संयुक्त पेड़ों की समस्या की यादृच्छिक क्वेरी जटिलता

Question

चिल्ड्स एट अल द्वारा एक महत्वपूर्ण 2003 का पेपर।"संयुक्त वृक्ष समस्या" की शुरुआत की: एक घातांक क्वांटम स्पीडअप को स्वीकार करने वाली समस्या जो किसी अन्य ऐसी समस्या के बारे में है जिसके बारे में हम जानते हैं। इस समस्या में, हमें नीचे दिए गए चित्र की तरह एक बड़ा-बड़ा ग्राफ दिया गया है, जिसमें गहराई n के दो पूर्ण बाइनरी पेड़ हैं, जिनकी पत्तियां एक दूसरे से एक यादृच्छिक चक्र से जुड़ी हैं। हमें एनट्रांस वर्टेक्स के लेबल की आपूर्ति की जाती है। हमें एक ओरेकल भी दिया जाता है, जिसे किसी भी शीर्ष के लेबल के रूप में दिया जाता है, हमें इसके पड़ोसियों के लेबल बताता है। हमारा लक्ष्य EXIT वर्टेक्स को खोजना है (जिसे आसानी से पहचाना जा सकता है, क्योंकि ENTRANCE वर्टेक्स के अलावा ग्राफ में केवल डिग्री -2 वर्टेक्स)। हम मान सकते हैं कि लेबल लंबे यादृच्छिक तार हैं, ताकि अत्यधिक संभावना के साथ,ENTRANCE वर्टेक्स के अलावा अन्य शीर्ष को ऑरेकल द्वारा दिया जाना है।

चिल्ड एट अल। दिखाया गया है कि एक क्वांटम वॉक एल्गोरिथ्म बस इस ग्राफ के माध्यम से बैरल करने में सक्षम है, और पॉली (एन) चरणों के बाद EXIT वर्टेक्स का पता लगाएं। इसके विपरीत, उन्होंने यह भी दिखाया कि किसी भी शास्त्रीय रैंडमाइज्ड एल्गोरिथ्म को उच्च संभावना वाले EXIT वर्टेक्स को खोजने के लिए exp (n) चरणों की आवश्यकता होती है। उन्होंने अपनी निचली सीमा को Ω (2 ^{n / 6} ) के रूप में बताया, लेकिन मेरा मानना ​​है कि उनके प्रमाण की करीब से परीक्षा ^/ (2 ^{n / 2} ) होती है। सहज रूप से, इसका कारण यह है कि अत्यधिक संभावना के साथ, ग्राफ पर एक यादृच्छिक चलना (यहां तक ​​कि एक आत्म-परहेज चलना, आदि) समय की एक घातीय राशि के लिए विशाल मध्य क्षेत्र में फंस जाएगा: किसी भी समय एक वॉकर EXIT की ओर बढ़ना शुरू कर देता है , EXIT से दूर की ओर इशारा करने वाले किनारों की एक बड़ी संख्या एक "प्रतिकारक बल" के रूप में कार्य करेगी जो इसे मध्य की ओर वापस धकेलती है।

जिस तरह से उन्होंने तर्क को औपचारिक रूप दिया वह यह दिखाने के लिए था कि, जब तक कि यह ~ 2 ^{n / 2} कोने का दौरा न कर दे , एक यादृच्छिक एल्गोरिदम को ग्राफ़ में कोई भी चक्र नहीं मिला है : यह अभी तक देखा गया है कि प्रेरित उपसमूह केवल एक पेड़ है, कोई प्रदान नहीं करता है जो कुछ भी हो, उसके बारे में जानकारी जहां EXIT वर्टेक्स हो सकती है।

मैं इस समस्या के यादृच्छिक क्वेरी जटिलता को और अधिक सटीक रूप से कम करने में रुचि रखता हूं। मेरा सवाल यह है:

क्या कोई शास्त्रीय एल्गोरिथ्म के साथ आ सकता है जो ~ 2 ⁿ से कम चरणों में EXIT वर्टेक्स पाता है --- कहते हैं, O (2 ^{n / 2} ), या O (2 ^{2n / 3} ) में? वैकल्पिक रूप से, क्या कोई better (2 ^{n / 2} ) की तुलना में कम बाउंड को बेहतर दे सकता है ?

(ध्यान दें कि, जन्मदिन के विरोधाभास द्वारा, ओ (2 ^{एन / 2} ) चरणों के बाद ग्राफ में चक्रों को खोजना मुश्किल नहीं है । सवाल यह है कि क्या कोई भी उपयोग कर सकता है कि EXIT वर्टेक्स कहां है।

अगर कोई भी निम्न बाध्य पिछले Ω (2 ^{n / 2} ) में सुधार कर सकता है , तो मेरे ज्ञान के लिए, यह एक घातीय क्वांटम स्पीडअप के साथ ब्लैक-बॉक्स समस्या का पहला सबसे अच्छा उदाहरण प्रदान करेगा, जिसका यादृच्छिक क्वेरी जटिलता √N से अधिक है । (जहां एन ~ 2 ^एन समस्या का आकार है।)

अद्यतन: मैंने एंड्रयू चिल्ड्स से सीखा है कि, इस नोट में , फेनर और झांग स्पष्ट रूप से संयुक्त वृक्षों के लिए bound (2 ^{एन / 3} ) के लिए यादृच्छिक रूप से कम सीमा में सुधार करते हैं । यदि वे निरंतर (छोटे-से-कम) सफलता की संभावना को स्वीकार करने के लिए तैयार थे, तो मेरा मानना ​​है कि वे the (2 ^{n / 2} ) को और बेहतर करने के लिए बाध्य कर सकते हैं ।

Answer 1

मुझे लगता है कि मेरे पास एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म है जो से बाहर निकलने के कॉल को पाता है ।$O(n2^{n/2})$

सबसे पहले, प्रवेश द्वार से दूरी सभी कोने के लिए लेबल ढूंढें । यह प्रश्न लेता है । फिर, प्रवेश द्वार से शुरू करने और चलना एक नोड के लिए पाने के लिए कदम दूरी की प्रवेश द्वार से। हम इस नोड से बाहर निकलने की कोशिश करेंगे।O ( 2 n / 2 ) n + 1 X n + $n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

हमारे पास से जाने के दो विकल्प हैं , और हम बाहर निकलने के लिए एक को चुनना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, नोड पर पहुंचकर, मनमाने ढंग से किसी एक विकल्प को चुनें । फिर सभी से कदम चलने के तरीके का पता लगाएं । यदि उनमें से कोई प्रवेश द्वार से दूरी का लेबल देता है , तो हम जानते हैं कि से तक जाना गलत विकल्प था। अन्यथा, सही विकल्प था। इस प्रकार हमने प्रवेश से दूरी का एक नोड पाया ।Y O ( 2 n / 2 ) n / 2 Y n / 2 X Y Y O ( 2 n / 2 ) X 2 n + $X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

हम इस तरह आगे बढ़ सकते हैं। प्रवेश द्वार से दूरी का नोड खोजने के लिए , हम से शुरू और दो मनमाने कदमों पर चलते हैं। फिर हम चलने के सभी विकल्पों का पता लगाते हैं अतिरिक्त चरण (जबकि पीछे की ओर कभी नहीं चलना), और जाँच करें कि उनमें से किसी की भी दूरी है। ऐसा तब होगा जब और केवल तभी जब हम से चले थे पहला कदम गलत था।X 2 n / 2 n / 2 X $n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

बाहर निकलने के लिए इस समय को करने की आवश्यकता होती है , कुल oracle कॉल। इसके अलावा, शायद आश्चर्यजनक रूप से, यह एल्गोरिथ्म नियतात्मक है।$n$$O(n2^{n/2})$

संपादित करें: बस स्पष्ट करने के लिए, से तक लिए , हम मनमाने ढंग से कदम नहीं उठाते हैं, फिर कुल खोज के लिए चरणों की खोज करें। यदि पहला कदम बाहर निकलने से दूर होता है, तो पहले सभी चरणों ने किया, और इसलिए हम प्रवेश द्वार से दूरी का लेबल पाते हैं । इसका मतलब है कि चरण से लेने के लिए अगला एकल चरण निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है ।$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$

Comments

मुझे समझ नहीं आ रहा है। जानने के लिए , आप होगा से कुछ कदम दूर मनमाना और फिर के लिए अतिरिक्त कदम? क्या यह चरण नहीं है जो बहुत अधिक है? $X_{t+1}$$t$$X_t$$n/2$$2^t2^{n/2}$

— डोमटोटर

मैं दूसरी डोमोटर की उलझन। क्या यह ऐसा मामला नहीं है, जो आपको EXIT के करीब ले जाता है, जिस पथ पर आपको से किसी एक को प्राप्त करने की आवश्यकता है, जो आपको शुरुआत में परेशान करता है? फिर भी, हो सकता है कि आप इस तथ्य का फायदा उठा सकें कि EXIT के करीब शुरू होने वाले रास्तों को केंद्र की ओर बाईं ओर बढ़ने की बहुत संभावना है जब तक वे उस तक नहीं पहुंचते? (यह आपके एल्गोरिथ्म में थोड़ा यादृच्छिकरण जोड़ देगा।)$2^{n/2}$

— स्कॉट आरोनसन

इसके बारे में सोचने के लिए आओ, क्या हुआ अगर हम तथ्य यह है कि, ग्राफ के आधे दाएं भाग में किसी भी शिखर से, आप एक दिशा है कि आप का नेतृत्व करने जा रहा है उठा के एक 1/2 मौका है का फायदा उठाया inexorably वापस केंद्र के लिए? यह हमें EXIT वर्टेक्स से n / 2 दूर करने के लिए पर्याप्त हो सकता है, जो तब हमें आगे के प्रश्नों के साथ खुद EXIT वर्टेक्स को खोजने की अनुमति देगा । $2^{n/2}$

— स्कॉट एरॉनसन

को खोजने के लिए , से मनमानी कदम , लेकिन केवल एक बार । यह चरण लेता , चरण नहीं। फिर सभी संभव तरीकों से चरण बनाएं । इसमें चरण लगते हैं । कुल । मैं इस तथ्य का उपयोग कर रहा हूं कि यदि चरणों में से पहला गलत था, तो इन चरणों में से सभी बाहर निकलने (और प्रवेश द्वार की ओर) से दूर जाते हैं। यह पहले चरणों के बाद मामला बंद हो जाता है , यही कारण है कि आपको एक संपूर्ण खोज शुरू करने की आवश्यकता है। टी एक्स टी टी 2 टी एन / 2 2 n / 2 टी + 2 n / 2 टी टी $X_{t+1}$$t$$X_t$$t$$2^t$$n/2$$2^{n/2}$$t+2^{n/2}$$t$$t$$t$

— हिला

दोनों छोरों से एक खोज शुरू करने और भोली एल्गोरिथ्म में एक sqrt () सुधार के लिए अग्रणी को द्विदिश खोज के रूप में जाना जाता है और इसे विभिन्न संदर्भों में कई बार स्वतंत्र रूप से खोजा गया है जैसे कि गूगल मैप्स में रूट प्लानिंग। मूल संदर्भ ऐसा प्रतीत होता है: GB Dantzig। रैखिक प्रोग्रामिंग और एक्सटेंशन। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 1962.

— एलेक्स लोपेज-ऑर्टिज़