कंकाल सिद्धांत के लिए कंकाल सिद्धांत के लिए एकजुटता का संबंध

Question

कहते हैं कि मैं होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत में काम करता हूं और मेरे अध्ययन की एकमात्र वस्तुएं पारंपरिक श्रेणियां हैं।

यहाँ समीकरणों को और जो श्रेणियों के प्रदान करते हैं । प्राकृतिक आइसोमोर्फिम्स और ताकि यह functor और "inverse" functor हो यूनिट फ़नकार में तब्दील हो जाते हैं।$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

अब अविश्वास का संबंध पहचान प्रकार से है, जो मैंने जानबूझकर प्रकार के सिद्धांत के लिए श्रेणियों के बारे में बात करने के लिए चुना है। चूंकि मैं केवल श्रेणियों के साथ सौदा करता हूं और वे समतुल्य हैं यदि उनके पास आइसोमोर्फिक कंकाल हैं , तो मुझे आश्चर्य है कि क्या मैं श्रेणियों के कंकाल को पारित करने के संदर्भ में एकरूपता के स्वयंसिद्ध व्यक्त कर सकता हूं।${\bf C}={\bf D}$

या, अन्यथा, क्या मैं पहचान प्रकार को परिभाषित कर सकता हूं, अर्थात वाक्यविन्यास अभिव्यक्ति एक तरह से जो अनिवार्य रूप से कहता है "एक कंकाल (या आइसोमॉर्फी) और और दोनों इसके बराबर हैं। "${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(उपरोक्त में मैं अवधारणाओं के संदर्भ में टाइप थ्योरी की व्याख्या करने की कोशिश करता हूं जो कि परिभाषित करना आसान है - श्रेणी सैद्धांतिक धारणा। मैं इस बारे में सोचता हूं क्योंकि नैतिक रूप से, यह मुझे लगता है कि स्वयंसिद्ध हार्ड-कोडिंग द्वारा जानबूझकर प्रकार के सिद्धांत "सही" करता है। समतुल्यता का सिद्धांत , जो पहले से ही श्रेणी के सैद्धांतिक कथनों के निर्माण का एक स्वाभाविक हिस्सा है, उदाहरण के लिए केवल वस्तुओं के गुणों को निर्दिष्ट करना।)

Comments

क्या आपने HoTT पुस्तक के अध्याय 9 को पढ़ा है? यह श्रेणी सिद्धांत के बारे में है।

— प्रेमिका बाउर

Answer 1

मैं आपको HoTT पुस्तक के अध्याय 9 का संदर्भ देता हूं। विशेष रूप से, एक श्रेणी को इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि आइसोमॉर्फिक ऑब्जेक्ट समान हैं, परिभाषा 9.1.6 देखें । उदाहरण के रूप में 9.1.15 बताते हैं, वास्तव में HoTT में "कंकाल" की एक उचित धारणा नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समानता इतनी कमजोर है कि इसका मतलब पहले से ही "आइसोमोर्फिक" है।

इसके अलावा, प्रमेय 9.4.16 कहता है

प्रमेय 9.4.16: यदि और श्रेणियां हैं तो फ़ंक्शन (पहचान पर इंडक्शन द्वारा परिभाषित) प्रकार का एक समतुल्य है।$A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

प्रमेय हमें बताता है कि यूनीवैलेंस Axiom हमें एक प्रकार की कैटेरी सिद्धांतवादी का सपना देता है: समकक्ष श्रेणियां समान हैं।

आप पूछते हैं कि क्या आप श्रेणियों के बारे में कथन के लिए एकरूपता के स्वयंसिद्ध को कम कर सकते हैं। कंकाल का उपयोग करने के प्रयास काम नहीं करेंगे क्योंकि "कंकाल" कहने का एक अच्छा तरीका नहीं है। हम पूछ सकते हैं कि क्या प्रमेय 9.4.16 से तात्पर्य है एकरूपता स्वयंसिद्ध। यह ऐसा नहीं होने जा रहा है, जहां तक ​​मैं देख सकता हूं, क्योंकि एक श्रेणी में वस्तुओं का प्रकार (समूह) और आकार का सेट (सेट) है, इसलिए प्रमेय 9.4.16 मात्रा में कुछ इस तरह है 1-प्रकारों के लिए एकरूपता स्वयंसिद्ध, केवल।$1$$0$