क्या एक छँटाई नेटवर्क के लिए बहुपद के लिए कई 0-1 अनुक्रमों को क्रमबद्ध करना पर्याप्त है?

Question

0-1 सिद्धांत कहता है कि यदि कोई क्रमबद्ध नेटवर्क सभी 0-1 अनुक्रमों के लिए काम करता है, तो यह संख्याओं के किसी भी सेट के लिए काम करता है। वहाँ एक है $S\subset \{0,1\}^n$ ऐसी है कि एक नेटवर्क एस से हर 0-1 अनुक्रम सॉर्ट करता है, तो यह सॉर्ट करता हर 0-1 अनुक्रम और के आकार में बहुपद है ?$S$$n$

उदाहरण के लिए, यदि में सभी अनुक्रम होते हैं, जहां अधिकांश रन (अंतराल) होते हैं, तो क्या एक छँटाई नेटवर्क N और एक क्रम है जो N द्वारा आदेश नहीं है यदि सभी सदस्य N द्वारा आदेशित हैं?2 $S$$2$$S$

उत्तर: जैसा कि उत्तर और टिप्पणियों से देखा जा सकता है, इसका उत्तर यह है कि प्रत्येक अनसुलझे स्ट्रिंग के लिए एक सॉर्टिंग नेटवर्क है जो हर दूसरे स्ट्रिंग को सॉर्ट करता है। इसके लिए एक सरल प्रमाण निम्नलिखित है। स्ट्रिंग ऐसा हो कि हमेशा के लिए और । चूँकि , सॉर्ट करने के बाद होना चाहिए । हर तुलना करें जिसके लिए । फिर हर जोड़ी तुलना करें जैसे कि औरएस मैं = 0 मैं < कश्मीर रों कश्मीर = 1 रों रों कश्मीर 0 कश्मीर मैं एस मैं = 1 ( मैं , जे ) मैं ≠ k जे ≠ $s=s_1\ldots s_n$$s_i=0$$i<k$$s_k=1$$s$$s_k$$0$$k$$i$$s_i=1$$(i,j)$$i\ne k$$j\ne k$कई बार। इस पत्ते पूरी स्ट्रिंग अनुसार क्रमबद्ध, के लिए संभवतः सिवाय , जिसके लिए unsorted है , और कुछ अन्य तार है और अधिक के लिए 'की तुलना में एस । अब की तुलना के लिए downto जगह है जहाँ के अलावा में जाना चाहिए । यह सब कुछ सॉर्ट करेगा लेकिन । रों 1 रों रों कश्मीर मैं = n 1 रों कश्मीर रों $s_k$$s$$1$$s$$s_k$$i=n$$1$$s_k$$s$$s$

अपडेट: मुझे आश्चर्य है कि अगर हम नेटवर्क की गहराई को तक सीमित करते हैं तो क्या होगा ।$O(\log n)$

Comments

ऐसा लगता है कि संभव होने के लिए आपको सॉर्टिंग नेटवर्क का आकार के आकार से छोटा होना चाहिए । अन्यथा, क्या नेटवर्क अभी जाँच नहीं कर सकता है कि इनपुट S के तत्वों में से एक है और यदि ऐसा है तो सही ढंग से कार्य करता है, अन्यथा गलत तरीके से कार्य करता है? $S$$S$

— usul

@usul: मुझे नहीं लगता कि कोई सॉर्टिंग नेटवर्क ऐसी चीज़ की जांच कर सकता है। किसी भी तरह, छँटाई नेटवर्क के साथ काम करना केवल स्वाभाविक है जिसका आकार में बहुपद है । $n$

— डोमोटर

Answer 1

ऐसा नहीं लगता है। इयान पार्बेरी संदर्भ बनाता है चुंग और रविकुमार, द्वारा एक कागज जहां वे माना जाता है कि एक छँटाई नेटवर्क है कि हर bitstring लेकिन एक है, और आगे अनुमान है कि एक छँटाई नेटवर्क की पुष्टि करने की समस्या है प्रकार के एक पुनरावर्ती निर्माण देने के लिए - एन पी पूरा। मुझे अभी मूल पेपर नहीं मिल रहा है, लेकिन निश्चित रूप से यह (मेरे) अंतर्ज्ञान से मेल खाता है।$co$$NP$

जोड़ने के लिए संपादित करें: ऐसे नेटवर्क को खोजना वास्तव में बहुत आसान है जो बिल्कुल एक स्ट्रिंग को याद करता है। याद किया जाने वाला तार । अब आप बस एक सर्किट चाहते हैं जो अंतिम n - 1 बिट्स को सॉर्ट करता है, फिर पहले n - 1 बिट्स को सॉर्ट करें । यह सर्किट कम से कम दो 1 एस के साथ कुछ भी छांटेगा, जाहिर तौर पर ऑल-जीरो स्ट्रिंग को सॉर्ट करेगा, और 0 से शुरू होने वाले किसी भी स्ट्रिंग को सॉर्ट करेगा ।$(1,0,\ldots,0)$$n-1$$n-1$$1$$0$

Comments

क्या आपके उत्तर में नेटवर्क सॉर्ट करने वाले उदाहरण को सामान्यीकृत किया जा सकता है, ताकि किसी भी दिए गए स्ट्रिंग के लिए, आप उस सॉर्टिंग नेटवर्क का निर्माण कर सकें जो उस स्ट्रिंग को गलत तरीके से टाइप करता है? आप यह दिखाते हैं कि यह एक विशेष स्ट्रिंग के लिए कैसे किया जाता है, लेकिन अन्य तारों के बारे में क्या?

— DW

आप निश्चित रूप से या n - 1 वजन के किसी भी स्ट्रिंग के लिए कर सकते हैं , लेकिन मुझे संदेह है कि एकल मनमाना बिटस्ट्रिंग को याद करना संभव है। $1$$n-1$

— एंड्रयू डी। राजा

ठीक है, इसलिए मैं यह नहीं देख रहा हूं कि आपका उत्तर कैसे दिखाता है कि उत्तर "नहीं" है। आपके उत्तर के दूसरे पैराग्राफ में निर्माण मूल प्रश्न का नकारात्मक उत्तर नहीं देता है, क्योंकि वजन या n - 1 के केवल बहुपद हैं । ऐसा लगता है कि आपके उत्तर में सारा काम इयान परबेरी पेपर के संदर्भ में किया जा रहा है, लेकिन परबेरी पेपर में यह वाक्य अस्पष्ट है और चुंग एट अल पेपर को पढ़े बिना मैं यह नहीं देख रहा हूं कि हम यह कैसे निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उत्तर सवाल "नहीं" है। $1$$n-1$

— डीडब्लू

अधिक निपुणता: " मजबूत nondeterministic ट्यूरिंग कमी - अंतरंगता साबित करने के लिए एक तकनीक " (चुंग और रविकुमार) निम्नांकित के रूप में निम्न को सूचीबद्ध करती है 2.1: किसी भी गैर-सॉर्ट किए गए स्ट्रिंग , बहुपद आकार का एक ऐसा नेटवर्क मौजूद है जो x को छोड़कर सभी तारों को सही ढंग से सॉर्ट करता है । सबूत के लिए यह "छंटाई और संबंधित समस्याओं के लिए परीक्षण सेट के आकार पर" (चुंग और रविकुमार) को संदर्भित करता है, लेकिन मैं बाद के पेपर की एक प्रति नहीं खोज सकता। यह वास्तव में इसका अर्थ होगा कि इस प्रश्न का उत्तर "नहीं" है। $x$$x$

— डीडब्लू

चंग एंड रविकुमार का पेपर

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफेल्ट हैनसेन