पूरक सुस्तता क्यों महत्वपूर्ण है?

Question

दोहराव के बारे में बात करते समय आमतौर पर पूरक सुस्तता (सीएस) सिखाई जाती है। यह गणितीय दृष्टिकोण से प्राइमल और दोहरी बाधा / चर के बीच एक अच्छा संबंध स्थापित करता है।

सीएस को लागू करने के दो प्राथमिक कारण (जैसा कि स्नातक पाठ्यक्रमों और पाठ्य पुस्तकों में पढ़ाया जाता है):

1. एलपी की इष्टतमता की जांच करने के लिए
2. दोहरे को हल करने में मदद करने के लिए

एलपी को हल करने के लिए आज की कंप्यूटिंग शक्ति और बहुपद एल्गोरिदम को देखते हुए क्या सीएस अभी भी व्यावहारिक दृष्टिकोण से प्रासंगिक है? हम हमेशा दोहरे को हल कर सकते हैं और उपरोक्त दोनों बिंदुओं को संबोधित कर सकते हैं। मैं सहमत हूं कि सीएस की मदद से दोहरे को हल करना "अधिक कुशल" है लेकिन क्या ऐसा है? या क्या सीएस से अधिक आंखें मिलती हैं? उपरोक्त दो बिंदुओं से परे CS उपयोगी कहाँ है ? मैंने आमतौर पर ग्रंथों को एल्गोरिदम के बारे में बात करते समय सीएस की अवधारणा से अवगत कराया है, लेकिन मैं वहां इसकी भूमिका को समझने में विफल रहा।

Comments

मेरी विशेषज्ञता का क्षेत्र नहीं है, लेकिन ऐसा लगता है कि आप पूछ रहे हैं कि हम एक्स के गुणों को क्यों सिखाते हैं, हालांकि एक्स का निर्णय करना कम्प्यूटेशनल रूप से आसान है। उदाहरण के लिए, हम द्विपदीयता के "नो विषम चक्र = द्विदलीय" लक्षण वर्णन सिखाते हैं, जबकि हमारे पास द्विदलीयता की जांच के लिए बहुपद समय एल्गोरिदम हैं। क्या आप कुछ अर्थों में पूछ रहे हैं?

— रॉबिन कोठारी

बिल्कुल नहीं। मैं समझता हूँ कि आप इसे क्यों सिखाते हैं। मैं एक व्यावहारिक पीओवी से जानना चाहता हूं कि एलपी और / या सन्निकटन एल्गोरिदम को डिजाइन करते समय इसका उपयोग कैसे किया जाता है। वैरिएबल और बाधाओं के बीच गणितीय संबंधों के अलावा हमें जो अंतर्दृष्टि मिलती है वह क्या है।

— पीएचडी

खैर, मुझे लगता है कि यह "विश्लेषणात्मक" समाधान प्राप्त करने में मदद कर सकता है ... जो कि कंप्यूटर के साथ प्राप्त करना अधिक कठिन हो सकता है।

— usul

मुझे सवाल नहीं मिलता है। सिर्फ इसलिए कि हम संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने के लिए कैलकुलेटर और कंप्यूटर का उपयोग करते हैं, क्या हमें अभी भी संख्याओं के गुणों को जानने की आवश्यकता है?

— चंद्र चकुरी

@CraraChekuri - मेरा मतलब यह नहीं है। मैं सिर्फ यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि इस प्रमेय के बारे में क्या अच्छा है और क्या यह महत्वपूर्ण है। मैं इसे "यह है कि यह कैसे है" के रूप में स्वीकार नहीं करना चाहता, लेकिन इसके महत्व को समझने के लिए एलपी द्वैत की गहरी समझ चाहते हैं

— पीएचडी

Answer 1

प्राइमेरी-डुअल एल्गोरिदम को डिजाइन करने में कॉम्प्लीकरी स्लैकनेस अहम है। मूल विचार है:

1. एक संभव दोहरे समाधान साथ शुरू करें ।$y$
2. प्रायोगिक संभव को खोजने का प्रयास करें जैसे कि पूरक सुस्ती को संतुष्ट करता है।$x$$(x, y)$
3. यदि चरण 2. सफल हुआ तो हम कर रहे हैं। अन्यथा को खोजने के लिए एक बाधा को संशोधित करने का एक तरीका देता है ताकि दोहरी उद्देश्य फ़ंक्शन मूल्य बढ़ जाए। दोहराएँ।$x$$y$

एक शास्त्रीय उदाहरण हंगेरियन एल्गोरिथ्म है। Ford-Fulkerson एल्गोरिथ्म को एक और उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। ध्यान दें कि चरण 2 एक व्यवहार्यता समस्या है जो अक्सर मूल अनुकूलन समस्या की तुलना में आसान होती है, और अक्सर कॉम्बिनेटरियल हल भी किया जा सकता है। यह पूरक सुस्तता की शक्ति है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम लागत द्विदलीय मिलान के मामले में, चरण 2 की जाँच करें कि क्या केवल तंग किनारों का उपयोग करके एक परिपूर्ण मिलान मौजूद है। अधिकतम - प्रवाह के मामले में , चरण 2 की जाँच करें कि क्या संतृप्त किनारे अलग और ।$s$$t$$s$$t$

प्राइमल-डुअल एल्गोरिदम कई कारणों से अच्छे हैं। दार्शनिक रूप से, वे एक सामान्य एल्गोरिथ्म की तुलना में अधिक अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। वे आमतौर पर दृढ़ता से बहुपद समय एल्गोरिदम देते हैं, जबकि हमारे पास अभी भी दृढ़ता से बहुपद एलपी सॉल्वर नहीं हैं। वे अक्सर जेनेरिक एल्गोरिदम की तुलना में अधिक व्यावहारिक होते हैं। यह विशेष रूप से सच है अगर हम एलपी को स्पष्ट रूप से नहीं लिख सकते हैं और हमारी एकमात्र अन्य पसंद दीर्घवृत्ताभ एल्गोरिथ्म है, जो कि गैर-द्विदलीय मिलान और एडमंड्स के प्राइमल-डुअल एल्गोरिदम के साथ है।

पूरक सुस्तता के सुकून वाले संस्करणों का उपयोग करके, समरूपता एल्गोरिदम के लिए प्राइमल-डुअल भी एक बहुत ही उपयोगी ढांचा है। यह एनपी कठिन समस्याओं के लिए सन्निकटन एल्गोरिथम को डिजाइन करने में उपयोगी साबित हुआ है (उदाहरण के लिए के अध्याय 7 देख विलियमसन-Shmoys पुस्तक ) और अच्छा प्रतिस्पर्धी अनुपात के साथ ऑनलाइन एल्गोरिदम को डिजाइन करने में (देखें Buchbinder और Naor द्वारा पुस्तक )। यहाँ मुद्दा यह है कि एल्गोरिथ्म एक कठिन समस्या के एलपी छूट की दोहरी करने के लिए एक समाधान को बनाए रखता है, और प्रत्येक चरण में या तो एक अभिन्न प्रायोगिक संभव पाता है जैसे कि अनुमानित पूरक सुस्तता संतुष्ट होती है, या दोहरे योग सुधार करती है।$y$$x$$y$। अनुमानित पूरक सुस्ती निम्न रूप की एक स्थिति है: यदि तो संबंधित दोहरी बाधा तंग है, और यदि , तो संबंधित बाधा तंग होगी यदि से छोटा है । यह एक सन्निकटन कारक । यह सब बहुत अच्छी तरह से ऊपर के दो स्रोतों में समझाया गया है।$x_i > 0$$y_j > 0$$x$$\alpha$$\alpha$