क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के लिए सेट कवर

Question

Nxn क्रमचय मेट्रिसेस के एक सेट S को देखते हुए (जो n-संभव क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस का केवल एक छोटा सा अंश है), हम एस के न्यूनतम आकार के सबसेट के टी कैसे पा सकते हैं जैसे कि टी के मैट्रिक्स को जोड़ने से हर स्थिति में कम से कम 1 है?

मुझे इस समस्या में दिलचस्पी है जहां S Sn का एक छोटा उपसमूह है। मैं सोच रहा हूं कि क्या यह संभव है कि (और लागू हो) सन्निकटन एल्गोरिदम जो लालची एल्गोरिदम की तुलना में बहुत तेज हो (कई बार चलाएं जब तक कि यह 'भाग्यशाली' न हो जाए, जो एक बहुत ही धीमी प्रक्रिया है लेकिन फिर भी इसने लगभग कुछ सीमाएं दी हैं छोटे मामलों में), या अनुचित अनुचितता की गारंटी देता है कि मैं नहीं कर सकता।

इस समस्या के बारे में कुछ आसान तथ्य: क्रमपरिवर्तन मेट्रिसेस की लंबाई n चक्रीय समूह इस समस्या को हल करता है, ज़ाहिर है। (कम से कम n मेट्रिसेस की आवश्यकता होती है क्योंकि प्रत्येक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स में n वाले होते हैं और आवश्यक n ^ 2 वाले होते हैं।)

जिन सेटों की मुझे दिलचस्पी है, उनमें एन-चक्रीय समूह नहीं है।

यह समस्या सेट कवर का एक विशेष मामला है। वास्तव में, यदि हम X को सेट करते हैं (1,2, ... n) * (1,2, ... n), n ^ 2 तत्वों के साथ, तो प्रत्येक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स एक आकार n उपसमूह से मेल खाता है, और मैं इन सबसेट्स में से सबसे छोटे सबकोलेक्शन की तलाश में हैं जो X को कवर करते हैं। सेट कवर ही इस समस्या को देखने का एक अच्छा तरीका नहीं है, क्योंकि सामान्य सेट कवर समस्या का अनुमान है।

लालची दृष्टिकोण का उपयोग करने के कारण यह समस्या बहुत धीमी नहीं है, क्योंकि क्रमचय समूह में समरूपता बहुत अधिक अतिरेक को खत्म करने में मदद करती है। विशेष रूप से, यदि S एक उपसमूह है, और T एक छोटा उपसमूह है जो एक न्यूनतम कवरिंग सेट है, तो सेट sT (समूह s के किसी भी तत्व द्वारा गुणा T) अभी भी S में हैं और अभी भी एक कवरिंग सेट हैं (बेशक उसी आकार में, इसलिए अभी भी न्यूनतम है।) यदि आप सोच रहे थे, तो सफल मामले में n ~ 30 और | S - ~ 1000 है, भाग्यशाली लालची परिणाम होने के साथ | T | ~ 37। N ~ 50 वाले मामलों में कुछ बहुत ही खराब सीमाएँ होती हैं जिन्हें प्राप्त करने में बहुत लंबा समय लगता है।

संक्षेप में, मैं सोच रहा हूँ कि क्या इस समस्या के सन्निकटन दृष्टिकोण हैं या अगर यह अभी भी कुछ अनुपयुक्तता प्रमेय के भीतर फिट करने के लिए पर्याप्त है- जैसे सामान्य सेट कवर समस्या के लिए है। व्यवहार में संबंधित समस्याओं के बारे में क्या एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है? ऐसा लगता है कि कुछ संभव हो सकता है क्योंकि सबसेट एक ही आकार के हैं और हर तत्व एक ही छोटी आवृत्ति 1 / n पर दिखाई देता है।

-B

Comments

क्या आपको वास्तव में जोड़ने का मतलब है? मैं मानता हूं कि आप एक तरह के 'संघ' के बजाय, या वास्तव में एक ओरिंग हैं? क्योंकि अन्यथा आप एक प्रविष्टि में 2 के साथ समाप्त हो सकते हैं।

— सुरेश वेंकट

यूनियनिंग ठीक काम करती है। अगर मैं जोड़ता हूं, तो मुझे हर प्रविष्टि में 'कम से कम' 1 प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसका कारण मैं इसे जोड़ने के रूप में कल्पना करता हूं क्योंकि वास्तव में मैं एक गणितज्ञ हूं, और समूह तत्वों को जोड़ने में अभी भी गणितीय अर्थ है (जो कि समूह के क्रमपरिवर्तन मेट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व किए जाने पर निर्भर नहीं करता है) लेकिन परिपक्वता को 'मिलाने' में नहीं।

— ब्रायडेन वेयर

लेकिन इस स्थिति को क्रमबद्ध करने के लिए बिना किसी शर्त के कोई उपयोगी तरीका नहीं है जिससे संघ के बारे में सोचने के लिए स्वतंत्र महसूस हो। 2s (और भगवान ना करे 3s या उससे अधिक) केवल मार्करों के रूप में काम करेगा कि हम सभी 1s मैट्रिक्स में जोड़ने वाले n n मेट्रिसेस के ड्रीम सॉल्यूशन में नहीं हैं, 2s की संख्या और उच्चतर माप केवल कितने अतिरिक्त मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं। (प्रत्येक अतिरिक्त मैट्रिक्स अंत में कुल योग में n जोड़ता है।)

— ब्रायडेन वेयर

Answer 1

यहाँ मामले के लिए approximability की एक लगभग तंग विश्लेषण है, जहां एस है नहीं सममित समूह का उपसमूह होने की आवश्यकता ।

यह समस्या सेट कवर का एक विशेष मामला है, और एक साधारण लालची सन्निकटन एल्गोरिथ्म है [जोह case४]। यदि हम k k हार्मोनिक संख्या को H _k = = _{i = 1} ^k 1 / i के रूप में निरूपित करते हैं , तो लालची एल्गोरिथ्म एक अनुमान अनुपात H _n = ln n + Θ (1) प्राप्त करता है। (एक एल्गोरिथ्म है [DF97] जिसके परिणामस्वरूप थोड़ा बेहतर सन्निकटन अनुपात H _n an1/2 है।) ( संपादित करें : संशोधन 2 और पहले में लालची एल्गोरिथ्म के सन्निकटन अनुपात को सही मान से भी बदतर बताया गया था।)

इसके अलावा, यह निम्नलिखित अर्थों में लगभग इष्टतम है:

प्रमेय । क्रमपरिवर्तन अनुपात (1−) के भीतर क्रमपरिवर्तन के लिए सेट कवर नहीं लगाया जा सकता है ε ) ln n किसी भी निरंतर के लिए 0 < ε <1 जब तक एनपी ⊆ DTIME ( एन ^{ओ (लॉग लॉग एन )} )।

यहाँ एक सबूत का एक स्केच है। हम लिखते हैं [ n ] = {1,…, n }। हम सेट कवर से कमी का निर्माण करेंगे:

कवर
इंस्टेंस सेट करें : एक सकारात्मक पूर्णांक m और [ m ] के उपसमूह का एक संग्रह C। समाधान : C का एक सबसेट डी जैसे कि सेट्स का संघ
D [ m ] के बराबर है ।
उद्देश्य : छोटा करना | डी |

यह Feige [Fei98] कि सेट कवर एक सन्निकटन अनुपात (1- भीतर approximated नहीं किया जा सकता द्वारा एक प्रसिद्ध परिणाम है ε ) ln मीटर किसी भी निरंतर 0 के लिए < ε <1 जब तक एनपी ⊆ DTIME ( एन ^{ओ (लॉग लॉग एन )} )।

Let ( m , C ) सेट कवर का एक उदाहरण है। हम क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के लिए सेट कवर की एक आवृत्ति ( n , S ) का निर्माण करेंगे ।

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$i ≤n (जहां सूचकांक i +2 को modulo n के रूप में व्याख्या किया गया है )। 0≤ के लिए जे ≤ मीटर , परिभाषित एस _जे = { पी _ई क्यू ^j : ई ∈ सी ∪ {{ मीटर +1}}} और एस = एस ₀ ∪ ... ∪ एस _एम ।

दावा करते हैं । C में न्यूनतम [ m ] के आकार को k होने दें । तब S में न्यूनतम कवर का आकार ( k +1) ( m +1) के बराबर होता है ।

प्रमाण स्केच । अगर डी ⊆ सी [का एक आवरण है मीटर ], हम एक कवर का निर्माण कर सकते टी ⊆ एस (| आकार का विकास | +1) ( मीटर +1) द्वारा टी = { पी _ई क्यू ^j : ई ∈ एस ∪ {{ मीटर +1}}, 0≤ जे ≤ मीटर }।

दूसरी ओर, जाने टी ⊆ एस एक कवर किया जाना है। ध्यान दें कि S ₀ में सभी मैट्रिक्स आकार 2 × 2 के ब्लॉक के साथ विकर्ण हैं, और S में अन्य मैट्रिक्स में इन ब्लॉक में 0 हैं। इसलिए, टी ∩ एस ₀ इन ब्लॉकों को शामिल किया गया। इसके अलावा, टी ∩ एस ₀ शामिल पी _{{ मीटर +1}} के बाद से अन्यथा (2 मीटर +1, 2 मीटर +2) -entry कवर नहीं किया जाएगा। गौर करें कि ( टी ∩ एस ₀ ) ∖ { पी _{{ मीटर +1}}} में एक सेट कवर से मेल खातीसी । इसलिए, | टी ∩ एस ₀ | ≥ k +1। इसी तरह, के लिए किसी भी 0≤ जे ≤ मीटर , | टी ∩ एस _जे | ≥ कश्मीर +1। इसलिए, | T |। ( K +1) ( m +1)। क्लेम के प्रूफ स्केच का अंत ।

क्लेम द्वारा, ऊपर की गई कटौती अनुमानित अनुपात को बनाए रखती है। विशेष रूप से, यह प्रमेय की स्थापना करता है।

संदर्भ

[DF97] रोंग-ची दुह और मार्टिन फ़्यूरर। के सन्निकटन कश्मीर अर्द्ध स्थानीय अनुकूलन द्वारा सेट कवर। में कम्प्यूटिंग के सिद्धांत (STOC) पर बीस-नौवीं वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही , पीपी। 256-264 मई 1997 http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[फ़ेइ el ९ 98] यूरियल फीज सेट कवर सन्निकटन के लिए ln n की एक सीमा । एसीएम की पत्रिका , 45 (4): 634–652, जुलाई 1998. http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[जोहॉपुरा] डेविड एस। जॉनसन। दहनशील समस्याओं के लिए अनुमान एल्गोरिदम। कंप्यूटर और सिस्टम विज्ञान के जर्नल , 9 (3): 256–278, दिसंबर 1974। http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

Comments

त्सुयोशी, आपके उत्तर हाल ही में काफी प्रभावशाली रहे हैं। किसी दिन, इस साइट पर आपके एक प्रमाण को इटो लेम्मा के रूप में उद्धृत किया जाएगा। :-)

— आरोन स्टर्लिंग

@Aaron: अपनी तरह की टिप्पणी के लिए धन्यवाद। ध्यान दें कि प्रश्न में सबसे कठिन बात, अर्थात् एक उपसमूह के मामले में प्रतिबंध, इस उत्तर में पूरी तरह से अनदेखा है। यह सोचने का समय है!

— त्सुयोशी इतो

@ ऐरन: मुझे नहीं पता कि आपने कहा है कि जानबूझकर, लेकिन इटो का लेम्मा लिया गया है ( en.wikipedia.org/wiki/Ito_lemma )।

— रॉबिन कोठारी

Answer 2

ब्रसेल्स में दोपहर के भोजन पर हमने साबित किया कि यह समस्या 3SAT से काफी कम कमी है। हमारा प्रमाण अनुचित परिणाम (अभी तक) का कारण नहीं बनता है। हम इसके बारे में अधिक सोचेंगे।

मोटे तौर पर, आप एक 3-SAT उदाहरण (n वेरिएबल्स और सी क्लॉज़ के साथ) को क्रमबद्ध किए गए क्रमबद्धता की श्रृंखला में रूपांतरित करते हैं:

1 ... n वैरिएबल गैजेट n + 2, n + 3 का उपयोग 1 क्लाज का प्रतिनिधित्व करने वाले n + 1 की संख्या के लिए n करता है ... n + 2j, n + 2j + 1 jth खंड n + 2c + 2 का प्रतिनिधित्व करता है कचरा संग्रहकर्ता द्वारा उपयोग किया जाता है

चर xi को क्रमचय 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... और स्वैपिंग n + 2j + 1, n + 2j द्वारा प्रत्येक खंड के लिए दर्शाया गया है। कहाँ j जहाँ xi प्रकट होता है; और क्रमपरिवर्तन 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... और स्वैपिंग n + 2j + 1, n + 2j प्रत्येक खंड के लिए जहाँ j - Xi प्रकट होता है।

फिर हम प्रत्येक नंबर को उस स्थिति में रखने के लिए कचरा संग्रहकर्ता का उपयोग करते हैं जहां यह अन्यथा प्रकट नहीं हो सकता है। X को स्थिति y में रखने के लिए, हम y को स्थिति x + 2c + 2 और n + 2c + 2 की स्थिति x में रखते हैं। हमारे पास प्रत्येक चर के लिए n + 2c-1 ऐसे कचरा संग्रहकर्ता और प्रत्येक खंड के लिए 2 (n + 2c-1) होंगे। 3SAT संतोषजनक है अगर हम प्रत्येक चर के लिए 2 क्रमचयों में से एक का चयन कर सकते हैं, तो यदि क्रमोन्नति सेट कवर में आकार n + (n + 2c-1) (n + 2c) का समाधान है।

छोटे उदाहरणों के लिए शायद कुछ मामूली विवरण गायब हैं।

स्टीफन।