सवाल कुछ हद तक खुला है, इसलिए मुझे नहीं लगता कि इसका पूरी तरह से जवाब दिया जा सकता है। यह आंशिक उत्तर है।
एक आसान अवलोकन यह है कि जब हम additive सन्निकटन पर विचार करते हैं तो कई समस्याएं निर्बाध होती हैं। उदाहरण के लिए, पारंपरिक रूप से मैक्स -3 एसएटी समस्या का उद्देश्य फ़ंक्शन संतुष्ट खंडों की संख्या है। इस फॉर्मूलेशन में, O-1 के भीतर Max-3SAT को सन्निकटित करना (1) एडिटिव एरर, Max-3SAT को हल करने के बराबर है, बस इसलिए कि ऑब्जेक्टिव फंक्शन को कई बार इनपुट फॉर्मूला कॉपी करके स्केल किया जा सकता है। इस तरह की समस्याओं के लिए गुणात्मक सन्निकटन बहुत अधिक आवश्यक है।
[संपादित करें: पहले के संशोधन में, मैंने पिछले पैराग्राफ में एक उदाहरण के रूप में इंडिपेंडेंट सेट का इस्तेमाल किया था, लेकिन मैंने इसे मैक्स -3 एसएटी में बदल दिया क्योंकि इंडिपेंडेंट सेट मल्टीप्लिडेटिव एंबेडेशन और एडिटिव इम्प्लांटेशन के बीच के अंतर को स्पष्ट करने के लिए एक अच्छा उदाहरण नहीं है। एक O (1) गुणक कारक के भीतर भी स्वतंत्र सेट सन्निकटन भी NP- हार्ड है। वास्तव में, स्वतंत्र सेट के लिए एक बहुत मजबूत अनुपयुक्तता Håstad [Has99]] द्वारा दिखाई गई है।
लेकिन, जैसा कि आपने कहा, बिन पैकिंग जैसी समस्याओं के लिए योजक सन्निकटन दिलचस्प है, जहां हम उद्देश्य फ़ंक्शन को माप नहीं सकते हैं। इसके अलावा, हम अक्सर एक समस्या का सुधार कर सकते हैं ताकि additive सन्निकटन दिलचस्प हो जाए।
उदाहरण के लिए, यदि मैक्स -3 एसएटी के उद्देश्य फ़ंक्शन को कुल खंडों की संतुष्ट संख्याओं के अनुपात के रूप में पुनर्परिभाषित किया जाता है (जैसा कि कभी-कभी किया जाता है), योजक सन्निकटन दिलचस्प हो जाता है। इस रूपरेखा में additive सन्निकटन नहीं कठिन अर्थ है कि एक गुणक कारक 1- भीतर approximability में गुणक सन्निकटन से है ε (0 < ε <1) एक additive त्रुटि के भीतर approximability तात्पर्य ε , इष्टतम मूल्य सबसे 1 पर हमेशा होता है क्योंकि।
एक दिलचस्प तथ्य (जो दुर्भाग्य से अक्सर नजरअंदाज हो जाता है) यह है कि कई अनुचित परिणाम कुछ विशिष्ट समस्याओं की एनपी-पूर्णता साबित करते हैंजो गुणन सन्निकटन के मात्र एनपी-कठोरता से पालन नहीं करता है (पेट्रैंक [पेटा94] और गोल्डीरिच [गोल05, धारा 3] देखें)। Max-3SAT के उदाहरण को जारी रखते हुए, यह Håstad [Has01] द्वारा एक प्रसिद्ध परिणाम है कि यह Max-3SAT को लगभग 7/8 से बेहतर एक स्थिर गुणन कारक के लगभग अनुमानित है। यह परिणाम अकेले यह प्रतीत नहीं करता है कि कुछ थ्रेशोल्ड से परे निरंतर एडिटिव त्रुटि के भीतर मैक्स -3 एसएटी के अनुपात संस्करण को अनुमानित करना एनपी-कठिन है। हालाँकि, Hstadstad [Has01] जो साबित करता है, वह मात्र गुणात्मक अनुपयुक्तता से कहीं अधिक मजबूत है: वह साबित करता है कि निम्नलिखित वादा समस्या NP- हर निरंतर 7/8 < s 1 के लिए पूरी है:
गैप-3SAT रों
उदाहरण : एक CNF सूत्र φ जहां प्रत्येक खंड वास्तव में तीन अलग-अलग चर शामिल है।
हां-वादा : φ संतोषजनक है।
कोई वादा नहीं: कोई भी सत्य असाइनमेंट of के क्लॉज के s अंश से अधिक संतुष्ट नहीं करता है ।
इससे, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अधिकतम 3/AT के अनुपात संस्करण को लगभग 1/8 से बेहतर एडिटिव एरर के भीतर अनुमानित करना एनपी-कठिन है। दूसरी ओर, सामान्य, सरल यादृच्छिक असाइनमेंट एक additive त्रुटि 1/8 के भीतर सन्निकटन देता है। इसलिए, Håstad [Has01] द्वारा परिणाम न केवल इस समस्या के लिए इष्टतम गुणात्मक अनुपयुक्तता देता है, बल्कि इष्टतम additive अनुपयुक्तता भी है। मेरा अनुमान है कि इस तरह के कई additive अनुचित परिणाम हैं जो साहित्य में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होते हैं।
संदर्भ
[गोल ० ५] ओड गोल्डरेच। वादा समस्याओं पर (शिमोन की स्मृति में एक सर्वेक्षण [1935-2004])। कम्प्यूटेशनल जटिलता पर इलेक्ट्रॉनिक बोलचाल , रिपोर्ट TR05-018, 2005 फरवरी। http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/
[हस९९] जोहान हास्टैड। गुट के भीतर अनुमान लगाने के लिए कठिन है n 1- ε । एक्टा मैथमेटिका , 182 (1): 105–142, मार्च 1999। http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/
[हस ०१] जोहान हास्टैड। कुछ इष्टतम अनुचितता परिणाम। एसीएम की पत्रिका , 48 (4): 798-859, जुलाई 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098
[PET94] इरेज़ पेट्रैंक। सन्निकटन की कठोरता: गैप स्थान। कम्प्यूटेशनल जटिलता , 4 (2): 133-157, अप्रैल 1994। http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286