पहला आदेश संतोषजनकता जिसमें परिमित मॉडल नहीं है

Question

हम चर्च के प्रमेय से जानते हैं कि पहला क्रम संतोषजनकता का निर्धारण करना सामान्य रूप से अनुचित है, लेकिन कई तकनीकें हैं जिनका उपयोग करके हम पहले क्रम की संतुष्टि का निर्धारण कर सकते हैं। सबसे स्पष्ट एक परिमित मॉडल की खोज करना है। हालाँकि, पहले क्रम तर्क में कई कथन हैं जो हम प्रदर्शित कर सकते हैं कि कोई परिमित मॉडल नहीं है। उदाहरण के लिए, कोई भी डोमेन जिसमें एक इंजेक्शन और गैर-विशेषण फ़ंक्शन संचालित होता है, अनंत है।

हम फर्स्ट ऑर्डर स्टेटमेंट के लिए संतुष्टि का प्रदर्शन कैसे करते हैं, जहां परिमित मॉडल नहीं हैं या परिमित मॉडल का अस्तित्व अज्ञात है? स्वचालित प्रमेय साबित करने में हम कई तरीकों से संतुष्टि का निर्धारण कर सकते हैं:

1. हम वाक्य को नकार सकते हैं, और एक विरोधाभास को खोज सकते हैं। यदि कोई पाया जाता है, तो हम कथन के पहले क्रम की वैधता साबित करते हैं और इस तरह से संतुष्टि होती है।
2. हम संकल्प के साथ संतृप्ति का उपयोग करते हैं और निष्कर्षों से बाहर निकलते हैं। अधिक बार नहीं, हमारे पास बनाने के लिए अनंत मात्रा में निष्कर्ष होंगे, इसलिए यह भरोसेमंद नहीं है।
3. हम फोर्जिंग का उपयोग कर सकते हैं, जो एक मॉडल के अस्तित्व को मानता है और सिद्धांत की स्थिरता भी।

मैं किसी को स्वचालित प्रमेय साबित करने के लिए एक यंत्रीकृत तकनीक के रूप में लागू करने के बारे में नहीं जानता, और यह आसान नहीं दिखता है, लेकिन मुझे दिलचस्पी है अगर यह किया गया है या प्रयास किया गया है, क्योंकि इसका उपयोग कई बयानों के लिए स्वतंत्रता साबित करने के लिए किया गया है। सेट थ्योरी में, जिसके पास खुद कोई परिमित मॉडल नहीं है।

क्या अन्य तकनीकों को पहले क्रम की संतुष्टि के लिए खोजा जाता है जो स्वचालित तर्क के लिए लागू होती हैं या किसी ने स्वचालित फोर्सिंग एल्गोरिदम पर काम किया है?

Comments

Infinox दृष्टिकोण आपके प्रश्न (इसका उत्तर दिए बिना) के लिए प्रासंगिक हो सकता है। विचार यह है कि प्रमेय का उपयोग परिमित मॉडल के गैर-अस्तित्व को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/22058/1/gupea_2077_22058_1.pdf

— selig

Answer 1

यहाँ ब्रॉक-नानस्टैड और शूर्मन द्वारा एक मनोरंजक दृष्टिकोण है:

सच्चा मोनादिक अंश

विचार यह है कि कुछ तर्कों को "भूल" करके पहले-क्रम वाले वाक्यों को मोनैडिक प्रथम-क्रम तर्क में अनुवाद करने का प्रयास करें । निश्चित रूप से अनुवाद पूरा नहीं हुआ है : कुछ सुसंगत वाक्य हैं जो अनुवाद के बाद असंगत हो जाते हैं।

हालांकि, मोनैडिक प्रथम क्रम तर्क निर्णायक है । इसलिए अनुवाद होने पर कोई भी सत्यापित कर सकता है$\overline F$ एक सूत्र का $F$ संगत है:

$$\overline F\not\vdash\bot$$

एक निर्णय प्रक्रिया द्वारा जाँच की जा सकती है, और इसका अर्थ है

$$F\not\vdash\bot$$

जिसका अर्थ है कि में एक मॉडल है, पूर्णता प्रमेय द्वारा।$F$

यह विषय कुछ हद तक आम तौर पर लागू हो सकता है: अपनी समस्या के एक निर्णायक उप-तर्क की पहचान करें, फिर अपनी समस्या को उस तरीके से अनुवाद करें, जो सत्य को संरक्षित करता है। विशेष रूप से आधुनिक एसएमटी सॉल्वर जैसे जेड 3 ने क्वांटिफायर (डिफ़ॉल्ट द्वारा) के साथ सूत्रों की संतुष्टि साबित करने में आश्चर्यजनक रूप से अच्छा है , लेकिन पर अच्छा प्रदर्शन कर सकते हैं ।$\Sigma^0_1$$\Pi^0_2$

वर्तमान में मजबूरन स्वचालित तरीकों की पहुंच से दूर है।

Comments

यह मुझे आश्चर्यजनक लगता है। मैं एनबीजी सेट सिद्धांत का अनुवाद करने की कोशिश कर रहा हूं, जो कि तर्कहीन तर्क में है, लेकिन मैं सोच भी नहीं सकता कि यह इतना आसान है। मैं कल्पना करता हूं कि यह वास्तविक बंद क्षेत्रों या प्रीबर्गर अंकगणित के लिए अच्छी तरह से काम करता है क्योंकि पहले से ही परिमित मॉडल के साथ निर्णायक प्रथम आदेश सिद्धांत हैं, लेकिन यह कल्पना करने में कठिन समय है कि यह निर्धारित सिद्धांत के रूप में अभिव्यंजक के रूप में कुछ के लिए काम करता है।

— डेजाकिन

स्वचालित तर्क में एनजीबी के साथ सब कुछ कठिन है। ध्यान दें कि लेख का बिंदु एक अनुवाद का उपयोग नहीं करना है , लेकिन एक मॉडल की तलाश में कई संभावित अनुवादों का प्रयास करें।

— कोड़ी