क्या असममित जटिलता के साथ एक सरल खेल है?

Question

पूर्ण जानकारी दो-खिलाड़ी कॉम्बीनेटरियल गेम पर विचार करें जो एक बहुपद संख्या के बाद समाप्त होता है, और एक वैकल्पिक तरीके से, खिलाड़ी अनुमत चालों की एक सीमित संख्या से चुनता है। सामान्य सवाल यह है कि किसी दिए गए पद से विजेता को बताना कितना मुश्किल है। एक और होगा, एक जीतने की स्थिति से एक जीत की चाल को चुनना कितना मुश्किल होगा। (यहां मैं एक चाल जीतने को बुलाता हूं, अगर स्थिति इसे खेलने के बाद भी जीत रही है।) अंतर करने के लिए, मैं पूर्व स्थिति-संकलन और बाद के MOVE-COMPLEXITY कहूंगा।

यह देखना आसान है कि अगर MOVE-COMPLEXITY या P S P P A C E में है , तो ऐसा POSITION-COMPLEXITY है - हम इष्टतम चाल की गणना कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि अंत में कौन जीता है। (मैंने वास्तव में यह नहीं सोचा है कि क्या होता है अगर MOVE-COMPLEXITY N P में है , तो संभवतः P -PITITION-COMPLEXITY P N P की तरह किसी चीज़ में है ।) हालाँकि, MOVE-COMPLEXITY के तुच्छ होने और POSITION- के समय में कुछ ऐसे डमी उदाहरण हैं। COMPLEXITY मनमानी कठिन है - (बहुत दिलचस्प नहीं) गेम की जाँच के रूप में एक एल्गोरिथ्म का आउटपुट क्या है, खिलाड़ियों को अगले कदम बनाने के साथ, केवल एक चाल की अनुमति दी जा रही है। मैंने थोड़ा पचा लिया है, मेरा मुख्य प्रश्न निम्नलिखित है।$P$$PSPACE$$NP$$P^{NP}$

क्या कोई प्राकृतिक खेल है, जहां दो खिलाड़ियों का MOVE-COMPLEXITY अलग है?

उदाहरण के लिए, वह गेम जहां पहला खिलाड़ी CNF के चर के मानों को चुनता है (जिसका कोई हल नहीं हो सकता है), जबकि दूसरा खिलाड़ी SOKO-BAN पहेली को हल करने की कोशिश कर रहा है (जिसका समाधान नहीं हो सकता है), ऐसा उदाहरण है।

Comments

मुझे वास्तव में यह सवाल पसंद है।

— तैफुन पे

मुझे नहीं पता कि अगर QBF गेम आपकी स्थिति को संतुष्ट करता है, तो एक खिलाड़ी अस्तित्ववान खिलाड़ी है या कोई दूसरा सार्वभौमिक खिलाड़ी है। वैसे कई खेल समान रूप में हैं। मुझे लगता है कि अगर खिलाड़ियों के बीच कोई निर्भरता नहीं है, तो खेल एक दो खिलाड़ी का खेल नहीं है, लेकिन अगर उनके बीच निर्भरता है तो (अस्पष्ट रूप से बोलते हुए) कुछ व्याख्याएं हैं जो QBF शैली के समान हैं।

— सईद

यह एक पक्ष की टिप्पणी है, लेकिन अधिकांश प्राकृतिक खेल (शतरंज, गो, ... जैसी वास्तविक दुनिया में खेले जाने वाले अर्थों में) एक बहुपद संख्या के बाद समाप्त नहीं होते हैं, बल्कि घातीय (सबसे खराब स्थिति में) हैं। क्या आपके पास इस बाधा को जोड़ने के लिए एक विशेष कारण है, इसके अलावा MOVE-COMPLEXITY और स्थिति-संगतता के बीच एक बहुपद संबंध है?

— डेनिस

शायद उदाहरणों के एक परिवार को दो खिलाड़ियों में से एक की जीत की स्थिति को शांत करने के लिए बनाया जा सकता है: उदाहरण के लिए एक शतरंज मैच जिसमें एक मानक चेकमेट के साथ सफेद जीतता है और एक चेकमेट के साथ काला जीतता है या सफेद रानी को कैप्चर करता है। एक अन्य उदाहरण लाल-नीले रंग के नोड्स के साथ जीजी हो सकता है, और दो खिलाड़ियों में से एक न केवल मानक तरीके से जीत सकता है, बल्कि एक निश्चित मात्रा में लाल नोड्स भी इकट्ठा कर सकता है। मैं समान उदाहरणों की संभावित औपचारिकताओं के बारे में अधिक सोचूंगा।

— मार्जियो डी बियासी

यदि खेल में कोई ड्रॉ नहीं है (और प्रति चाल में संभावित रूप से बंधी हुई संख्या), तो निम्नलिखित तथ्य का अर्थ है "नहीं"? एक चाल जीत रही है अगर और केवल अगर प्रतिद्वंद्वी की प्रतिक्रियाओं में से कोई भी जीत रहा है।

— usul

Answer 1

शायद एक काफी स्वाभाविक खेल निम्नलिखित है:

प्लेयर 1 को एक भूलभुलैया के बीच में रखा गया है और जीतने के लिए निकास तक पहुंचना चाहिए।

प्लेयर 2 एक ही भूलभुलैया में है और उसे एक रेडियो नियंत्रक बनाने के लिए "घटकों" का एक सेट एकत्र करना चाहिए जो उसे बाहर निकलने (और जीतने) को बंद करने देता है।

$n$$n$

खेल को अधिक "इंटरएक्टिव" बनाने के लिए, हम प्लेयर 2 में कुछ अतिरिक्त क्रियाओं को भी जोड़ सकते हैं जो केवल खिलाड़ी 1 के लिए अगले कदम की गणना में एक बहुपद मंदी का कारण बन सकता है; उदाहरण के लिए उसे भूलभुलैया के गलियारों की एक निश्चित संख्या को अवरुद्ध करने की अनुमति देता है।

Answer 2

$C$

फिर यह कुछ प्राकृतिक खेलों को देखने के लिए पर्याप्त है, जहां स्थिति-असममितता है। हमें इस तरह के हालात पैदा करने के लिए हमेशा खिलाड़ियों के बीच कुछ विषमता की आवश्यकता होगी , लेकिन उम्मीद है कि यह यथासंभव प्राकृतिक होगा।

$\cap$

$P_1$$P_2$$p(n)$$i$$P_i$

Comments

मैं यह तर्क दूंगा कि "परिमित" का अर्थ यहां "स्थिर" है।

— काइल

Answer 3

वास्तव में, तथाकथित पिकर-चोसर या चोसर-पिकर गेम में ऐसे उदाहरणों का निर्माण करना आसान है जिनके लिए एक खिलाड़ी की सबसे अच्छी रणनीति एक सरल जोड़ी बनाने की रणनीति है, जबकि दूसरे को किसी भी CNF से पहले 3-SAT को हल करना होगा। यह एक NP- पूर्ण समस्या है।

कहो, एक पिकर-चोसर खेल एक हाइपरग्राफ एच = (वी, ई) पर एक असममित खेल है: पिकर वी के दो अचयनित तत्वों को चुनता है, फिर चोसर इनमें से एक को लेता है, और दूसरे को पिकर को लौटाता है। Chooser जीतता है अगर वह ए से सभी तत्वों को प्राप्त करता है ई। अब 3-सैट से एक सीएनएफ फॉर्मूला एफ दिया जाता है, वी शाब्दिक का सेट है, और ई कुछ गैजेट का एहसास करता है। सभी में, पिकर को हमेशा सभी चरणों में x_i और x_i नेगेट की पेशकश करनी चाहिए (अन्यथा तुरंत खो देता है), जबकि चयनकर्ता किसी भी x_i के लिए एक मनमाना 0-1 इनपुट है, और वह एफ को संतुष्ट करके जीतता है।

विवरण देखें: ए। सेसरेंस्की, आर। मार्टिन और ए। प्लुहर, ऑन द कॉम्प्लेक्सिटी ऑफ चोसर-पिकर पोजिशनल गेम्स। इंटेगर 11 (2011)।

या पर: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf