किन भाषाओं के लिए पहले से ही अवलोकन संबंधी सिद्धांत का सिद्धांत है?

Question

एक शुद्धता प्रमाण के लिए, मैं के शुद्ध प्रकार सिस्टम (पीटीएस) के लिए कार्यक्रम तुल्यता की एक उपयोगी धारणा की तलाश कर रहा हूं ; पर्याप्त विशिष्ट प्रकार की प्रणालियों के लिए गायब है। मेरा लक्ष्य केवल धारणा का उपयोग करना है, न कि इसकी स्वयं की जांच करना।$\cong$

यह धारणा "होना चाहिए extensional " - विशेष रूप से, साबित होता है कि , यह साबित करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए टी $t_1 \cong t_2$ उपयुक्त प्रकार केसभी मानों के लिए ।$t_1\; v \cong t_2\; v$$v$

भावनात्मक समानता

भावनात्मक समानता आसानी से सभी सही नींबू को संतुष्ट कर देती है, लेकिन मनमाने ढंग से पीटीएस के लिए एक शब्दार्थ अर्थ बल्कि चुनौतीपूर्ण लगता है - यह सिस्टम एफ के लिए पहले से ही कठिन दिखाई देगा।

प्रासंगिक / अवलोकन समतुल्यता

स्पष्ट विकल्प तो संदर्भात्मक तुल्यता के विभिन्न रूप हैं (दो शब्द समतुल्य हैं यदि कोई जमीनी संदर्भ उन्हें अलग नहीं कर सकता है), लेकिन इसकी परिभाषा तुरंत प्रयोग करने योग्य नहीं है; विभिन्न नींबू साबित करने के लिए तुच्छ नहीं हैं। क्या वे पीटीएस के लिए साबित हुए हैं? वैकल्पिक रूप से, क्या सिद्धांत एक "स्पष्ट विस्तार" होगा, या क्या यह मानने का कारण है कि सिद्धांत काफी भिन्न होगा?

संपादित करें: मैंने यह नहीं कहा कि ऊपर क्या मुश्किल है।

आसान हिस्सा: परिभाषा

समानता को परिभाषित करना बहुत कठिन नहीं है, और परिभाषा कई पत्रों में दिखाई देती है (कम से कम प्लॉटकिन 1975 के पीसीएफ के अध्ययन से शुरू, अगर पहले नहीं - स्रोत 1968 से मॉरिस की पीएचडी थीसिस हो सकती है)। हम अगर सभी के लिए जमीन संदर्भों सी , सी [ टी 1 ] ≃ सी [ टी 2 ] - जो है, सी [ टी 1 ] और सी [ टी 2 ] एक ही देना परिणाम$t_1 \cong t_2$$C$$C[t_1] \simeq C[t_2]$$C[t_1]$$C[t_2]$। आप विकल्प के बहुत सारे के साथ यहाँ कुछ विकल्प हैं: उदाहरण के लिए, एक जोरदार सामान्य भाषा में, यदि आप प्राकृतिक की तुलना की एक जमीन प्रकार है, तो आप कह सकते हैं कि जमीन संदर्भों होते हैं कि वापसी प्राकृतिक की, और फिर का मतलब है कि एक और बी उसी संख्या का मूल्यांकन करते हैं। गैर-समाप्ति के साथ, उचित भाषाओं के लिए, अवलोकन के रूप में "एक्स टर्मेट्स" का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि यदि समाप्ति को देखते हुए दो कार्यक्रम समान हैं, तो परिणाम देखने के दौरान भी वे समान हैं।$a \simeq b$$a$$b$

कठिन भाग: प्रमाण

हालांकि, वे कागज अक्सर यह नहीं समझाते हैं कि वास्तव में इस परिभाषा का उपयोग करना कितना कठिन है। नीचे दिए गए सभी संदर्भ बताते हैं कि इस समस्या से कैसे निपटा जाए, लेकिन आवश्यक सिद्धांत एक विचार से अधिक कठिन है। हम चाहते हैं कि कैसे साबित करूं ? क्या हम वास्तव में संदर्भों पर केस विश्लेषण और इंडक्शन करते हैं? आप ऐसा नहीं करना चाहते हैं।$t_1 \cong t_2$

जैसा कि मार्टिन बर्जर बताते हैं, आप बिसिमुलेशन (जैसा कि पिट्स द्वारा किया जाता है) या एक तार्किक समतुल्य संबंध (जैसे हार्पर को बस "तार्किक साम्य" कहते हैं) का उपयोग करना चाहते हैं।

अंत में, आप ऊपर बताए अनुसार कैसे बहुआयामी साबित होते हैं?

हार्पर काफी चतुराई और तार्किक संबंधों के माध्यम से सिस्टम टी के लिए 10 पृष्ठों में इन सवालों को हल करता है। गड्ढे ज्यादा लगते हैं। कुछ भाषाएँ अभी और अधिक जटिल हैं।

इससे कैसे निपटा जाए

मैं वास्तव में पीटीएस के लिए समतुल्य सिद्धांत पर अपने प्रमाणों को सशर्त रूप से बनाने के लिए लुभाया गया हूं, लेकिन वास्तविक सिद्धांतों को nontrivial तर्क की आवश्यकता होती है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि इस तरह के अनुमान को धारण करने की संभावना कितनी होगी।

मुझे निम्न कार्यों के बारे में पता है (हालांकि विस्तार से नहीं):

• एंड्रयू पिट्स (उदाहरण के लिए एक विस्तारित सिस्टम एफ के लिए एटीटीएपीएल में, और कुछ पत्रों में, जैसे कि 58-पृष्ठ "ऑपरेशनलली-बेस्ड थ्योरी ऑफ़ प्रोग्राम इक्वेलेंस")।
• प्रोग्रामिंग लैंग्वेजेस की प्रैक्टिकल नींव (अध्याय 47-48), जो पिट्स से प्रेरित है (लेकिन सरल प्रमाण होने का दावा करता है)।
• कार्यक्रम तुल्यता का एक तार्किक अध्ययन । मुझे एक अंग्रेजी सार नहीं मिल रहा है, लेकिन यह साइड इफेक्ट्स (संदर्भ) के लिए बहुत प्रयास करने में लगता है, जो एक ऑर्थोगोनल जटिलता है।

Comments

$\Downarrow$$P \cong Q$$C[\cdot]$$C[P] \Downarrow$$C[Q] \Downarrow$

@MartinBerger: यह वह विचार है जिस पर मैं संकेत कर रहा हूं, लेकिन इसे सीधे साबित करना बहुत कठिन है, क्योंकि आपको सभी C के लिए प्रमाण देने की आवश्यकता है (मैं समझाता हूं कि प्रश्न में बेहतर होगा)। इसके अलावा, यदि सभी प्रोग्राम समाप्त हो जाते हैं, तो आप जिस परिभाषा का उपयोग करते हैं, जैसा कि दिया गया है, सभी कार्यक्रमों की पहचान करता है।

— ब्लिसोरब्लाड

$\beta\eta$

$C[P] \Downarrow true$$C[Q] \Downarrow true$$\cong$और (2) को संभालना आसान है, उदाहरण के लिए द्विमासिकता, या तार्किक संबंध की कुछ धारणा। आवेदन पर निर्भर करता है।

— मार्टिन बर्गर

@ ब्लेज़रब्लड शायद। कॉनक्यूरेसी थ्योरिस्ट लंबे समय से यह गहनता से कर रहे हैं, क्योंकि समवर्ती प्रक्रियाओं के साथ यह बहुत कम स्पष्ट है कि उपयोग करने के लिए तुल्यता की क्या धारणा है। इसने श्रम के एक विभाजन को जन्म दिया है: समतुल्यता की धारणा को परिभाषित करने के लिए संदर्भों पर परिमाणीकरण के साथ कमी आधारित शब्दार्थ का उपयोग करें और फिर समतुल्यता (या अनुपस्थिति) साबित करने के लिए लेबल किए गए बदलावों पर बिसिमुलेशन या निशान का उपयोग करें। संगामिति सिद्धांत में एक बड़ा खुला शोध प्रश्न है कि पूर्व से उत्तरार्द्ध एल्गोरिदम तक कैसे जाना है।

— मार्टिन बर्गर

Answer 1

$[\![ {-} ]\!]$

$$[\![ t_1 ]\!] = [\![ t_2 ]\!] \implies t_1 \cong t_2.$$

Comments

$\cong$

उत्तर के लिए धन्यवाद, लेकिन -1: जब मैं सहमत हूं, तो प्रश्न में शुद्ध प्रकार की प्रणालियों का उल्लेख है - AFAICS, शुद्ध प्रकार की प्रणालियों के लिए एक अर्थ-संबंधी शब्दार्थ एक खुली समस्या है, इसलिए मुझे लगता है कि एक उत्तर को कुछ सांप्रदायिक शब्दार्थों की ओर संकेत करना चाहिए। (वास्तव में, यदि मेरे पास एक शब्दार्थ शब्दार्थ होता, तो मैं परिचालन के साथ पूरी तरह से अलग हो जाता, जैसा कि प्रश्न में वर्णित है)। (लेकिन लंबे समय तक सवाल के लिए खेद है।)

— ब्लेसरब्लड

@MartinBerger, मैं आपकी आलोचना को नहीं समझता। ओपी अवलोकन संबंधी समानता दिखाने के तरीकों के बारे में पूछता है, मैं एक सामान्य का उल्लेख करता हूं, और फिर आप आपत्ति करते हैं कि अन्य तरीके मौजूद हैं जो विधि से बचते हैं?

— बाउर

@ ब्लेज़रब्लड, ठीक है, तो आपको बस शुद्ध प्रकार के सिस्टम के लिए एक शब्दार्थ शब्दार्थ का आविष्कार करना होगा, है ना? :-) लेकिन अधिक गंभीरता से, मैं एलेक्स सिम्पसन से पूछूंगा, वह इस तरह की चीजों के लिए शब्दार्थ विज्ञान के बारे में बेहतर जानता होगा।

— बाउर '

@AndrejBauer यह एक आलोचना के रूप में नहीं था, एक परिशिष्ट के रूप में और अधिक।

— मार्टिन बर्जर

Answer 2

$\eta$

Comments

मुझे नहीं लगता कि स्ट्रेचर की पीएचडी पीटीएस के बारे में है। यह गणना के शब्दार्थों के बारे में है विश्वसनीयता और स्वतंत्रता के परिणामों के माध्यम से विश्वसनीयता शब्दार्थ। देखें यहाँ ।

— मार्टिन बर्गर

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! मुझे डर है कि लिंक टूट गया है (और की गई लिंक से ठीक करना मुश्किल है)।

— कोड़ी

लिंक यहाँ पुस्तक की सामग्री की तालिका थी । मुझे उम्मीद है कि यह बेहतर काम करेगा।

— मार्टिन बर्गर

$\lambda^*$

@MartinBerger: क्या आप वास्तविकता शब्दार्थ का मतलब है?

— डोमिनिक डेविस

Answer 3

यह उत्तर समस्या का एक दृष्टिकोण बताता है। (प्रतिक्रिया का स्वागत है)।

पीएफपीएल अध्याय 49 चर्चा करता है, एक बार, अवलोकन समतुल्यता और तार्किक समतुल्यता के बराबर धारणाएं। तार्किक समानता एक समान संबंध है जो स्टेट पैरामीट्रिकिटी के लिए उपयोग किया जाता है, इसलिए अध्याय का मूल सिस्टम 1 के लिए पैरामीट्रिकिटी का प्रमाण है।

पीटीएस, एएफएआईसीटी के लिए समरूपता पर काम, अवलोकन संबंधी तुल्यता के साथ संबंध पर चर्चा नहीं करता है। वास्तव में, यहां तक ​​कि अवलोकन संबंधी समतुल्यता को भी परिभाषित करने के लिए, जब तक कि आपके पास नॉनमर्मेशन न हो, आपको टिप्पणियों के लिए उपयोग करने के लिए कुछ सकारात्मक ग्राउंड प्रकार (न्यूरल, बुलियन) की आवश्यकता होती है।

हालांकि, दो संबंधों को संबंधित करने के लिए मुख्य प्रमेय (PFPL 47.6, 48.3, 49.2) विशिष्ट भाषा से स्वतंत्र रूप से सिद्ध होता है:

प्रेक्षणीय तुल्यता अभिव्यक्तियों पर सबसे अधिक सुसंगत अनुरूप है।

फिर, यह दिखाने के लिए कि तार्किक तुल्यता का अर्थ है अवलोकन संबंधी तुल्यता, किसी को केवल यह दिखाना चाहिए कि तार्किक समानता एक सुसंगत अनुरूपता है। हालांकि, दूसरी दिशा में कुछ और काम करने की आवश्यकता है: विशेष रूप से, यह दिखाने के लिए कि तार्किक समानता एक अनुरूपता है, एक संदर्भों पर प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।

n + 1 = 1 + nVecN nnVecNVecN$n + 1 = 1 + n$Vec (n + 1)Vec (1 + n)n + 11 + n