सामान्य रेखांकन में त्रिभुजों की गणना समय में तुच्छ रूप से की जा सकती है और मुझे लगता है कि बहुत तेज करना कठिन है (संदर्भों का स्वागत)। प्लानर ग्राफ के बारे में क्या? निम्नलिखित सीधी प्रक्रिया से पता चलता है कि यह समय में किया जा सकता है । मेरा सवाल दो गुना है:O ( n log n )
- इस प्रक्रिया के लिए एक संदर्भ क्या है?
- क्या समय को रैखिक बनाया जा सकता है?
लिप्टन-टार्जन के प्लानेर सेपरेटर प्रमेय के एल्गोरिदमिक प्रमाण से, हम ग्राफ़ के आकार में समय रेखीय में, ग्राफ के शीर्षों के विभाजन को तीन सेटों सकते हैं जैसे कि एक अंक के साथ कोई किनारा नहीं है। और में अन्य , का आकार हुआ है और दोनों ऊपरी छोरों की संख्या के ऊपरी हिस्से को से घिरा हुआ है । ध्यान दें कि ग्राफ में कोई भी त्रिभुज या तो पूरी तरह से अंदर है या पूरी तरह से अंदर है या कम से कम एक वर्टेक्स का उपयोग करता है जिसमें या दोनों से अन्य दो कोने हैं ।ए बी एस ओ ( √ए,बी 2 एबीएसए∪एसबी∪एस । इस प्रकार यह पर ग्राफ में त्रिकोण की संख्या की गणना करने के लिए पर्याप्त होता है और के पड़ोसियों में (और इसी तरह के लिए )। ध्यान दें कि और उसका -neighbours एक राउटर प्लानर ग्राफ को प्रेरित करते हैं (उक्त ग्राफ के व्यास के प्लैनर ग्राफ का उपसमूह है )। इस प्रकार इस तरह के ग्राफ में त्रिकोणों की संख्या की गणना डायनेमिक प्रोग्रामिंग या कोर्टसेल के प्रमेय के एक अनुप्रयोग द्वारा की जा सकती है (मुझे यह निश्चित रूप से पता है कि इस तरह के एक गिनती संस्करण एल्बेरफेल्ड एट अल द्वारा लॉगस्पेस दुनिया में मौजूद है और यह अनुमान लगा रहा है कि यह भी मौजूद है एक रेखीय त्रिभुज बनाने के बाद से (रैखिक समय में दुनिया) एक हैS A B B S A k k 4 M S O 1 संपत्ति और चूंकि एकबंधे हुएचौड़ाई के पेड़ के अपघटन एक एम्बेडेड के- राउटर प्लानर ग्राफसे प्राप्त करना आसान है।
इस प्रकार हमने समस्या को उन समस्याओं की एक जोड़ी तक कम कर दिया है जो प्रत्येक रैखिक समय प्रक्रिया की कीमत पर एक छोटा अंश है।
ध्यान दें कि प्रक्रिया को समय में इनपुट ग्राफ के अंदर किसी भी निश्चित जुड़े हुए ग्राफ के उदाहरणों की संख्या की संख्या का पता लगाने के लिए बढ़ाया जा सकता है ।