यूनिक लेबल कवर से मैक्स-कट तक की कमी का एक विशुद्ध रूप से ग्राफ-थ्योरिटिक विवरण

Question

मैं अनोखा खेल अनुमान और खोट एट अल के मैक्स-कट की प्रसिद्ध कमी का अध्ययन कर रहा हूं। इंटरनेट पर उनके कागज और अन्य जगहों से, अधिकांश लेखक मैक्स-कट कमी और लंबे कोड के लिए विशेष परीक्षणों का निर्माण करने के बीच एक अंतर्निहित समानता का उपयोग करते हैं। उस समानता के बारे में मेरी अपनी स्पष्टता की कमी के कारण, मैंने सोचा की इस ट्रेन का अनुसरण करने के लिए संघर्ष करता हूं।

इन अभिव्यक्तियों से यह भी स्पष्ट प्रतीत होता है कि रेखांकन के संदर्भ में विशुद्ध रूप से कमी का वर्णन किया जा सकता है, लेकिन संयोग या वरीयता के अनुसार कोई भी इसे इस तरह से करने का विकल्प नहीं चुनता है। उदाहरण के लिए, ओ'डॉनेल के इन व्याख्यान नोट्स में वह संकेत देता है कि लंबे समय से कोड का निर्माण किए जा रहे ग्राफ में किनारों की एक प्राकृतिक परिभाषा से मेल खाती है, लेकिन चूंकि यह वर्तनी नहीं है कि नियम कट की पसंद पर निर्भर करता है परीक्षण किए जा रहे बूलियन फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, और इसने मुझे उलझन में छोड़ दिया है।

तो मैं किसी को "बस" ग्राफ-सैद्धांतिक रूप से कमी की व्याख्या करने के लिए कह रहा हूं। मुझे लगता है कि इससे मुझे दो दृष्टिकोणों के बीच समानता को समझने में मदद मिलेगी।

Answer 1

मुझे देखने दो कि क्या मैं इसे स्पष्ट कर सकता हूं, उच्च स्तर पर। मान लें कि यूजी उदाहरण एक द्विदलीय ग्राफ है$G = (V \cup W, E)$, विशेषण $\{\pi_e\}_{e \in E}$, कहाँ पे $\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$, तथा $|\Sigma| = m$। आप एक नया ग्राफ बनाना चाहते हैं$H$ ताकि अगर यूजी का उदाहरण हो $1-\delta$ संतोषजनक, तब $H$ एक बड़ी कटौती है, और अगर यूजी उदाहरण भी नहीं है $\delta$-संतुष्ट, तो $H$ केवल बहुत छोटे कटौती है।

लेखाचित्र $H$ में प्रत्येक शीर्ष के लिए शामिल है $W$का एक बादल $2^m$ अंक, प्रत्येक कुछ द्वारा लेबल $x \in \{-1, 1\}^\Sigma$। आशय यह है कि आपको लेबल के एक लंबे कूट कूटबन्धन की व्याख्या करने में सक्षम होना चाहिए$W$ की कटौती के रूप में $H$। याद है कि कुछ सांकेतिक शब्दों में बदलना करने के लिए$\sigma \in \Sigma$ लंबे कोड के साथ, आप बूलियन फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं $f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; विशेष रूप से यह तानाशाह कार्य है$f(x) = x_\sigma$। चलो एक कट का उत्पादन करें$S\cup T$(यानी अनुलंबों का द्वि-विभाजन) निम्न कोड एन्कोडिंग से है। अगर$w \in W$ बूलियन फ़ंक्शन द्वारा एन्कोड किया गया एक लेबल है $f$, में कोने के बादल के लिए जाओ $H$ तदनुसार $w$, और अंदर डाल दिया $S$ क्लाउड में सभी कोने जो कुछ द्वारा लेबल किए गए हैं $x$ जिसके लिए $f(x) = 1$। बाकी सभी लोग जाते हैं$T$। आप बूलियन कार्यों को सभी को सौंपने के लिए इसे पीछे की ओर कर सकते हैं$w \in W$ की कटौती पर आधारित है $H$।

काम में कमी के लिए, आपको केवल कटौती के मूल्य को देखकर बताने में सक्षम होना चाहिए$S\cup T$ क्या कट के अनुरूप बूलियन कार्य लेबल के कुछ असाइनमेंट के लंबे कोड एन्कोडिंग के करीब हैं $W$ कि यूजी बाधाओं का एक बहुत संतुष्ट करता है $G$। तो सवाल यह है कि एक कट के मूल्य से हमें क्या जानकारी मिलती है$S \cup T$। किन्हीं दो शीर्षकों पर विचार करें$a$ लेबल के साथ $x$ करने के लिए इसी बादल में $w$ तथा $b$ लेबल के साथ $y$ करने के लिए इसी बादल में $w'$ (कमी में हम केवल देखते हैं $w$, $w'$अलग-अलग बादलों में)। हमने कहा कि कट का उपयोग बूलियन कार्यों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है$f_w$ तथा $f_{w'}$। अब अगर कोई बढ़त है$(a,b)$ में $H$, फिर $(a, b)$ अगर और केवल अगर काटा जाता है $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$। इसलिए, यह बताने के लिए कटौती के केवल मूल्य का उपयोग करते हुए कि क्या बूलियन फ़ंक्शन इसे प्रेरित करता है "अच्छा" एक परीक्षण होने के समान है, जिसे बूलियन फ़ंक्शन दिए गए हैं$\{f_w\}_{w \in W}$, केवल जोड़े के कुछ निर्दिष्ट सूची के किस अंश के लिए पूछता है $((w, x), (w', y))$ हमारे पास है $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$।

दूसरे शब्दों में, जब भी रयान नोटों में कहता है "परीक्षण अगर $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$", वह वास्तव में क्या मतलब है" में है $H$के बादल में शीर्ष के बीच एक बढ़त जोड़ें $w$ द्वारा लेबल किया गया $x$ और बादल के शीर्ष में $w'$ द्वारा लेबल किया गया $y$"। Ie for every $v\in V$, इसके दो पड़ोसी $w, w'$, और हर $x,y \in \{-1, 1\}^n$, के बादल के बीच शीर्ष के बीच बढ़त शामिल है $w$ द्वारा लेबल किया गया $x\circ \pi_{v,w}$ और बादल के शीर्ष में $w'$ द्वारा लेबल किया गया $y \circ \pi_{v,w'}$, और बढ़त वजन असाइन करें $(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ कहाँ पे $d$ के बीच हैमिंग दूरी है $x$ तथा $y$। इस तरह कुल बढ़त वजन से विभाजित कटौती का मूल्य परीक्षण की सफलता की संभावना के बराबर है।

Comments

यह एक उत्कृष्ट उत्तर है, जिसे मुझे कुछ और गहराई से अध्ययन करने की आवश्यकता होगी। मेरे पास एक छोटा सा अनुवर्ती प्रश्न है: क्या मुझे संदेह होना चाहिए कि मैं जिस कमी के बारे में निर्धारक होने की उम्मीद करता हूं, उसके पास अभी भी उत्पादन का यह यादृच्छिक घटक है$\mu$?

— जेरेमी कुन

क्षमा करें, यह समर्थन में सभी वैक्टर के लिए किनारों को जोड़कर सिम्युलेटेड है $x\mu$और संभावनाओं को आनुपातिक रूप से धार भार असाइन करना। फिक्स्ड।

— साशो निकोलेव