संगणना और तर्क में निश्चित अंक

इस प्रश्न को Math.SE पर भी पोस्ट किया गया है,

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

मुझे उम्मीद है कि इसे यहां पोस्ट करना भी ठीक है। यदि नहीं, या यदि यह CS.SE के लिए बहुत बुनियादी है, तो कृपया मुझे बताएं और मैं इसे हटा दूंगा।

मैं तर्क में निश्चित बिंदु प्रमेयों और के बीच के संबंध को बेहतर ढंग से समझना चाहूंगा $\lambda$ -calculus।

पृष्ठभूमि

1) सत्य की अपूर्णता और अपरिभाषितता में निश्चित बिंदुओं की भूमिका

जहां तक मैं समझता हूं कि तर्क को आंतरिक बनाने के मूल विचार के अलावा, टार्स्की के सत्य और गोएडेल के अधूरे प्रमेय की अपरिहार्यता के दोनों प्रमाणों की कुंजी निम्नलिखित तार्किक निश्चित बिंदु प्रमेय है , जो एक रचनात्मक, परिचयात्मक मेटाथोरी में रहती है (मुझे उम्मीद है कि सूत्रीकरण होगा) ठीक है, कृपया मुझे सही करें अगर कुछ गलत या गलत है):

तर्क में निश्चित बिंदुओं का अस्तित्व

मान लें कि भाषा पर पर्याप्त रूप से अभिव्यंजक, पुनरावर्ती सिद्धांत है , और में -formulas का कोडिंग है , जो है , एक एल्गोरिथ्म मनमाने ढंग से अच्छी तरह से गठित -formulas में -फॉर्म एक मुक्त चर , किसी भी -फॉर्मूला हमारे पास है ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$ ।

तब एक एल्गोरिथ्म मौजूद होता है अच्छी तरह से निर्मित -फोर्मल को एक मुक्त चर में एक अच्छी तरह से बंद -फोर्मल, जैसे कि किसी भी _ -formula के लिए। एक मुक्त चर हमारे पास जो, परिभाषित फ़ंक्शन प्रतीक के रूप में व्याख्या कर रहा है ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ , को और अधिक कॉम्पैक्ट रूप से रूप में लिखा जा सकता है $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
दूसरे शब्दों में, , एक-चर संबंध में निश्चित बिंदुओं के निर्माण के लिए एक एल्गोरिथ्म है। ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ -formulas के ।

इसके कम से कम दो अनुप्रयोग हैं:

इसे predicate व्यक्त करके " " को लागू करना $\phi(v)$ $v$ कोड को एक वाक्य के रूप में करता है, जो जब अपने कोडिंग के साथ त्वरित होता है, तो यह साबित नहीं होता है।" "यह वाक्य सिद्ध नहीं है" की औपचारिकता देता है जो गोएडेल के तर्क के दिल में स्थित है।
एक मनमाना वाक्य लिए इसे लागू करना $\neg\phi$ $\phi$ Tarski की सत्य की अपरिभ्यता पैदा होती है।

2) अनकैप्ड में निश्चित अंक $\lambda$ -calculus

अप्राप्य $\lambda$ -calculus में निश्चित बिंदुओं का निर्माण पुनरावर्ती कार्यों की प्राप्ति में महत्वपूर्ण है।

में निश्चित बिंदुओं का अस्तित्व $\lambda$ Lambda -calculus :

एक निश्चित बिंदु कॉम्बिनेटर है , यानी एक -term ऐसा है कि किसी भी -term $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$ , हमारे पास
$च (Y च) ~_{α β} Y च ।$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

अवलोकन

जो चीज मुझे चौंकाती है, वह यह है कि फिक्स्ड पॉइंट कॉम्बिनेटर में -calculus सीधे, को दर्शाता है एक बहुत साफ है और nontechnical तरह से, तार्किक निश्चित बिंदु प्रमेय के सामान्य सबूत: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

बहुत मोटे तौर पर , एक सूत्र देखते हुए , व्यक्ति कथन के को मानता है " कोड एक वाक्य है, जो कि जब अपने आप से होता है, संतुष्ट करता है , और । वाक्य की तरह है , और मेल खाती है करने के लिए $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ । $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

सवाल

इसके त्वरित रूप से वर्णित विचार के बावजूद, मुझे तार्किक निश्चित बिंदु प्रमेय का प्रमाण काफी तकनीकी और सभी विवरणों को पूरा करने में मुश्किल लगा; कुनैन उदाहरण के लिए अपनी em सेट थ्योरी ’पुस्तक के प्रमेय 14.2 में ऐसा करते हैं। दूसरी ओर, -calculus में -combinator बहुत सरल है और इसके गुणों को आसानी से सत्यापित किया जाता है। $Y$ $\lambda$

क्या तार्किक निश्चित बिंदु प्रमेय -calculus में निश्चित बिंदु कॉम्बिनेटरों से कठोरता से पालन करता है ? $\lambda$

उदाहरण के लिए, क्या कोई -calculus को -सूत्रों द्वारा तार्किक तुल्यता तक मॉडल कर सकता है , ताकि किसी निश्चित बिंदु कॉम्बिनेटर की व्याख्या एक एल्गोरिथ्म प्रदान करे जैसा कि तार्किक निश्चित बिंदु प्रमेय में वर्णित है? $\lambda$ ${\mathcal L}$

संपादित करें

मार्टिन और कोड़ी के जवाबों में वर्णित समान विकर्ण तर्क के कई अन्य उदाहरणों के मद्देनजर, इस प्रश्न को फिर से समझना चाहिए:

कॉम्बिनेटर में व्यक्त सिद्धांत के बाद विकर्ण तर्क का एक सामान्य सामान्यीकरण है ? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

यदि मैं इसे सही ढंग से समझता हूं तो एक प्रस्ताव लॉवेर्स फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय है , नीचे देखें। हालांकि दुर्भाग्य से मैं उन लेखों में प्रासंगिक विशेषज्ञता का पालन नहीं कर सकता जिन्हें मार्टिन ने अपने उत्तर में उद्धृत किया था, और मुझे खुशी होगी अगर कोई उन्हें समझा सकता है। पहला, पूर्णता के लिए:

लॉवेर्स फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय

चलो परिमित उत्पादों और साथ एक वर्ग हो किसी भी तरह के आकारिता के लिए कि में वहाँ कुछ है ऐसी सभी बिंदुओं के लिए कि से एक है ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
तो फिर किसी भी endomorphism के लिए , डाल के किसी भी विकल्प देता है की एक निश्चित बिंदु को जन्म , अर्थात् $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

यह परिमित उत्पादों के साथ श्रेणियों के पहले क्रम सिद्धांत (अंतर्ज्ञान) में एक बयान है और इसलिए बाद के किसी भी मॉडल पर लागू होता है।

उदाहरण के लिए , प्रवचन के डोमेन के रूप में पूरे सेट सैद्धांतिक ब्रह्मांड लेने रसेल विरोधाभास देता है (ले सेट की काल्पनिक सेट, और -predicate) और कैंटर की प्रमेय (ले किसी भी समूह तथा काल्पनिक surjection करने के लिए इसी $A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ )। इसके अलावा, लॉवर के प्रमेय के प्रमाण का अनुवाद सामान्य विकर्ण तर्क देता है।

अधिक ठोस समस्या:

क्या कोई व्यक्ति आंशिक रूप से पुनरावर्ती कार्यों या तार्किक नियत बिंदु प्रमेयों के लिए लॉवर के प्रमेय के आवेदन के बारे में विस्तार से बता सकता है? विशेष रूप से, हमें किन श्रेणियों पर विचार करने की आवश्यकता है?

डी Pavlovic में, विरोधाभास की संरचना पर , लेखक श्रेणी आज़ादी द्वारा उत्पन्न समझता है के साथ partical पुनरावर्ती कार्य करता है। ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

दुर्भाग्य से, मुझे समझ में नहीं आया कि इसका क्या मतलब है।

उदाहरण के लिए, पर कंपोजिशन कानून क्या होना चाहिए ? आंशिक पुनरावर्ती कार्यों की संरचना? आखिरकार, यह कहा जाता है कि लॉवरे का प्रमेय साथ लागू होता है , ताकि विशेष रूप से किसी भी रूपवाद में एक निश्चित बिंदु होना चाहिए । यदि एंडोमॉर्फिज्म वास्तव में सिर्फ आंशिक पुनरावर्ती कार्य हैं और यदि रचना का अर्थ है रचनाओं की रचना, तो यह अजीब लगता है - यदि अंक केवल तत्व हैं , तो दावा गलत है, और यदि आकृति $\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ केवल एक आंशिक कार्य है, इसलिए, अपरिभाषित हो सकता है, निश्चित बिंदु प्रमेय तुच्छ है।

श्रेणी क्या है जो वास्तव में विचार करना चाहता है?

हो सकता है कि लक्ष्य रोजर के निर्धारित बिंदु प्रमेय को प्राप्त करना है, लेकिन फिर किसी को स्वाभाविक रूप से श्रेणी की परिभाषा में प्राकृतिक संख्याओं द्वारा आंशिक पुनरावर्ती कार्यों की एक कोडिंग का निर्माण करना चाहिए, और मुझे यह पता नहीं चल सकता है कि यह कैसे करना है।

मुझे बहुत खुशी होगी अगर कोई ऐसे संदर्भ के निर्माण की व्याख्या कर सके जिसके लिए लॉरवे का फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय लागू होता है, जो एक तार्किक निश्चित बिंदु प्रमेय या आंशिक पुनरावर्ती कार्यों के लिए एक निश्चित बिंदु प्रमेय को जन्म देता है।

धन्यवाद!

lo.logic computability lambda-calculus

— हन्नो बेकर
स्रोत

खैर, गोडेल के निश्चित-बिंदु प्रमेय का तकनीकी हिस्सा यह साबित करना है कि पुनरावर्ती कार्यों को सिद्धांत रूप में संख्यात्मक रूप से दर्शाया जा सकता है, और इसके आसपास कोई रास्ता नहीं है, जैसा कि आपको कुछ बिंदुओं पर उपयोग करना होगा जो कुछ अलग करता है,

कहता है , विभिन्न से निर्णायक सिद्धांत। यदि आप चाहें, तो आप इसे एरिथमिया में

-calculus के कार्यान्वयन के रूप में सोच सकते हैं ।

Q

$Q$

λ

$\lambda$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek: आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद! मैं समझता हूं कि पुनरावर्ती कार्यों की कोडिंग के आसपास कोई रास्ता नहीं होगा, लेकिन मैं स्पष्ट रूप से अलग करना चाहूंगा कि कोडिंग की चिंता क्या है और बाद में औपचारिक क्या है।

— हनो बेकर

@ EmilJe Emábek: मैं जो समझना चाहता हूं वह यह है कि क्या कोई इस धारणा को कठोर बना सकता है कि कोडिंग से संबंधित भाग किसी प्रकार के मॉडल को

-calculus देता है जिसके माध्यम से

-combinator की व्याख्या की जा सकती है और विभिन्न निश्चित बिंदुओं को जन्म देती है प्रमेयों।

λ

$\lambda$

Y

$Y$

— हनो बेकर

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

कोडी, क्या आप ठीक से बता सकते हैं कि आप किस श्रेणी का उपयोग कर रहे हैं, क्योंकि यही वह बिंदु है जहां मैं अन्य स्रोतों का पालन नहीं कर सकता।

— हनो बेकर

मैं शायद सीधे आपके सवाल का जवाब नहीं दे रहा हूं, लेकिन गोडेल के प्रमेयों और वाई-कॉम्बिनेटर सहित बहुत सारे विरोधाभास का एक सामान्य गणितीय सामान्यीकरण है। मुझे लगता है कि यह पहले Lawvere द्वारा पता लगाया गया था। [२, ३] भी देखें।

एफडब्ल्यू लॉवरे, विकर्ण तर्क और कार्टेशियन बंद श्रेणियां ।
डी। पावलोविच, विरोधाभासों की संरचना पर ।
एनएस यानोफ्स्की, सेल्फ रेफ़रेंशियल पैराडॉक्स, इनकम्प्लीटनेस और फिक्स्ड पॉइंट्स के लिए एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण ।

— मार्टिन बर्जर
स्रोत

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@ हैनोबेकर कोडिंग के लिए यह काफी कठिन और संवेदनशील हो सकता है।

— मार्टिन बर्जर

मेरे पास आपके प्रश्न का पूर्ण उत्तर नहीं है, लेकिन मेरे पास यह है:

के अनुसार विकिपीडिया कहते हैं

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{पी} ≃ λ y । क्यू (पी, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$टी ⊢ φ (\bar{n}) \Leftrightarrow टी ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

यह वह नहीं है जो आप चाहते हैं, लेकिन एक आंतरिककरण चाल आपको मजबूत बयान दे सकती है

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

अब फिर से, यह काफी तार्किक निश्चित-बिंदु प्रमेय नहीं है, लेकिन यह उसी उद्देश्य को पूरा कर सकता है।

$Q(x,y)$
$क्यू (एक्स, y) = 0 iff टी ⊢ φ (\bar{एक्स}) सबसे अधिक में y कदम$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

थोड़े से विचार के साथ, आप शायद इस तर्क को मजबूत कर सकते हैं कि आप बिना किसी आंतरिकता के सीधे पूर्ण प्रमेय दे सकें।

— कोड़ी
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! मुझे समझने के लिए मुझे धीरे से जाने दो: अपने पहले बयान में, कर सकते हैं

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ पूरी तरह से मनमाना हो, या आप कम से कम प्रेरित करी नक्शा चाहते हैं

सी ({एन}^{2}, एन) \to नक्शा (एन, सी (एन, एन)) ≅ नक्शा (एन, एन)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$ आंशिक पुनरावर्ती कार्यों में छवि है

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ , और वह प्रेरित मूल्यांकन

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$ ,

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$ गणना करने योग्य है?

— हनो बेकर

इन धारणाओं के साथ, मैं समझता हूं कि कथन सत्य है; हालांकि, हालांकि - इन प्रकार के कई बयानों में - के साथ समानता

Y

$Y$ -कंपनी में

λ

$\lambda$ -कॉकुलस हड़ताली है, मैं यह नहीं देखता कि आप इसे बाद का औपचारिक परिणाम कैसे बनाएंगे । क्या आप विस्तृत कर सकते हैं?

— हनो बेकर

पहले बिंदु के लिए: आप सही हैं, आप चाहते हैं

φ

$\varphi$ आपके द्वारा वर्णित अर्थ में "समझदार" होना। दूसरे बिंदु के लिए: ए

Y

$Y$ कॉम्बिनेटर अनिवार्य रूप से व्यक्त करता है

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$ । पुनरावृत्ति प्रमेय अनिवार्य रूप से एक ही बात कहता है: ले लो

p := Y Q

$p:= Y\ Q$ । हालांकि, आंशिक पुनरावर्ती कार्यों का सिद्धांत थोड़ा अधिक सामान्यता के लिए अनुमति देता है: एक फ़ंक्शन का कोड फ़ंक्शन से ही अलग है। में बराबर

λ

$\lambda$ -कुस्कुलस लिस्प में एक ऑपरेशन quoteऔर evalऑपरेशन होगा । इस अर्थ में, पुनरावृत्ति प्रमेय के अस्तित्व की तुलना में अधिक सामान्य है

Y

$Y$ Combinator।

— कोड़ी