"स्टोकेस्टिक समीकरणों" की प्रणाली

Question

कोने और किनारों के साथ एक ग्राफ पर विचार करें । को वास्तविक चर साथ लेबल किया जाता है , जहां निश्चित होता है। प्रत्येक किनारे एक "माप" का प्रतिनिधित्व करता है: एज , मैं एक माप प्राप्त करता । अधिक सटीक रूप से, एक सही मायने में यादृच्छिक मात्रा है , समान रूप से वितरित और अन्य सभी मापों (किनारों) से स्वतंत्र।$n$$m$$x_i$$x_1=0$$(u,v)$$z \approx x_u - x_v$$z$$(x_u - x_v) \pm 1$

ऊपर दिए गए वितरण वादे के साथ मुझे ग्राफ और माप दिए गए हैं। मैं सिस्टम को "हल" करना चाहता हूं और के वेक्टर को प्राप्त करना चाहता हूं । क्या इस प्रकार की समस्याओं पर कुछ काम है?$x_i$

असल में, मैं एक और भी सरल समस्या को हल करना चाहता हूं: कोई मुझे और को इंगित करता है , और मुझे गणना । कोशिश करने के लिए कई चीजें हैं, जैसे सबसे छोटा रास्ता ढूंढना, या जितना संभव हो उतने निराशाजनक रास्ते खोजना और उन्हें औसत करना (लंबाई के वर्गमूल के व्युत्क्रम से भारित)। क्या कोई "इष्टतम" उत्तर है?$s$$t$$x_s - x_t$

कंप्यूटिंग की समस्या ही पूरी तरह से परिभाषित नहीं है (जैसे मुझे चर पर एक पूर्व ग्रहण करना चाहिए?)$x_s - x_t$

Comments

हालांकि यह एक उत्तर नहीं है, एस से टी के लिए एक मार्ग के साथ एक कलमन फ़िल्टर का उपयोग करने से पथ की लंबाई पर एक सभ्य संभाल पाने के तरीके के रूप में दिमाग में आता है।

— सुरेश वेंकट

यह मदद नहीं कर सकता है, या जरूरत से ज्यादा तकनीक हो सकती है, लेकिन रोबोटिक्स और आणविक जीव विज्ञान में जटिल और जिनके किनारों को नापा जाता है, के बारे में सवाल करने के लिए स्टोकेस्टिक एलजेबिक टोपोलॉजी का एक विकासशील सिद्धांत है। यादृच्छिक लिंकेज (लिंकेज = एज वेट के साथ ग्राफ) के बारे में प्रमेय हैं। उदाहरण के लिए, मुझे लगता है कि इस पेपर के परिणाम आपको अपने ग्राफ के अपेक्षित बेट्टी नंबर प्राप्त करने की अनुमति देंगे: arxiv.org/abs/0708.2997

— हारून स्टर्लिंग

क्या यह तथ्य है कि त्रुटियों को समान रूप से [-1,1] में वितरित किया गया है, बजाय आपकी समस्या या मनमाने मॉडलिंग निर्णय के कुछ अन्य वितरण के कारण? यदि बाद में आप संभवतः गाऊसी का उपयोग करके चीजों को बहुत सरल बना सकते हैं।

— वारेन शूडी

त्रुटि मॉडल निश्चित रूप से समस्या के लिए निहित है। $\pm 1$

— मिहाई

Answer 1

मशीन लर्निंग के जवाब के लिए आप जिस क्षेत्र को देखना चाहते हैं। आपने एक चित्रमय मॉडल प्रस्तुत किया है। मुझे लगता है कि इस मामले में तरीकों में उतना ही आसान है जितना कि विश्वास प्रसार को पर्याप्त होना चाहिए।

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सामान्य रेखांकन में विश्वास का प्रसार सटीक नहीं है। विश्वास प्रचार से अधिक राजसी तरीकों से मिहाई की समस्या हल करने योग्य प्रतीत होती है।

— वॉरेन शूडी

Answer 2

यदि माप गाऊसी थे, तो चुकता अवशिष्ट के योग को कम करना (जैसे रैखिक कम से कम वक्र वक्र फिटिंग) आपको अधिकतम संभावना अनुमानक देगा। आपकी समस्या के लिए मैंने कुछ भी नीचे नहीं लिखा है, लेकिन मैं अनुमान लगाता हूँ (बेयस नियम के माध्यम से) कि s का कोई भी सेट जो आपके डेटा को उत्पन्न कर सकता है, उतना ही संभव है कि उसने इसका उत्पादन किया हो। आप एक पॉलीटॉप में एक बिंदु (यानी बिना किसी उद्देश्य के साथ एक रैखिक कार्यक्रम को हल करके) एक अधिकतम संभावना समाधान पा सकते हैं। इस बात पर निर्भर करता है कि आप अपने अनुमान (हानि फ़ंक्शन) के साथ क्या करना चाहते हैं सबसे अच्छा अनुमानक वह है जो उस पॉलीटोप पर आपके नुकसान फ़ंक्शन के अभिन्न को कम करता है। मैं इंतजार करूँगा जब तक आप हमें यह नहीं बताएंगे कि उस अभिन्नता का मूल्यांकन और कुशलता से कम से कम करने के बारे में अनुमान लगाने से पहले आपका नुकसान क्या है।$x$

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ऐसा मानना ​​मुश्किल है। मान लीजिए कि मेरा ग्राफ और टी के बीच श्रृंखला-समानांतर है , और प्रत्येक धारावाहिक पथ की लंबाई समान है। प्रत्येक पथ मुझे एक ही मात्रा का एक स्वतंत्र माप देता है, और यदि पथ लंबे होते हैं, तो त्रुटि गौसियन बन जाती है। यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि अनोखा मेल पथों को औसत करने के लिए है, नहीं? $s$$t$

— मिहई

अच्छी बात। पॉलीटॉप में कहीं भी एस के संयुक्त वितरण का अधिकतम संभावना अनुमानक है , लेकिन मैं भूल गया कि आप एक्स एस - एक्स टी के केवल एक अनुमानक की तलाश कर रहे थे । X s - x t का अधिकतम संभावना अनुमानक प्राप्त करने के लिए आपको उस पॉलीटोप के साथ अधिकतम चौराहे के साथ विमान x s - x t = c खोजने की आवश्यकता है। ऐसा प्रतीत होता है कि सामान्य रूप से पॉलिथोप्स के कंप्यूटिंग संस्करणों में वास्तव में करना कठिन है, लेकिन इसका अनुमान लगाया जा सकता है: mathoverflow.net/questions/979/… । तो आप एक अनुमानित अधिकतम संभावना मूल्य के लिए एक द्विआधारी खोज कर सकते हैं। $x$$x_s-x_t$$x_s-x_t$$x_s - x_t = c$

— वारेन शूडी

बेशक, प्रश्न में विशेष रूप से बहुपद की मात्रा की गणना करना संभवतः बहुत आसान हो सकता है। मुझे इसके बारे में सोचना होगा।

— वारेन शूडी

मुझे इस बात का संदेह है कि गाऊसी लोगों से बेहतर व्यवहार किया जाता है कि संयुक्त वितरण का MLE प्रत्येक चर का MLE भी देता है। लेकिन मुझे अधिक सोचना होगा और / या यह सुनिश्चित करने के लिए इसे देखना होगा।

— वॉरेन शूडी

आपकी श्रृंखला / समानांतर उदाहरण से पता चलता है कि चुकता अवशिष्ट के योग को कम करना कुछ ग्राफ़ के लिए एक प्रभावी विधर्मी हो सकता है, तब भी जब आपकी त्रुटियां गौसियन न हों।

— वॉरेन शूडी