किसी ग्राफ़ की पसंद को कम करने के लिए कितने अलग-अलग रंगों की ज़रूरत होती है?

Question

एक ग्राफ है -choosable (भी रूप में जाना जाता -List-संभाव्य है, हर कार्य के लिए) कि के सेट करने के लिए कोने नक्शे रंग, वहाँ एक रंग असाइनमेंट है ऐसी है कि, के लिए सभी कोने , , और ऐसा है कि सभी किनारों के लिए , ।कश्मीर च कश्मीर सी वी सी ( v ) ∈ च ( v ) वी डब्ल्यू सी ( v ) ≠ सी ( डब्ल्यू $k$$k$$f$$k$$c$$v$$c(v)\in f(v)$$vw$$c(v)\ne c(w)$

अब मान लें कि एक ग्राफ नहीं कर रहा है -choosable। है, वहाँ एक समारोह में मौजूद है के कोने से रंग कि एक वैध रंग काम नहीं है की -tuples । मैं जानना चाहता हूं कि कुल कितने रंगों की जरूरत है? कितना छोटा हो सकता है? क्या कोई संख्या ( स्वतंत्र ) ऐसी है जिसे हम एक अनचाहे को खोजने के लिए गारंटी दे सकते हैं जो केवल अलग-अलग रंगों का उपयोग करता है ?कश्मीर च कश्मीर ग ∪ वी ∈ जी च ( v ) एन ( कश्मीर ) जी च एन ( कश्मीर $G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

CS की प्रासंगिकता यह है कि, यदि मौजूद है, तो हम लगातार- लिए -ososability का परीक्षण अकेले-घातीय समय में कर सकते हैं (बस सभी \ binom {N (k)} {k} ^ f के n विकल्प चुनते हैं , और) प्रत्येक के लिए जाँच करें कि यह समय k ^ nn ^ {O (1)} ) में रंगीन हो सकता है, जबकि अन्यथा कुछ और तेजी से n ^ {kn} की तरह बढ़ रहा है।के $N(k)$$k$$k$$\binom{N(k)}{k}^n$$f$$k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Comments

क्या कोई उदाहरण है जब N (k)> 2k-1?

— यारोस्लाव बुलटोव

मेरा पहला विचार मानक उदाहरण में आवश्यक रंगों की संख्या को कम करने की कोशिश करना है, जो कि द्विदलीय ग्राफ़ में मनमाने ढंग से उच्च-सूची-रंगीन संख्या हो सकती है। हालांकि, इस निर्माण में सूची में रंगों की संख्या प्राप्त कश्मीर के लिए घातीय है $k$। मुझे निचली सीमा को साबित करने में पर्याप्त समय नहीं लगा, हालांकि (इसलिए यह जवाब नहीं है ... अभी तक)।

— डेरिक स्टोले

यह उत्कृष्ट सवाल MathOverflow पर भी पोस्ट करने लायक हो सकता है ...

— फ्रांकोइस जी। डोरिस

क्या कोरोलरी 1.4 में k = 1 सेट करना यहाँ आपके प्रश्न के कम से कम भाग का जवाब देता है? $k=1$

— हारून स्टर्लिंग

@ ऐरन: मुझे यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है। यदि मैं उस कोरोलरी में k = 1 सेट करता हूं, तो यह कहना लगता है कि विकल्प संख्या अधिकांश गुणात्मक संख्या में एक लॉग फैक्टर है; लेकिन यह उस पसंद की संख्या के लिए कितने अलग-अलग रंगों की आवश्यकता है, इसके बारे में बहुत कुछ नहीं कहा गया है।

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 1

डैनियल क्राल और जिआग सगल ने आपके प्रश्न का उत्तर नकारात्मक दिया। उनके कागज के सार से:

एक ग्राफ को कहा जाता है -चोसनीय है यदि इसके वर्टिकल को किसी भी लिस्ट से रंगीन किया जा सकता है जिसके साथ , सभी लिए , और साथ में । प्रत्येक , हम एक ग्राफ बनाते हैं जो लेकिन ऐसा नहीं होता है -choosable।$G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$$3 \le k \le \ell$$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

यदि , तो मौजूद नहीं है । क्राल और Sgall भी दिखाते हैं कि । बेशक, ।$N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

डैनियल क्राल, जिआजी सगल: सूचियों के रंग चित्रण से उनके संघबद्ध आकार के साथ । ग्राफ थ्योरी 49 की पत्रिका (3): 177-186 (2005)

Comments

वाह। यह सवाल सुलझाता है, हालांकि नकारात्मक रूप से। शुक्रिया @Serge! और मेरी इच्छा है कि मैं डैनियल और जी को भी धन्यवाद दूं!

— Hsien-Chih चांग 張顯 '

मैंने प्रश्न के सकारात्मक उत्तर को भी प्राथमिकता दी होगी।

— सर्ज गैस्पर्स

Answer 2

थोड़े से अप्रकाशित आत्म-प्रचार के रूप में, मार्थ बोनामी और मुझे अधिक नकारात्मक उत्तर मिले। विशेष रूप से, http://arxiv.org/abs/1507.03495 के प्रमेय 4 कुछ मामलों में क्राल 'और Sgall के पूर्वोक्त परिणाम पर सुधार करता है। हम जिन उदाहरणों का उपयोग करते हैं वे पूर्ण द्विदलीय रेखांकन हैं, जहां हमने उनका विश्लेषण करने के लिए कुछ चरम दहनशील पदार्थों का उपयोग किया।

इस TCS ओवरफ्लो प्रश्न से काम को प्रेरित किया गया था।