिए रसेल ने एक स्वयंसिद्ध पोस्ट किया, एयूआईओएम ऑफ़ रेड्यूसबिलिटी ने पोस्ट किया कि सभी स्तर एक में "कम" हो गए। कहने की जरूरत नहीं है, यह एक संतोषजनक विकास नहीं था।

हालांकि, "हानिकारक" अप्रतिबंधित बयानों (जैसे अप्रतिबंधित समझ) के विपरीत, यह स्वयंसिद्ध किसी भी विसंगतियों का परिचय नहीं देता था। फाउंडेशनल थ्योरीज़ ( सरल प्रकार के सिद्धांत , ज़र्मेलो के सेट्स के सिद्धांत ) के बाद के फॉर्मूले ने उन्हें थोक में स्वीकार कर लिया, जो कि विधेय के परिवारों को बनाते हैं (संभवतः सेट के पूरे ब्रह्मांड पर मात्रा का ठहराव), एक ही स्तर पर भविष्यवाणी करते हैं।

सर्का 1971, मार्टिन-लोफ ने आश्रित प्रकार का सिद्धांत पेश किया जिसमें यह सिद्धांत और आगे की स्वयंसिद्ध दोनों Type : Typeपकड़ थी। यह प्रणाली सूक्ष्म कारणों से असंगत हो गई: भोले रसेल विरोधाभास (सीधे तरीके से) नहीं खेला जा सकता है, लेकिन एक चतुर एन्कोडिंग फिर भी एक विरोधाभास को खोजने की अनुमति देता है। इसने रसेल के समान विश्वास का संकट पैदा किया, जिसके परिणामस्वरूप हम जानते हैं और प्यार करने वाले ब्रह्मांडों के साथ विधेय प्रकार का सिद्धांत है।

सिद्धांत की मरम्मत करने का एक तरीका है "निर्दोष" impredicativity को ला ज़र्मेलो सेट सिद्धांत की अनुमति देने के लिए , जिसके परिणामस्वरूप प्रकार की गणना की तरह सिद्धांत हैं, लेकिन क्षति हुई थी, और प्रकार के सिद्धांत का "स्वीडिश स्कूल" impredicativity को अस्वीकार करने का इरादा रखता है।

कई बिंदु:

यह अंतर्ज्ञान गणित के साथ क्या करना है? जवाब ज्यादा नहीं है। XXth सदी के मोड़ पर, गणितज्ञों ने गैर-रचनात्मक तर्क के साथ परिपत्र / प्रतिपादक सिद्धांतों के उपयोग को स्वीकार करने का प्रयास किया (अंतर्ज्ञान यह होने के कारण कि अप्रयुक्त तर्क एक पूर्व-मौजूदा गणितीय ब्रह्मांड को मानते हैं, जैसा कि बहिष्कृत मध्य का उपयोग करता है)। हालांकि, पूरी तरह से अंतर्ज्ञानवादी सिद्धांत (जैसे IZF ) हैं। अंतर्ज्ञानवाद में रुचि रखने वाले लोग अभी भी किसी न किसी कारण से प्रेडिक्टिविज्म में रुचि रखते हैं (मैं इसका दोषी हूं, निश्चित रूप से)।
आप गणित में क्या कर सकते हैं? जैसा कि मार्टिन अपने जवाब में बताते हैं, हरमन वेइल (आंद्रे वील के साथ भ्रमित नहीं होना) ने एक कार्यक्रम शुरू किया, जिसमें प्रेडिक्टिव सिस्टम की अभिव्यंजक शक्ति का पता लगाने की कोशिश की गई, जो शुरुआती बिंदु के रूप में ले रहा था कि प्रेडोएक्टिव सिस्टम पॉक्सो अरिथमेटिक और सेकंड ऑर्डर के बीच अभिव्यंजक ताकत के थे अंकगणित , जो कि अधिकांश मानकों के द्वारा प्रतिपादक होने के लिए बहुत अधिक सहमत है (और प्रकार सिद्धांत पर सिस्टम एफ के लिए तुलनीय है)। कार्यक्रम को बाद में "रिवर्स गणित" करार दिया गया क्योंकि इसने उन्हें (सामान्य दृष्टिकोण के विपरीत) साबित करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध शब्दों के संदर्भ में ज्ञात गणितीय प्रमेयों की ताकत को वर्गीकृत करने की कोशिश की । विकिपीडिया पृष्ठ एक अच्छा अवलोकन देते हैं; यह कार्यक्रम काफी सफल रहा, जिसमें ज्यादातर XIXth सदी के गणित को बहुत कमजोर प्रणालियों में आसानी से समायोजित किया जा सकता है। यह अभी भी एक खुला सवाल है कि क्या यह कार्यक्रम उच्च श्रेणी के सिद्धांत में (हाल ही के परिणामों के लिए और अधिक संदेह पैदा कर सकता है, इसका जवाब यह है कि इसका जवाब "हाँ, बड़े प्रयास के साथ है")।

— कोड़ी
स्रोत

आपकी अच्छी पोस्ट में एक बहुत ही रोचक पक्ष-टिप्पणी है: " अधिकांश मानकों द्वारा impredicative होने के लिए बहुत अधिक सहमति है "। यह कुछ सूक्ष्म की ओर इशारा करता है, जिसका अर्थ है कि यह स्पष्ट नहीं है कि वास्तव में विधेय और छाप के बीच की सीमा कहाँ खींची जानी चाहिए।

— मार्टिन बर्गर

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

एक आयाम प्रकार का निष्कर्ष है। उदाहरण के लिए सिस्टम एफ के प्रकार का अनुमान निर्णायक नहीं है, लेकिन इसके कुछ विधेय अंशों में निर्णायक (आंशिक) प्रकार के इंजेक्शन हैं।

एक और आयाम एक तर्क के रूप में स्थिरता है। गणमान्य विचारकों ने ऐतिहासिक रूप से गणित के प्रतिवाद की नींव रखने के बारे में थोड़ा असहज महसूस किया है। आखिरकार, यह परिपत्र तर्क का एक रूप है। मुझे लगता है कि एच। वेइल शायद पहले में से एक थे, जिन्होंने पहले से ही सुरक्षित तरीके से रहने के लिए जितना संभव हो उतना गणित को फिर से बनाने की कोशिश की। हमने सीखा है कि शास्त्रीय गणित में प्रतिरूपता की समस्याएँ समस्याग्रस्त नहीं हैं, इस अर्थ में कि कोई भी विरोधाभास कभी भी ame टेम ’के प्रतिरूपात्मक परिभाषाओं से उत्पन्न नहीं हुआ है। समय के साथ हमने उन पर भरोसा करना सीख लिया। ध्यान दें कि यह (विरोधाभास की अनुपस्थिति) एक अनुभवजन्य हैअवलोकन! हालांकि, प्रूफ थ्योरी के अधिकांश विकास, अपने अजीब क्रमिक निर्माणों के साथ अंतिम लक्ष्य के रूप में 'नीचे से', यानी बिना किसी अर्थ परिभाषा के निर्माण की इच्छा रखते हैं। यह कार्यक्रम पूरा नहीं हुआ है। हाल के वर्षों में, गणित की विधेय नींव में रुचि विरोधाभास के बारे में चिंताओं से हटकर साक्ष्यों की कम्प्यूटेशनल सामग्री में बदल गई है, जो विभिन्न कारणों से दिलचस्प है। यह बताता है कि अनुकरणीय परिभाषाएँ कम्प्यूटेशनल सामग्री को निकालना मुश्किल बनाती हैं। संगति की चिंता में एक और कोण करी-हावर्ड परंपरा से आता है। मार्टिन-लोफ का मूल प्रकार सिद्धांत सिद्धांतवादी था ... और निराधार। उस झटके के बाद, उन्होंने केवल विधेय प्रणालियों का प्रस्ताव किया, लेकिन बहुत सी अप्रत्यक्षता की शक्ति हासिल करने के लिए आगमनात्मक डेटा प्रकारों के साथ संयोजन किया।

— मार्टिन बर्जर
स्रोत

निष्पक्ष होने के लिए, रसेल पहले प्रयास में से एक था । वह एक तरह से हारी हुई हार (स्वयंसिद्धता का स्वयंसिद्ध) है।

— कोड़ी

@ मैं इन प्रयासों के इतिहास से बहुत परिचित नहीं हूँ। वेइल (और एस। फेफरमैन) अपने प्रयासों में कितने सफल रहे हैं? MLTT / HOTT निश्चित रूप से काम करते हैं, मैं कहूंगा।

— मार्टिन बर्जर

असल में, वेइल बेहद सफल था, यानी विश्लेषण के अधिकांश कोष को 2 डी ऑर्डर (इमप्रोडक्टिव) गणित के लिए अपील के बिना औपचारिक रूप दिया जा सकता है। काम का शरीर उल्टा गणित का हिस्सा बन गया है, जो आपकी ज़रूरत के हिसाब से कितनी "प्रतिरूपता" की मात्रा निर्धारित करता है।

— कोड़ी

यह सच नहीं है कि प्रूफ थ्योरी "अपने अजीब क्रमिक निर्माणों के साथ" कर सकती है, बिना किसी गणितीय परिभाषा के सभी गणित का निर्माण करती है। मुद्दा यह है कि प्रूफ थ्योरी एक निर्वात के भीतर नहीं होती, बल्कि एक औपचारिक प्रणाली में होती है, जिसमें खुद कुछ प्रूफ-थेरैटिक ऑर्डिनल होते हैं, जो अच्छी तरह से स्थापित साबित करने में असमर्थ होते हैं। इसलिए यह खोज निश्चित रूप से 'नीचे' तक नहीं पहुंच सकती है। कुछ तर्कशास्त्रियों को लगता है कि Γ [0] पहला इम्प्रैडिटिव ऑर्डिनल है, और यदि ऐसा है तो आप पर अटके हुए हैं और ATR0 का औचित्यपूर्ण रूप से औचित्य नहीं कर सकते। यदि नहीं, तो आपको यह बताने की आवश्यकता है कि, [0] विधेय है। आप कैसे?

— user21820

@ user21820 मैंने यह नहीं कहा कि सभी गणित को बिना किसी अर्थ परिभाषा के बनाया जा सकता है, यह एक खुला प्रश्न है।

— मार्टिन बर्जर

प्रकार के सिद्धांत मुख्य रूप से सामाजिक-तकनीकी कारणों से भविष्यवाणी की ओर बढ़ते हैं।

सबसे पहले, impredicativity की अनौपचारिक अवधारणा को दो अलग-अलग तरीकों से (कम से कम) औपचारिक रूप दिया जा सकता है। सबसे पहले, हम कहते हैं कि सिस्टम एफ जैसा एक प्रकार का सिद्धांत प्रतिपादक है क्योंकि प्रकार की मात्रा का ठहराव सभी प्रकारों पर हो सकता है (जिसमें मात्रा का प्रकार भी शामिल है)। इसलिए हम सामान्य पहचान और रचना ऑपरेटरों को परिभाषित कर सकते हैं:

\begin{array}{lclll} मैं घ & : & \forall ए । ए \to ए & = & Λ ए । λ एक्स । एक्स \\ सी ओ म पी ओ रों इ & : & \forall ए, ख, सी । (ए \to ख) \to (ख \to सी) \to (ए \to सी) & = & Λ ए, ख, सी । λ च, जी । λ एक्स । जी (च एक्स) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

हालांकि, ध्यान दें कि मानक (जैसे, ZFC) सिद्धांत सेट करते हैं, ये ऑपरेशन ऑब्जेक्ट के रूप में निश्चित नहीं हैं । नहीं है ऐसी कोई बात नहीं है क्योंकि एक समारोह एक डोमेन सेट और एक codomain सेट बीच एक रिश्ता है, के रूप में "पहचान समारोह" सेट सिद्धांत में है, और अगर एक भी समारोह पहचान समारोह हो सकता है, तो आप इसे इस्तेमाल कर सकते हैं एक सेट के निर्माण के लिए सभी सेटों की। (यह मूल रूप से जॉन रेनॉल्ड्स ने दिखाया है कि सिस्टम-एफ शैली बहुरूपता का कोई सेट-सिद्धांत नहीं था)।

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

तो एफ-शैली की प्रतिरूपकता सेट के रूप में एक भोलेपन के साथ असंगत है। यदि आप प्रूफ असिस्टेंट के रूप में टाइप थ्योरी का उपयोग कर रहे हैं, तो मानक टूल को अपने टूल में आसानी से पोर्ट करने में सक्षम होना अच्छा है, और इसलिए इस तरह के सिस्टम को लागू करने वाले अधिकांश लोग बस impredicativity को दूर करते हैं। इस तरह से हर चीज में एक सेट-थ्योरैटिक और टाइप-थ्योरैटिक रीडिंग होती है, और आप उन चीजों की व्याख्या कर सकते हैं, जो आपके लिए सबसे सुविधाजनक हैं।

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

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