प्रिंसिपिया मैथेमेटिका-शैली औपचारिकता के लिए स्वचालित प्रमेय का कौन सा प्रतिमान उपयुक्त है?

Question

मैं एक पुस्तक के कब्जे में हूं, जो कि रसेल के प्रिंसिपिया मैथेमेटिका (पीएम) और तार्किक सकारात्मकता से प्रेरित है, स्वयंसिद्ध निर्धारण और उनसे प्रमेयों को कम करके एक विशिष्ट डोमेन को औपचारिक रूप देने का प्रयास करता है। संक्षेप में, यह अपने डोमेन के लिए वह करने का प्रयास करता है जो पीएम ने गणित के लिए करने का प्रयास किया था। पीएम की तरह, यह स्वचालित प्रमेय साबित होने से पहले लिखा गया था (एटीपी) संभव था।

मैं एक आधुनिक एटीपी प्रणाली में इन स्वयंसिद्धताओं का प्रतिनिधित्व करने की कोशिश कर रहा हूं, और प्रमेयों को कम करने का प्रयास करता हूं, शुरू में लेखक द्वारा (हाथ से) कटौती की जाती है। मैंने पहले एटीपी सिस्टम का उपयोग नहीं किया है, और विकल्पों की अधिकता (HOL, Coq, Isabelle, और कई और अधिक), प्रत्येक को उनकी ताकत, कमजोरियों और इच्छित अनुप्रयोगों को देखते हुए, यह तय करना मुश्किल साबित हो रहा है जो मेरे विशिष्ट के लिए उपयुक्त है उद्देश्य।

लेखक की औपचारिकता पीएम को करीब से दिखाती है। कक्षाएं (सेट?), कक्षाओं के वर्ग और इतने पर पदानुक्रम के 6 स्तर हैं। पहला ऑर्डर है, और संभवतः उच्चतर ऑर्डर लॉजिक है। पीएम से संबंध को देखते हुए, मैंने शुरू में मेटामठ की जांच की, क्योंकि मेटामैथ के कई प्रमेयों को अन्य लोगों द्वारा मेटामैथ में साबित किया गया है। हालाँकि, मेटामैट निश्चित रूप से एक प्रमाण सत्यापनकर्ता है और एटीपी प्रणाली नहीं है।

विभिन्न एटीपी प्रणालियों के विवरण के माध्यम से जाने पर, मैं कई विशेषताओं को देखता हूं, जैसे कि चर्च के प्रकार सिद्धांत, रचनात्मक प्रकार के सिद्धांत, अंतर्ज्ञानवादी प्रकार के सिद्धांत, टाइप / अनपेड सेट सिद्धांत, प्राकृतिक कटौती, लंबोदर केल्पी के प्रकार, बहुरूपता, पुनरावर्ती कार्य सिद्धांत, और समानता का अस्तित्व (या नहीं)। संक्षेप में, प्रत्येक प्रणाली एक बहुत अलग भाषा को लागू करने के लिए लगता है, और विभिन्न चीजों को औपचारिक रूप देने के लिए उपयुक्त होना चाहिए। मैं मानता हूं कि गणित को औपचारिक बनाने के लिए मौजूदा पुस्तकालय मेरे उद्देश्य से प्रासंगिक नहीं हैं।

विशेषताओं के बारे में कोई सलाह जो मुझे एटीपी चुनने में लेनी चाहिए, या इस प्रश्न को पढ़ने के बाद आपके पास कोई अन्य सलाह हो सकती है, बहुत सराहना की जाएगी। संदर्भ के लिए, यहां पुस्तक से एक नमूना पृष्ठ है। दुर्भाग्य से, पीएम की तरह, यह पीनो-रसेल संकेतन में है।

किताब -

"जीवविज्ञान पद्धति बायोलॉजी में" (1937), जेएच वुडगेर, ए। टार्स्की, डब्ल्यूएफ फ्लॉयड

स्वयंसिद्धों का आरंभ मात्रक से होता है। उदाहरण के लिए,

$x$$\alpha$$\alpha$$x$$y$$x$$z$$\alpha$$y$

$$S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$$

फिर, ध्यान दें कि यह पीनो-रसेल संकेतन (प्रिंसिपिया की धारणा) है।

बाद में स्वयंसिद्धों में जैविक सामग्री होती है, जैसे,

7.4.2 जब मेंडेलियन वर्ग के दो सदस्यों के युग्म युग्म बनाने के लिए युग्मों में एकजुट होते हैं, तो किसी दिए गए जोड़े के एकजुट होने की संभावना अन्य जोड़ी के बराबर होती है।

यह, जो मैं समझता हूं, वह मेंडेलियन आनुवंशिकी का एक संकेत था।

मैं इसके लिए संकेतन को छोड़ देता हूं क्योंकि यह तीन पंक्तियों की लंबी है, और पहले से परिभाषित सामग्री पर निर्मित होती है।

एक प्रमेय का उदाहरण -

यह स्पष्ट रूप से मेंडेलियन आनुवंशिकी में एक सार्थक व्याख्या करता है, जो कि जीव विज्ञान का इतिहासकार नहीं है, मुझे समझ में नहीं आता है। पुस्तक में, यह हाथ से घटाया गया था।

धन्यवाद!

Comments

क्या पुस्तक के ठीक बाद में ऐतिहासिक रुचि है, या आप इसे (मूल सेटअप और स्वयंसिद्ध) का सार निकाल सकते हैं और उपलब्ध आधुनिक प्रणाली में सिद्धांत को औपचारिक रूप दे सकते हैं?

— बाउर

@andrej: हां, एक आधुनिक प्रणाली में जिस्ट को निकालना और औपचारिक बनाना मेरा उद्देश्य है। पुस्तक में हाथ से काटे गए प्रत्येक प्रमेय को कम करना आवश्यक नहीं होगा। इसके बजाय, यह किताब में मौजूद स्वयंसिद्धों से किताब में नहीं, प्रमेयों को घटाने के लिए अच्छा होगा।

— अत्रि

उस मामले में आपको पाठ को समझना चाहिए और फिर जो कुछ भी सहायक और / या प्रमेय कहावत में है उसे अपने उद्देश्य के लिए सबसे उपयुक्त लगता है।

— बाउर

Answer 1

प्रिंसिपिया मैथेमेटिका 20 वीं शताब्दी के मोड़ पर गणितीय तर्क में खोजे गए विभिन्न विरोधाभासों के लिए एक बड़े पैमाने पर प्रतिक्रिया थी। हालांकि काम ही है, जो अक्सर एक 'अपठनीय कृति' के रूप में विशिष्ट रूप से प्रशंसा की गई है कुछ हद तक अनाड़ी है और अधिक आधुनिक नींव तैयार की गई है। अधिकांश गणित का वर्णन करने के लिए, आपके पास कई विकल्प हैं: श्रेणी सिद्धांत एक है, प्रकार सिद्धांत लंबर कैलकुलस के विस्तार के रूप में कुछ परियोजनाओं में लोकप्रिय रहा है, लेकिन सबसे अच्छी तरह से समझा गया और सबसे अधिक संस्थापक संभवतः सिद्धांत स्थापित है।

सेट सिद्धांत के कई अलग-अलग रूप हैं; पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो फ्रेंकल सेट सिद्धांत सबसे रूढ़िवादी है, जिसे सेट सिद्धांत के उत्साही लोगों द्वारा प्यार से रूप में संदर्भित किया जाता है । Tarski-Grothendiek सेट सिद्धांत एक और है जो काफी हद तक समान है जिसमें बड़ी श्रेणियों के बारे में तर्क के लिए टार्स्की का स्वयंसिद्ध शामिल है। ये सत्यापन के लिए दिलचस्प हैं, लेकिन स्वचालित प्रमेय साबित करने के लिए कुछ हद तक मुश्किल है क्योंकि प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा अनंत संख्या में स्वयंसिद्ध मानते हैं जो कार्यान्वयन के लिए एक चुनौती का प्रतिनिधित्व करते हैं। हालांकि ये नींव प्रूफ सत्यापन प्रणाली के लिए पूरी तरह से उचित हैं जैसे मिर्ज़ के लिए टार्स्की-ग्रोथेंडीक सेट सिद्धांत और मेटामैथ फॉर$\sf ZFC$$\sf\ ZFC$$\sf ZFC$, एक वास्तविक प्रमेय सिद्ध प्रणाली के लिए, परिमित अक्षीयकरण करना अच्छा होगा।

संभवतः जो इसके लिए सबसे उपयुक्त है वह है वॉन न्यूमैन-बर्नसे-गोडेल सेट सिद्धांत, या , जो दो तरह के सिद्धांत है जो समुचित कक्षाओं की एक ऑन्थोलॉजी के रूप में अच्छी तरह से सेट करता है, द्वारा परिमित स्वयंसिद्धता को स्वीकार करता है। इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि , का एक रूढ़िवादी विस्तार है , जिससे कि का कोई भी प्रमेय का एक प्रमेय है$\sf NBG$$\sf NBG$$\sf ZFC$$\sf NBG$$\sf ZFC$। यह कारण कि यह सिद्धांत मेरे विचार में स्वचालित तर्क के लिए सबसे उपयुक्त है, पहले क्रम तर्क में इसकी अभिव्यक्ति योग्य है, जो एक प्रभावी, ध्वनि और पूर्ण प्रमाण पथरी को स्वीकार करता है, और परिमित स्वयंसिद्धता का अर्थ है कि इसका उपयोग पहले आदेश संकल्प के साथ किया जा सकता है जो हमें हमारे लिए उपयोग करता है। सुव्यवस्थित परिणाम: यदि एक बयान निर्णायक है, तो एक प्रमाण अंततः मिल जाएगा।

प्रस्तावक तर्क पर्याप्त अभिव्यंजक नहीं है, और उच्चतर आदेश तर्क, जबकि बहुत अधिक अभिव्यंजक, एक प्रभावी, ध्वनि और पूर्ण प्रमाण पथरी को स्वीकार नहीं करता है। सेट थ्योरी के साथ पहला ऑर्डर लॉजिक आपको उच्च श्रेणी के लॉजिकल थ्योरीज का प्रतिनिधित्व करने और मैप करने की अनुमति देता है, इसलिए नींवों के लिए जो कि मीठा स्थान है ... केवल अनपेक्षित स्टेटमेंट (गोडेल के लिए धन्यवाद) की संभावना को छोड़कर, जो कि पहले पर्याप्त क्वांटिक रैंक के सिद्धांतों का आदेश देता है। अक्सर अर्ध-पर्णपाती के रूप में वर्णित किया जाता है।

आर्ट क्वैफ ने इस पर कुछ काम किया: मौलिक गणितीय सिद्धांतों का स्वचालित विकास, जहां उन्होंने खंड क्रम में तर्क क्रम में _ को लागू किया, ताकि इसका उपयोग रिज़ॉल्यूशन आधारित प्रमेय प्रोवर (ओटर) द्वारा किया जा सके और टैकलिंग के लिए एक एक्सक्लूसिव संदर्भ इस तरह के काम के लिए नींव इलियट मेंडेलसन का गणितीय तर्क का परिचय है।$\sf NBG$

अब आधुनिक प्रूफ सहायक अक्सर प्रिंसिपिया मैथिया के प्रतिमान की नींव से कम चिंतित होते हैं और रोजमर्रा के काम के लिए प्रमेय साबित करने के लिए अधिक उपयोगी होते हैं, और इसलिए उनके पास उच्च आदेश तर्क के खंडों, सैट / श्रीमती समाधान, टाइप थ्योरी और अन्य के लिए कुछ समर्थन होता है। अधिक अनौपचारिक और कम मूलभूत दृष्टिकोण। लेकिन अगर आप प्रिन्सिया मैथमेटिका जैसा कुछ करने की कोशिश कर रहे हैं, तो पहला ऑर्डर रिज़ॉल्यूशन प्रमेय एक आदर्श रूप से स्वयंसिद्ध पहला ऑर्डर सेट सिद्धांत के साथ आदर्श है।

इन नींवों से स्वचालित प्रमेय कैसे समस्याओं पर हमला करता है, इसके कुछ उदाहरणों के लिए, थ्योरम प्रोवर्स ( टीपीटीपी ) साइट के लिए हजारों समस्याएं समस्याओं की एक अच्छी संख्या है, और आप ध्यान देंगे कि संख्या सिद्धांत में कई मूलभूत समस्याएं _ में स्थापित हैं। सेट सिद्धांत। यदि आपके पास समय है, तो उनकी साइट पर NUM006-1.p देखें: गोल्डबैक अनुमान। आप इसे चलाने का प्रयास कर सकते हैं, और यदि इसका निर्णायक, एक प्रमाण अंततः मिल जाएगा।$\sf NBG$

आपकी पुस्तक के प्रमेय लगभग निश्चित रूप से प्रमेय होंगे जो दिए गए सिद्धांत की भाषा में लिखे गए हैं। उस पुस्तक में आनुवंशिकी के स्वयंसिद्धों को निश्चित रूप से सेट सैद्धांतिक विधेय पर परिभाषाओं के रूप में दर्शाया जाएगा, जिस तरह से पीनो अंकगणित को विधेयकों की परिभाषाओं के रूप में में दर्शाया गया है। वहां से आप किसी भी एटीपी में संकल्प प्रक्रिया का पालन करते हैं। एक बयान चुनें जिसे आप साबित करना चाहते हैं, इसे नकारात्मक करें, स्कोल्म को सामान्य रूप में परिवर्तित करें, फिर क्लॉज़ल रूप में, और संकल्प का पालन करें। जब आप खाली खंड पाते हैं, तो आपने एक विरोधाभास पाया है, जो कथन को प्रमाणित करता है।$\sf NBG$$\sf NBG$

यदि आपके पास सेट थ्योरी के संदर्भ में सिद्धांत को परिभाषित करने का प्रयास करना चाहते हैं, तो आप जो कार्य करना चाहते हैं, वह संबंधपरक विधेय परिभाषाएँ हैं जो सेट सिद्धांत से अलग हैं, जो आपको सेट सिद्धांत के संदर्भ में विधेय बनाने की अनुमति देगा। फिर, इसका एक उदाहरण है कि हम सेट सिद्धांत में पीनो अंकगणित को कैसे परिभाषित करते हैं, जिसके द्वारा स्वयं संख्याओं, जोड़, गुणन या समता की कोई परिभाषा नहीं है। समानता जैसे किसी संबंध की एक निर्धारित सैद्धांतिक परिभाषा के उदाहरण के रूप में, हम इसे सदस्यता के संदर्भ में इस तरह परिभाषित कर सकते हैं:

$\forall$ xy ( जेड (जेड एक्स z वाई) एक्स = वाई)$\forall$$\in$$\leftrightarrow$$\in$$\leftrightarrow$

चेतावनी का एक उचित सा: इसके लिए सीखने की अवस्था वास्तव में बहुत खड़ी है। यदि आप इसे आगे बढ़ाने पर आमादा हैं, तो आपको पूरी समस्या को समझने से पहले कई साल लग सकते हैं, जैसा कि मेरा अनुभव था। आप हर चीज के लिए एक मूलभूत भाषा में इसे एम्बेड करने के विशाल कार्य को लेने से पहले सिद्धांत को कम मूलभूत दृष्टिकोण से परख सकते हैं। तुम, सब के बाद, जरूरी नहीं कि जीन मिश्रण के बेशुमार सेट के बारे में तर्क करने की जरूरत है।

Comments

इस विस्तृत और स्पष्ट जवाब के लिए बहुत धन्यवाद! कुछ प्रश्न: 1. विकिपीडिया बताता है कि 'साधारण गणित के अधिकांश प्रमेय के प्रमाण के लिए प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध स्कीमा आवश्यक नहीं है।' क्या यह संभव है कि मेरी प्रमेय इसके बिना सिद्ध हो सकती है, इसलिए एनबीजी की आवश्यकता को नकारना चाहिए? बेशक, मुझे लगता है कि कोई भी स्वचालित प्रमेय प्रोवेर {ZFC - स्वयंसिद्ध स्कीमा ऑफ रिप्लेसमेंट} का उपयोग करने की अनुमति देगा, यदि यह भी संभव था?

— अत्रि १०'४४

2. यह देखते हुए कि प्रथम क्रम तर्क + सेट सिद्धांत नींव के लिए सबसे अच्छा है, मुझे लगता है कि HOL / इसाबेल / पीवीएस / आदि (सभी उच्च-क्रम) मेरे उद्देश्य के लिए सभी ओवरकिल हैं? इसके अलावा, टाइप थ्योरी (Coq et al।) पर आधारित सब कुछ उचित नहीं है? तदनुसार, Prover9 / वैम्पायर / SNARK की पसंद उपयुक्त होगी? मुझे SNARK के साथ कुछ पूर्व अनुभव है। यह संकल्प द्वारा समानता के साथ कई तरह के पहले क्रम तर्क को संभाल सकता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इसमें सेट सिद्धांत का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाए।

— अत्रि १०'१४

स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने वाले स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह कार्यान्वयन को कठिन बनाता है। Prover9 उनका समर्थन नहीं करता है। HOL, इसाबेल, Coq सभी प्रथम क्रम सेट सिद्धांत का समर्थन करते हैं जहाँ तक मुझे याद है, और शायद आपकी परियोजना के लिए पूरी तरह से ठीक हैं। भले ही आप एनबीजी में अन्य सिद्धांतों को एम्बेड कर सकते हैं, यह बिल्कुल आवश्यक नहीं है। हमें संख्याओं के बारे में चीजों को साबित करने के लिए एनबीजी में पीनो अंकगणित को एम्बेड करने की आवश्यकता नहीं है ... लेकिन यह तार्किक संरचना को सीखने और समझने में मदद करता है।

— dezakin

आप हमेशा अपने सिद्धांत को बाद में निर्धारित सिद्धांत में एम्बेड कर सकते हैं, सदस्यता की भविष्यवाणी के संदर्भ में सिद्धांत की विधेयकों को परिभाषित करके। मुझे आपके प्रोजेक्ट को पूरी तरह से सही बनाने की चिंता नहीं होगी। इसे बाद में छीना जा सकता है।

— dezakin

ऐसा प्रतीत होता है कि, वस्तुतः कोई भी कहावत - यहां तक ​​कि Coq, HOL और Prover9 के रूप में अलग-अलग हैं - मेरे प्रोजेक्ट के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। ऐसे मामलों में, एक स्मार्ट निर्णय रणनीति क्या होगी? मैं सभी लेकिन SNARK से अपरिचित हूं। 'आदर्श' प्रदान की गई स्वयंसिद्ध प्रणाली में नए प्रमेयों की खोज है।

— १०:४४ बजे अत्रि

Answer 2

कई बिंदु:

1. जहाँ तक मुझे पता है, प्रिंसिपिया मैथेमेटिका अनिवार्य रूप से सेट सिद्धांत का एक औपचारिकता का उपयोग करते हुए एक टाइप्ड फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक का उपयोग करता है। इसलिए यह अपने बयानों को औपचारिक रूप देने के लिए प्रोवर 9 या संभवतः एसीएल 2 जैसे पहले-क्रम वाले स्वचालित प्रमेय प्रोवर का उपयोग करने के लिए लुभावना होगा । हालांकि, मैं कई सेट सैद्धांतिक निर्माण देख रहा हूँ (जैसे , ) वहाँ में, जो आमतौर पर पहले के आदेश एटीपी के साथ बहुत अच्छी तरह से नहीं खेलते हैं।$\in$$\cap, \subset$

2. किसी भी आधुनिक इंटरेक्टिव प्रूफ सहायक के पास निश्चित रूप से आपके बयानों को औपचारिक रूप देने और साबित करने की स्पष्टता होगी, जैसा कि लेडी ने सुझाव दिया है। वास्तव में, चूंकि अंकगणित सहित कुछ कथन प्रतीत होते हैं, इसलिए इसाबेल , कोक या एचओएल जैसी प्रणाली का उपयोग करना बुद्धिमान होगा , जिनके पास पहले से ही अंकगणितीय के कथनों के उपचार के लिए व्यापक सिद्धांत हैं। आधुनिक पर मेरा जोर एक संयोग नहीं है: ऑटोमैथ के बाद से प्रयोज्य में महान प्रगति हुई है, और मुझे ईमानदारी से लगता है कि आप 90 के दशक के बाद से सक्रिय रूप से विकसित नहीं किए गए किसी भी चीज का उपयोग करके खुद को एक असंतुष्ट कर रहे होंगे (यदि आप एक भी प्राप्त कर सकते हैं काम करने के लिए!)

3. अंत में, ITP और ATP ने लर्निंग कर्व्स को चुनौती दी है, और आपको इन प्रमेयों को ऐसी प्रणाली में प्रवेश करने में सक्षम होने की उम्मीद नहीं करनी चाहिए जैसे कि आप एक प्रूफ लिख रहे थे । गंभीर निराशा और खोए हुए समय की अपेक्षा करें, खासकर पहले महीनों (हाँ, महीनों) में। मुख्य औपचारिकता प्राप्त करने से पहले आपको निश्चित रूप से कुछ ट्यूटोरियल के माध्यम से काम करना होगा।$\LaTeX$

Comments

धन्यवाद! यह उस तरह की सामान्य सलाह है जिसकी मुझे तलाश थी। इस उत्तर को स्वीकार के रूप में चिह्नित करना। मेरी प्रगति के रूप में मेरे पास शायद अधिक विशिष्ट / तकनीकी प्रश्न होंगे।

— अत्रि

सेट सिद्धांत पहले क्रम के तर्क के लिए बनाया गया है। आप गणित के सभी प्रथम सिद्धांत को केवल एक विधेय के साथ कम कर सकते हैं: सदस्यता। वहां से आप संघ, चौराहे, उपसमुच्चय, उचित उपसमुच्चय, और अन्य संबंधों की परिभाषा का निर्माण कर सकते हैं। Prover9 पूरी तरह से उपयुक्त है।

— डेजाकिन

सिद्धांत रूप में? हाँ। प्रयोग में? यदि आप कहते हैं कि सेट थ्योरी का उपयोग करते हुए प्राकृतिक संख्याएँ, Prover9 जैसी प्रणाली कुल क्रम जैसे सबसे बुनियादी कथनों को साबित नहीं कर पाएंगी । स्वभाव से, सेट सिद्धांत जैसे सिस्टम को एटीपी सिस्टम द्वारा कुशलता से नियंत्रित करने के लिए कई विशिष्ट सांख्यिकी की आवश्यकता होती है। $\mathbb{N}$

— cody

Prover9 अक्सर प्राकृतिक संख्याओं के सैद्धांतिक निर्माण का उपयोग करता है। टीपीटीपी में संख्या सिद्धांत समस्याओं और संख्या सिद्धांत स्वयंसिद्धों की जाँच करें। वे सेट सिद्धांत पर संख्या सिद्धांत को परिभाषा के रूप में परिभाषित करते हैं। रिज़ॉल्यूशन प्रमेय सिद्ध करने के लिए एटीपी द्वारा अपेक्षित हेयुरेटीज़ हैं जो खाली क्लॉज़ की खोज करते समय प्रयोग करने योग्य सूची के लिए चुनने के लिए क्लॉज़ हैं, और सेट थ्योरी इसके लिए कोई विशेष अपवाद नहीं है। अन्य सिद्धांत संबंधपरक विधेय द्वारा निर्धारित सिद्धांत में परिभाषित किए गए हैं।

— dezakin