Reals के गणित को Computable Reals पर किस सीमा तक लागू किया जा सकता है?


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क्या एक सामान्य प्रमेय है, जो उचित स्वच्छता के साथ, वास्तविक संख्याओं के उपयोग के बारे में सबसे अधिक ज्ञात परिणाम वास्तव में इस्तेमाल किया जा सकता है, जब केवल कम्प्यूटेशनल रियल पर विचार किया जाता है? या क्या केवल कम्प्यूटेशनल रियल्स पर विचार करते हुए परिणामों की उचित विशेषता है? एक पक्ष का प्रश्न यह है कि क्या सभी वास्तविक, या किसी भी ऐसी चीज पर विचार किए बिना कम्प्यूटेशनल रियल से संबंधित परिणाम साबित किए जा सकते हैं। मैं विशेष रूप से कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण के बारे में सोच रहा हूं, लेकिन मेरा सवाल किसी भी तरह से सीमित नहीं है।

वास्तव में, मुझे लगता है कि ट्यूरिंग पदानुक्रम के अनुरूप कम्प्यूटेशनल वास्तविक का एक पदानुक्रम है (क्या यह सही है?)। फिर, अधिक अमूर्त रूप से, क्या वास्तविक का एक अमूर्त सिद्धांत है (मुझे यकीन नहीं है कि शब्दावली क्या होनी चाहिए), जिसके लिए कई परिणाम साबित हो सकते हैं, जो कि पारंपरिक वास्तविक संख्याओं पर लागू होंगे, लेकिन गणना योग्य वास्तविकताओं के लिए भी, और कम्प्यूटिंग वास्तविकों के ट्यूरिंग पदानुक्रम के किसी भी स्तर पर, अगर यह मौजूद है।

तब मेरे प्रश्न को संभवतः इस प्रकार कहा जा सकता है: क्या ऐसे परिणामों का लक्षण वर्णन है जो वास्तविक सिद्धांतों के अमूर्त सिद्धांत में लागू होंगे, जब वे पारंपरिक वास्तविकताओं के लिए सिद्ध हो गए हों। और, इन परिणामों को सीधे पारंपरिक सिद्धांतों पर विचार किए बिना, सार सिद्धांत में साबित किया जा सकता है।

मुझे यह समझने में भी दिलचस्पी है कि ये कैसे और कब यथार्थ के सिद्धांत को मोड़ते हैं।

पीएस मुझे नहीं पता कि मेरे सवाल में इसे कहां फिट करना है। मुझे एहसास हुआ कि वास्तविक विज्ञान पर गणित का एक अच्छा सौदा टोपोलॉजी के साथ सामान्यीकृत किया गया है। तो यह हो सकता है कि मेरे प्रश्न का उत्तर, या इसका कुछ हिस्सा, वहाँ मिल जाए। लेकिन इसमें और भी कुछ हो सकता है।

जवाबों:


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वास्तविक संख्याओं को एक-दो तरीकों से चित्रित किया जा सकता है, आइए हम कॉची-पूर्ण अभिलेखीय आदेशित क्षेत्र के साथ काम करें । (हम थोड़ा सावधान हम यह कैसे वास्तव में कहते हैं कि होने की जरूरत है, देखना परिभाषा 11.2.7 और Defintion 11.2.10 के hott पुस्तक ।)

निम्नलिखित प्रमेय किसी भी टॉपोस (उच्च-क्रम अंतर्ज्ञानवादी तर्क का एक मॉडल) में मान्य है :

प्रमेय: एक कॉची-पूर्ण आर्कमेडियन आदेशित क्षेत्र है, और वास्तव में कोई भी दो ऐसे क्षेत्र कैनोनिक रूप से आइसोमॉर्फिक हैं।

इसके अलावा, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में ( अंतर्ज्ञान के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए ) हम बहुत सारे वास्तविक विश्लेषण (अनुक्रम और सीमाएं, डेरिवेटिव, अभिन्नता, निरंतरता, एकरूप निरंतरता, आदि) कर सकते हैं जो तब किसी भी शीर्ष में मान्य है। यदि हम सेट के टॉपोस लेते हैं तो हमें सामान्य वास्तविक विश्लेषण मिलता है। एक अलग टोपोस लेने से हमें एक अलग तरह का वास्तविक विश्लेषण प्राप्त होता है - और एक टोपोस होता है, जो कि गणना योग्य वास्तविक और कम्प्यूटेशनल वास्तविक विश्लेषण प्राप्त करता है।

निश्चित रूप से यह वह जगह है प्रभावी Topos , जिसमें वास्तविक संख्या हैं गणनीय reals (अस्पष्ट शब्दों में, इस का कारण यह है कि प्रभावी Topos इस तरह से है कि यह सब कुछ स्वचालित रूप से गणना कर सका है में निर्माण किया है) है। आपके प्रश्न का उत्तर है

अंतर्ज्ञानवादी वास्तविक विश्लेषण में परिभाषाएँ, निर्माण और प्रमेय स्वचालित रूप से गणनात्मक वास्तविकताओं के बारे में परिभाषाओं, निर्माणों और प्रमेयों के लिए अनुवादित होते हैं जब हम उन्हें प्रभावी टॉपोस में व्याख्या करते हैं।

उदाहरण के लिए, प्रमेय "हर समान रूप से निरंतर मानचित्र अपना वर्चस्व प्राप्त करता है" सहज रूप से मान्य है। जब हम इसे प्रभावी टॉपोस में व्याख्या करते हैं तो हमें कम्प्यूटेशनल रियल पर कम्प्यूटेशनल मैप्स के लिए संबंधित संस्करण मिलता है जो कम्प्यूटेशनल रूप से एक समान होते हैं।:[0,1]आर

आप वास्तविक विश्लेषण और इसके कम्प्यूटेशनल संस्करण के बीच "विचलन" के बारे में भी पूछते हैं। इसका उत्तर यह है कि ऐसे परिणाम जो बहिष्कृत मध्य या पसंद के स्वयंसिद्ध कानून पर निर्भर करते हैं (हालांकि गणना योग्य विकल्प ठीक है) अंतर्ज्ञानवादी नहीं हैं, और इसलिए प्रभावी शीर्षों में मान्य नहीं किया जा सकता है। हालांकि, हमें ध्यान देना चाहिए कि (लोकप्रिय राय के विपरीत) ज्यादातर विश्लेषण अंतर्ज्ञान से किया जा सकता है।

प्रभावी टोपोस कई वास्तविकताओं में से एक है । जब हम अन्य वास्तविकता शीर्षों में अंतर्ज्ञानवादी विश्लेषण की व्याख्या करते हैं, तो हमें वास्तविक संख्या कम्प्यूटेबिलिटी के वैकल्पिक मॉडल मिलते हैं, जिसमें ऑर्कल्स के साथ संगणना भी शामिल है, जिसे आप समझ लेते हैं। "रिश्तेदार क्लेन फंक्शन रियलिज़ेबिलिटी टॉपोस" (जो कुछ भी है) वास्तविक पर तथाकथित टाइप II कम्प्यूटेबिलिटी देता है जिसमें कंप्युटेबल मैप्स सभी रियल्स पर काम करते हैं , न कि कंप्युटेबल ही।

मैंने एक बार नोटों में यह समझाने की कोशिश की "कम्प्यूटेशनल और कंस्ट्रक्टिव गणित के बीच कनेक्शन के रूप में वास्तविकता" , और इससे पहले मेरे पीएच.डी. थीसिस


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प्रेमिका बाउर

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मैंने इस तथ्य के बारे में एक नोट जोड़ा कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क अंतर्ज्ञानवाद के समान नहीं है। इसके अलावा, अंतर्ज्ञानवादी तर्क पर विकिपीडिया पृष्ठ भयानक है।
बाउर

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@ केव: हाँ, हम बेहतर शब्दावली के लिए कामना कर सकते हैं ...
Andrej Bauer
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