प्रूफ जटिलता सिद्धांत में सबूत के लिए ग्राफ थ्योरेटिक प्रतिबंध


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सबूत जटिलता कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत का एक सबसे बुनियादी क्षेत्र है। इस क्षेत्र का एक अंतिम उद्देश्य को साबित करने के है , यह है कि, किसी भी prover नहीं दिए गए इनपुट सूत्र के unsatisfiability का एक सबूत दे सकते हैं। NPcoNP

एक ग्राफ सबूत के औपचारिक मॉडल में से एक है। मेरा सवाल इस मॉडल पर और प्रतिबंध लगाने के बारे में है।

एक सबूत को डीएजी के रूप में दर्शाया जाता है। फैन-इन 0 वाले नोड्स में स्वयंसिद्ध-लेबल होते हैं। फैन-आउट 0 के साथ अद्वितीय नोड "झूठे" से मेल खाता है। कटौती के इनपुट नियमों के लिए, प्रत्येक नोड जिसमें डिग्री और आउट-डिग्री दोनों हैं, में प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करने वाला लेबल है।

मेरा सवाल यह है कि:

क्या इस मामले में प्रूफ सिस्टम और संबंधित शोध हैं कि प्रूफ-डीएजी की श्रेणी प्रतिबंधित है? कागजात, सर्वेक्षण और व्याख्यान नोट का स्वागत है।

क्या प्रूफ सिस्टम जिसका पहले अध्ययन किया गया है जैसे कि Nullstellensatz, रिज़ॉल्यूशन, LS, AC0 फ़्रीज, RES (k), पोलीनोमियल कैलुकुलस, और कटिंग प्लान्स, कुछ ग्राफ थ्योरेटिक लक्षण वर्णन है ??

जवाबों:


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प्रमाण DAG पर सबसे स्वाभाविक प्रतिबंध यह है कि यह एक पेड़ है - अर्थात, किसी भी "लेम्मा" (मध्यवर्ती निष्कर्ष) का उपयोग एक से अधिक बार नहीं किया जाता है। इस संपत्ति को "ट्री-लाइक" कहा जा रहा है। बेन-सैसन, इम्पेग्लियाज़ो और विगडरसन द्वारा उदाहरण के लिए दिखाए गए पेड़ की तरह संकल्प की तुलना में सामान्य रिज़ॉल्यूशन घातीय रूप से अधिक शक्तिशाली है । अन्य प्रूफ सिस्टम के लिए भी अवधारणा पर विचार किया गया है - बस "ट्री-लाइक एक्स" की खोज करें, जहां एक्स एक प्रूफ सिस्टम है जो आपके लिए दिलचस्प है। संकल्प के विशेष मामले में, अन्य प्रतिबंध हैं जिन्हें माना जा सकता है। उदाहरण के लिए नियमित संकल्प के बारे में अलेख्नोविच, जोहानसेन, पित्तासी और अर्चार्थ का एक पेपर देखें ।

वृक्ष के समान संकल्प विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि डीपीएलएल के पारंपरिक कार्यान्वयन वृक्ष के समान संकल्प के अनुरूप हैं। क्लॉज लर्निंग की तकनीक, जो अभ्यास में महत्वपूर्ण है, सामान्य डीएजी की अनुमति देने से मेल खाती है। इसलिए डीएजी के सबूत की संरचना भी इसे उत्पन्न करने वाले एल्गोरिदम पर दृढ़ता से निर्भर है।


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यह भी ध्यान देने योग्य है कि वृक्ष के समान फ्रीज फ्रीज के बराबर है।
जोशुआ ग्रोको

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Müller और Szeider अध्ययन रिज़ॉल्यूशन साक्ष्यों का अध्ययन करते हैं, जहाँ प्रूफ़ DAG ने ट्री-चौड़ाई या बाउंडेड पाथ-वेड (इन ग्राफ़ जटिलता जटिलता के उपयुक्त एक्सटेंशन के लिए निर्देशित ग्राफ़ के लिए बाध्य किया है)।

वे बताते हैं कि डीएजी की पथ-चौड़ाई मूल रूप से प्रमाण की अंतरिक्ष जटिलता के समान है, और प्रमाण अंतरिक्ष की एक सामान्यीकृत धारणा को परिभाषित करती है जो पेड़-चौड़ाई के बराबर है।


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मजबूत पर्याप्त प्रूफ सिस्टम के लिए, सिस्टम में एक प्रूफ का ग्राफ प्रतिनिधित्व कम परिणामी लगता है, क्योंकि (जैसा कि यहोशू ग्रोचो ने पहले ही टिप्पणी की थी), डीएजी-जैसे और पेड़ की तरह के फ्रीज प्रूफ बहुपद के बराबर हैं ( इस तथ्य के प्रमाण के लिए क्राजिस्क के 1995 मोनोग्राफ देखें )।

संकल्प जैसे कमजोर प्रूफ सिस्टम के लिए, पेड़-जैसा डीएजी-जैसे प्रमाणों की तुलना में तेजी से कमजोर होता है (जैसा कि युवल फिल्मस ने वर्णित किया है)।

बेकमैन और बूस [1] (बेकमैन [2] के बाद ) निरंतर-गहराई के सबूत-ग्राफ के ऊंचाई (समतुल्य, गहराई) को प्रतिबंधित करने पर विचार किया जाता है फ्रीज सबूत और डीएजी-जैसे, पेड़ के आकार और निरंतर गहराई की ऊंचाई के बीच संबंधों की जांच की फ्रीज सबूत। (प्रूफ-ग्राफ की गहराई को सीमित करने और एक प्रूफ-लाइन में दिखाई देने वाले सर्किट की गहराई को सीमित करने के बीच अंतर पर ध्यान दें)।

पेड़-जैसे और डीएजी-जैसे नलस्टेलेंसट्ज (और बहुपद कैलकुलस) प्रमाणों के बीच अलगाव हो सकता है, जो मुझे वर्तमान में याद नहीं है।

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