फ्रीडमैन (अप्राप्य) ऊपरी शिफ्ट फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय के कम्प्यूटेशनल परिणाम?

Question

हार्वे फ्राइडमैन ने दिखाया कि एक साफ-सुथरा निश्चित बिंदु परिणाम है जो ZFC (सामान्य ज़र्मेलो-फ़्रैंकेल सेट ऑफ़ थ्योरी ऑफ़ चॉइस) में साबित नहीं किया जा सकता है। कई आधुनिक लॉजिक्स को निर्धारित बिंदु ऑपरेटरों पर बनाया गया है, इसलिए मैं सोच रहा था: क्या सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के लिए ऊपरी शिफ्ट फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय के बारे में कोई परिणाम ज्ञात हैं?

असुरक्षित ऊपरी पारी निश्चित बिंदु प्रमेय
सभी , कुछ में यह ।$R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$$\text{us}(A)$

USFP प्रमेय एक कथन प्रतीत होता है , इसलिए यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान को प्रभावित करने के लिए कम्प्यूटेबिलिटी (जैसे स्वचालित संरचनाओं की गैर-समरूपता की जांच) के लिए "करीब पर्याप्त" हो सकता है।$\Pi^1_1$

पूर्णता के लिए, नवंबर 2009 से फ्रीडमैन की एमआईटी की बातचीत की परिभाषाएं हैं ( "बूलियन रिलेशन थ्योरी" पर मसौदा पुस्तक भी देखें )।

$Q$ तर्कसंगत संख्याओं का समूह है। हैं क्रम बराबर है, तो जब भी तो । जब तो ऊपरी पारी की , निरूपित किया , हर गैर नकारात्मक करने के लिए 1 जोड़कर प्राप्त है समन्वय । एक संबंध है आदेश अपरिवर्तनीय यदि प्रत्येक आदेश के लिए अपरिवर्तनीय बराबर यह मानती है कि । एक रिश्ता$x, y \in Q^k$$1 \le i,j \le k$$x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$$x \in Q^k$$x$$\text{us}(x)$$x$$A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$$x \in A \Leftrightarrow y \in A$$R \subseteq Q^k \times Q^k$यदि , उपसमूह के रूप में क्रम से अपरिवर्तित है, तो ऑर्डर अपरिवर्तनीय है , और जब भी तब सभी लिए सख्ती से हावी हो रहा है। । इसके अलावा अगर A , Q ^ k का उपसमूह है तो R [A] को निरूपित करता है \ {y | AR (x, y) \} में \ मौजूद x \ है, A की ऊपरी पारी है \ text {us} (A) = \ {\ text {us} (x) | x \ में A \} , और \ text {cube} (A, 0) , कम से कम B ^ k को दर्शाता है, जैसे B और A में B + k निहित है । चलो$R$$Q^{2k}$$x,y \in Q^k$$R(x,y)$$\max(x) \lt \max(y)$$A$$Q^k$$R[A]$$\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$$A$$\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$$\text{cube}(A,0)$$B^k$$0 \in B$$A$$B^k$$\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ सभी सख्ती से हावी आदेश के सेट को निरूपित करते हैं क्रमिक संबंध R \ subseteq Q ^ k \ टाइम्स Q ^ k$R \subseteq Q^k \times Q^k$ ।

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संपादित करें: जैसा कि Dömötör Pálvölgyi टिप्पणियों में बताते हैं, और को तर्कसंगत रूप से सामान्य क्रम में लेना एक प्रतिसाद देता है। सबसे पहले, सेट खाली नहीं हो सकता है, क्योंकि तब भी खाली है और को फिर घन स्थिति, एक विरोधाभास से 0 समाहित करना होगा। यदि गैर-खाली सेट में एक अनंत है तो इसमें इससे अधिक कोई तर्कसंगत नहीं हो सकता है, इसलिए यह एक सिंगलटन होना चाहिए, जो ऊपरी बदलाव की स्थिति का विरोधाभासी है। तो दूसरी ओर नहीं infimum तो है तो रिक्त होना ही चाहिए, एक विरोधाभास। $k=1$$R$$A$$R[A]$$A$$A$$A$$R[A] = Q$$A$इस बात पर कोई टिप्पणी कि क्या कोई छिपी हुई गैर-स्पष्ट निश्चित समस्याएँ हैं, जैसे कि तर्कसंगतों का एक अंतर्निहित गैर-मानक मॉडल?

आगे संपादित करें: ऊपर दिया गया तर्क लगभग सही है, लेकिन ऊपरी बदलाव के आवेदन में गलत है। यह ऑपरेटर केवल गैर-नकारात्मक निर्देशांक पर लागू होता है , इसलिए किसी भी नकारात्मक सिंगलटन सेट होने के लिए सेट करने से वांछित के रूप में एक निश्चित बिंदु प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, यदि तो एक समाधान है, और कोई अन्य समाधान नहीं हैं।$A$$m < 0$$A = \{m\}$

Comments

क्या कोई कृपया मुझे और अधिक विस्तार से कथन समझा सकता है? उदाहरण के लिए। यदि k = 1 और R x <y है, तो A क्या होगा?

— डोमोटरप 12

R SDOI है। यदि A में कोई अंतर नहीं है, तो R [A] Q होगा, और A खाली है। तो m को A. का अनंत मानें। फिर R [A] में m से ऊपर के सभी परिमेय शामिल होंगे। इसलिए सभी मीटर से ऊपर के परिमेय को बाहर करना चाहिए, इसलिए ठीक उसी प्रकार होना चाहिए जिसमें सिंगलटन मीटर हो। हालाँकि, हमें (A) में m + 1, विरोधाभास होना चाहिए। तो एकमात्र सुसंगत मामला यह है कि ए खाली है।

— आंद्र सलामन

मैं उसी तर्ज पर सोच रहा था, लेकिन मुझे थोड़ा धोखा महसूस हुआ। क्यूब (ए, 0) में 0 क्यों नहीं है? शायद मैं किसी चीज़ की परिभाषा नहीं समझता। यदि खाली सेट इस मामले में काम करता है, तो यह सभी आर के लिए काम क्यों नहीं करेगा?

— डोमोटर

आपके पास एक अच्छा बिंदु है, एक नोट जोड़ा है और कुछ और खुदाई करने की आवश्यकता होगी।

— आंद्र सलामन

@domotorp: रहस्य सुलझाया गया: हम (x) की परिभाषा को फिर से जांचें।

— आंद्र सलामन

Answer 1

मुझे इस विशेष प्रमेय के किसी भी परिणाम का पता नहीं है, लेकिन आगमनात्मक कंस्ट्रक्शन के कलन की तरह लैम्ब्डा कैल्कुली के सामान्यीकरण के प्रमाण बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों पर निर्भर करते हैं - भले ही लैम्ब्डा-शर्तों का सेट उतना ही गणना योग्य है जितना आप चाहते हैं।

मुझे लगता है कि बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व पर जोर देने वाले सेट-सिद्धांत संबंधी स्वयंसिद्धों के कम्प्यूटेशनल महत्व को समझने का सबसे अच्छा तरीका ग्राफ़ के सिद्धांत को फिर से बनाने के तरीके के रूप में सेट सिद्धांत के बारे में सोचना है। यही है, एक सेट का एक मॉडल सदस्यता की व्याख्या करने के लिए उपयोग किए जाने वाले द्विआधारी संबंध से लैस तत्वों का एक संग्रह है। फिर, सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्ध आपको सदस्यता संबंध के गुण बताते हैं, जिसमें यह भी शामिल है कि आप पुराने से नए सेट कैसे बना सकते हैं। विशेष रूप से, नींव का स्वयंसिद्ध अर्थ है कि सदस्यता संबंध अच्छी तरह से स्थापित है (यानी, इसमें कोई अवरोही श्रृंखला नहीं है)। बदले में यह अच्छी तरह से स्थापित होने का मतलब है कि यदि आप एक सेट के तत्वों की सकर्मक सदस्यता के साथ एक कार्यक्रम के निष्पादन राज्यों को पंक्तिबद्ध कर सकते हैं, तो आपके पास एक समाप्ति प्रमाण है।

इतना जोर कि "बड़ा" सेट मौजूद है, एक दावा है कि एक सामान्य पुनरावर्ती प्रोग्रामिंग भाषा में छोरों का एक निश्चित वर्ग समाप्त होने के रूप में एक कम्प्यूटेशनल अदायगी है। यह व्याख्या समान रूप से काम करती है, अनंत के सादे पुराने स्वयंसिद्ध (जो प्राकृतिक संख्या पुनरावृत्ति को सही ठहराती है) से सभी तरह से बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों तक।

क्या ये स्वयंसिद्ध सत्य हैं ? ठीक है, अगर स्वयंसिद्ध गलत है, तो आप इन वर्गों में से एक में एक कार्यक्रम पा सकते हैं जो समाप्त नहीं होता है। लेकिन अगर यह सच है, तो हम कभी भी निश्चित नहीं होंगे, हॉल्टिंग प्रमेय के लिए धन्यवाद। प्राकृतिक संख्या प्रेरण पर सब कुछ वैज्ञानिक प्रेरण का मामला है , जिसे हमेशा प्रयोग द्वारा गलत ठहराया जा सकता है - एडवर्ड नेल्सन ने प्रसिद्ध रूप से यह साबित करने की आशा की है कि घातांक एक आंशिक कार्य है!