सेट कवर समस्या के इस प्रकार को क्या कहा जाता है?

Question

इनपुट एक ब्रह्मांड है और के सबसेट के एक परिवार के , कहते हैं, । हम मानते हैं कि में सबसेट , यानी, को कवर कर सकते हैं ।यू यू यू ⋃ ई ∈ एफ ई = $U$$U$${\cal F} \subseteq 2^U$${\cal F}$$U$$\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$

एक वृद्धिशील कवरिंग क्रम में सबसेट का एक क्रम है , , जो संतुष्ट करता है।एफ ए = { ई १ , ई २ , … , ई | ए | ${\cal F}$${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1) ,$\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$

2) प्रत्येक नवागंतुक का नया योगदान होता है, अर्थात, , ;$\forall i>1$$\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

समस्या अधिकतम लंबाई का एक वृद्धिशील आवरण अनुक्रम (यानी, अधिकतम $|{\cal A}|$ ) है। ध्यान दें कि अधिकतम लंबाई अनुक्रम को अंततः $U$ , यानी, \ bigcup_ {E \ _ {\ cal A}} E ​​= U को कवर करना होगा $\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$।

मैंने सबसे लंबे समय तक वृद्धिशील आवरण अनुक्रम को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म या एक अनुमानित एल्गोरिथ्म खोजने का प्रयास किया है। मैं सोच रहा था कि सेट कवर समस्या के इस प्रकार को क्या कहा जाता है। धन्यवाद!

Comments

ब्रह्मांड के \ _ {यू} को कवर करने के लिए आपको अपने परिवार के सबसेट \ _ {ए} की आवश्यकता है ? क्योंकि तब निश्चित रूप से आप अधिक कठिन सेट कवर समस्या कर सकते हैं क्योंकि आप अतिरिक्त गुणों के साथ सेट कवर की तलाश कर रहे हैं। दूसरे शब्दों में, सेट कवर आपकी समस्या को कम करता है। सेट कवर की विकी में सेट कवर के लिए इन्नाप्रोसेसिबिलिटी परिणाम भी हैं। $\cal{A}$$\cal{U}$

— हैरी

बस एक अवलोकन (एक उत्तर में बनाने के लिए बहुत छोटा): जब आपके सबसेट दो आकार के होते हैं तो आप जो खोज रहे हैं वह अनिवार्य रूप से एक फैले जंगल है।

— डेविड एप्पस्टीन

शायद ओपी के लिए नया नहीं है, लेकिन यहां कुछ अवलोकन हैं। (1) इष्टतम मान हमेशा सबसे अधिक होता है | U | चाहे इष्टतम मूल्य के बराबर है | U | या लालची एल्गोरिथ्म द्वारा कुशलता से तय नहीं किया जा सकता है जो कवर किए गए तत्वों की संख्या को कम करने की कोशिश करता है। (2) एक ही लालची एल्गोरिथ्म भी काम करता है अगर एफ के सभी सेट दो आकार के हैं, तो डेविड एप्पस्टीन की टिप्पणी देखें। (३) समान लालची एल्गोरिथ्म सामान्य रूप से काम नहीं करता (आहें)। एक प्रतिरूप: F = {{1,2,3}, {1,4,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}}।

— त्सुयोशी इतो

समस्या वास्तव में सेट कवर की समस्या की तरह नहीं दिखती है ... बिपर्टाइट रेखांकन में मिलान और प्रेरित मिलान के बीच एक संकर की तरह। एक अच्छा समतुल्य सुधार यह है कि यदि कोई तत्व परिवार में एक सेट द्वारा कवर नहीं किया जाता है तो एक परिवार खराब होता है। समस्या एक सबसे बड़ा उपपरिवार मिल रहा है की ऐसी है कि कोई बुरा उपपरिवार है। ए एफ ${\cal A}$${\cal F}$${\cal A}$

— डेनियलो

@ नील यंग खराब नहीं है क्योंकि बिल्कुल एक सेट (अर्थात् ) द्वारा कवर किया गया है । एफ बी { ए , बी ${\cal F}$$b$$\{a,b\}$

— डेनियलो

Answer 1

यहां मैं बताता हूं कि समस्या एनपी-पूर्ण है।

हम आपकी समस्या के उदाहरण के लिए CNF को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं। मान लीजिए कि CNF के चर हैं की और खंड हैं की है, जहां । चलो जहां संघ में सभी सेट पूरी तरह से संबंध तोड़ना है। वास्तव में, और , जबकि का कोई सेट है । इसके अलावा निरूपित और हर के लिए ठीक लंबाई की एक बढ़ती हुई परिवार इसके अंदर, द्वारा सूचित किया जाता के लिएn x i m C j n < $n$ $x_i$$m$ $C_j$$n<m$यू = ∪ मैं ( एक मैं ∪ बी मैं ∪ जेड मैं ) एक मैं = { एक मैं , जे | एक्स मैं ∈ सी जे } ∪ { एक मैं , 0 } बी मैं = { ख मैं , जे | एक्स मैं ∈ सी जे } ∪ { ख मैं , 0 } जेड मैं$U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$$A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$$B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$$Z_i$= 2 n + 1 जेड = ∪ मैं जेड मैं जेड मैं k जेड मैं , एल एल = 1 .. कश्मीर एक्स मैं 2 कश्मीर एफ ए मैं ∪ जेड मैं , एल बी मैं ∪ जेड मैं , एल सी जे एफ जेड x मैं ∈ सी जे { एक मैं , जे } ˉ एक्स मैं ∈ $k=2n+1$$Z=\cup_i Z_i$$Z_i$$k$$Z_{i,l}$$l=1..k$ । प्रत्येक चर , हम सेट को जोड़ते हैं , फॉर्म के हर सेट में और । प्रत्येक क्लॉज , हम एक सेट to जोड़ते हैं , जिसमें होता है , और एलिमेंट हर लिए और एलिमेंट प्रत्येक ।$x_i$$2k$$\mathcal F$$A_i \cup Z_{i,l}$$B_i \cup Z_{i,l}$$C_j$$\mathcal F$$Z$$x_i\in C_j$$\{a_{i,j}\}$j { b i , j$\bar x_i\in C_j$$\{b_{i,j}\}$

मान लीजिए कि सूत्र संतोषजनक है और एक संतोषजनक असाइनमेंट को ठीक करता है। फिर फॉर्म के सेट को या के आधार पर चुनें, यह निर्भर करता है कि सही है या नहीं। ये वृद्धिशील सेट हैं। अब खंडों के अनुरूप सेट जोड़ें । ये आकार भी बढ़ाते रहते हैं, क्योंकि खंड संतोषजनक होते हैं। अंत में, हम अनुक्रम कवर बनाने के लिए अधिक सेट (प्रत्येक चर के लिए एक) जोड़ सकते हैं ।कश्मीर एक मैं ∪ जेड मैं , एल बी मैं ∪ जेड मैं , एल एक्स मैं n कश्मीर मीटर कश्मीर $k$$A_i \cup Z_{i,l}$$B_i \cup Z_{i,l}$$x_i$$nk$$m$$k$$U$

अब मान लीजिए कि सेट एक वृद्धिशील अनुक्रम में रखे गए हैं। ध्यान दें कि अनुरूप अधिकांश सेट प्रत्येक लिए चुने जा सकते हैं । इस प्रकार, अगर वृद्धिशील अनुक्रम में कोई क्लॉज सेट नहीं हैं, तो अधिकांश को चुना जा सकता है, जो बहुत कम है। ध्यान दें कि जैसे ही कोई खंड सेट चुना जाता है, हम प्रत्येक अनुरूप अधिकतम दो सेट चुन सकते हैं , कुल सेट। इसलिए, किसी भी क्लॉज सेट को चुनने से पहले हमें कम से कम वैरिएबल सेट चुनना होगा । लेकिन जैसा कि हम प्रत्येक लिए अधिकांश पर चुन सकते हैं , इसका मतलब है कि प्रत्येक के लिए हमने कम से कम उठाया हैn ( k + 1 ) + m k + 1 x i x i n ( k + 1 ) x i 2 n n ( k - 1 ) k + 1 x i 1 k = 2 n + $n(k+1)+m$$k+1$$x_i$$x_i$$n(k+1)$$x_i$$2n$$n(k-1)$$k+1$$x_i$$1$ , । यह चर के "मूल्य" को निर्धारित करता है, इस प्रकार हम केवल "सच" खंड को चुन सकते हैं।$k=2n+1$

अपडेट: से से का परिवर्तित मूल्य जैसा कि मार्ज़ियो ने बताया है।k n 2 n + $k$$n$$2n+1$

Comments

स्पष्टीकरण: मैंने जल्दी से असंतोषजनक सूत्र ( ) के लिए निर्माण की जाँच की लेकिन ऐसा लगता है कि हम का अनुक्रम बना सकते हैं बढ़ते सेट । संभवतः मैं एक गलती करता हूं: क्या हमारे पास ? एक्स 1 ∧ ¬ एक्स 1 एन = कश्मीर = 1 , मी = 2 n ( कश्मीर + 1 ) + मी = 4 एफ एफ = { { एक 1 , 0 , एक 1 , 1 , एक 1 , 2 , z 1 } , { बी 1 , 0 , बी 1 , 1 , $x_1 \land \neg x_1$$n=k=1, m=2$$n(k+1)+m = 4$$\mathcal F$$\mathcal F= \{ \{ a_{1,0}, a_{1,1}, a_{1,2}, z_1 \}, \{ b_{1,0}, b_{1,1}, b_{1,2}, z_1\}, \{ a_{1,1}, z_1 \}, \{ b_{1,2}, z_1 \} \}$

— मार्जियो डी बियासी

आपको और मुझे पता है, मुझे यकीन है कि गलती मेरी है ... मुझे लगता है कि हमें , लेकिन निश्चित रूप से यह अभी भी एक समस्या है। ठीक है, मैं देखता हूं कि मैंने कहां त्रुटि की है, मैं इसे एक मिनट में ठीक करता हूं, thx! ${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,2},z_1\}\}$

— डोमटोटर 19

ठीक है, मैं कल इसे देख लूंगा! बस एक नोट, क्या आप लिख सकते हैं (एक टिप्पणी में) लिए क्या है और कवर अनुक्रम की लंबाई के लिए "लक्ष्य मान" क्या है (यह k है)? क्योंकि, संशोधित उत्तर में आप पहले सेट करते हैं, फिर सेट के बारे में एक वृद्धिशील अनुक्रम में बात करते हैं ; क्या यह सही है (मैंने कमी की कोशिश नहीं की, फिर भी)? F x i ∧ ¬ x i k = 2 n + 1 n ( k + 1 ) + m = 2 n 2 + 2 n + $\mathcal F$$x_i \land \neg x_i$$k = 2n+1$$n(k+1)+m = 2n^2+2n + m$

— मार्जियो डी बियासी

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2,z_3\},\{a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,2},z_1,z_2,z_3\}\}$

— domotorp

मुझे लगता है कि यह रूप में सही है , लेकिन हमारे पास केवल वृद्धिशील अनुक्रम हैं। n ( k + 1 ) + m = 6 $n(k+1)+m=6$$5$

— डोमटॉर्प

Answer 2

यह बाधा के तहत एक सेट पैकिंग समस्या है जो किसी भी सबसेट लिए समाधान के लिए है , हमारे पास यह है कि हमेशा में एक तत्व होता , जो ठीक एक बार कवर किया जाता है।एक बी ⊆ एक ⋃ एक्स ∈ बी$\mathcal{A}$$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$$\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

प्रमाण: आपकी समस्या के समाधान को देखते हुए, इसके पास तुरंत यह संपत्ति है। वास्तव में, अगर आपकी समस्या का इष्टतम समाधान है, तो एक सबसेट पर विचार इन सेटों की, और मान में प्रदर्शित होने के इस क्रम में अंतिम सेट है । आवश्यक संपत्ति द्वारा कि समाधान वृद्धिशील है, यह निम्नानुसार है कि एक तत्व को कवर करता है जो कोई पूर्व निर्धारित कवर नहीं करता है, जो उपरोक्त संपत्ति का अर्थ है।E 1 , … , E m B E I B E $E_1, \ldots, E_m$$\mathcal{B}$$E_i$$\mathcal{B}$$E_i$

दूसरी दिशा के लिए भी यह आसान है। समाधान से शुरू करें , उस तत्व को ढूंढें जो एक बार ठीक से कवर किया गया है, इसे अनुक्रम में अंतिम सेट के रूप में सेट करें, इस सेट को हटा दें, और दोहराएं। QED।$\mathcal{A}$

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यह एक बहुत ही स्वाभाविक समस्या है ...।

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त्वरित अनुस्मारक: सेट पैकिंग समस्या में, सेट के एक परिवार को देखते हुए, सेट के अधिकतम उपसमूह को ढूंढें, जो कुछ अतिरिक्त बाधा का अनुपालन करते हैं (कहते हैं, कोई तत्व 10 से अधिक बार कवर नहीं किया जाता है, आदि)।

Comments

क्या यह उत्तर केवल यह साबित कर रहा है कि प्रश्न स्वाभाविक है, या कुछ और है जो आप भी दावा करते हैं?

— डोमपोटर

इसे सरल तरीके से बता रहे हैं। नहीं?

— सरील हर-पेले

हां, मैं इससे सहमत हूं।

— डोमटोटर