लघु-बहिष्कृत रेखांकन के लिए क्या आसान है?

Question

जंग / शाह द्वारा एल्गोरिथ्म का उपयोग करके मामूली-बहिष्कृत रेखांकन पर रंग की संख्या लगभग आसान लगती है । उन समस्याओं के अन्य उदाहरण क्या हैं जो सामान्य रेखांकन पर कठिन हैं, लेकिन लघु-बहिष्कृत रेखांकन पर आसान हैं?

अद्यतन 10/24 यह ग्रोह के परिणामों का पालन करने के लिए लगता है कि सूत्र जो बंधे-बंधे रेखांकन रेखांकन पर परीक्षण करने के लिए FPT है, मामूली बहिष्कृत रेखांकन पर परीक्षण करने के लिए FPT है। अब सवाल यह है कि इस तरह के फॉर्मूले के संतोषजनक कामों को गिनने की क्षमता से कैसे संबंधित है?

उपरोक्त कथन गलत है। MSOL बंधे हुए वृक्ष की चौड़ाई के ग्राफ पर FPT है, हालांकि 3-वर्णनीयता NP- ग्राउंड ग्राफर पर पूर्ण है जो कि मामूली-बहिष्कृत हैं।

Answer 1

सबसे आम परिणाम ग्रोहे द्वारा जाना जाता है। जुलाई 2010 में एक सारांश प्रस्तुत किया गया था:

• मार्टिन ग्रहे , फिक्स्ड-पॉइंट डेफिसिबिलिटी एंड पॉलीओनोमियल टाइम विथ एक्जॉस्ट माइनर्स , लाइक्स 2010। ( पीडीएफ )

संक्षेप में, कोई भी कथन जो गिनती के साथ निश्चित-बिंदु तर्क में व्यक्त होता है, कम से कम एक बहिष्कृत नाबालिग के साथ रेखांकन की कक्षाओं पर एक बहुपद-काल एल्गोरिथ्म है। (एफपी + सी पहले-क्रम का तर्क है जो एक निश्चित-बिंदु ऑपरेटर के साथ संवर्धित होता है और एक विधेय होता है जो वर्टीकल सेट्स के कार्डिनैलिटी देता है)। मुख्य विचार यह है कि एक नाबालिग को छोड़कर कक्षा में रेखांकन को ट्रेलेक डिकम्पोजिशन का आदेश दिया गया है जो निश्चित-बिंदु तर्क (गिनती के बिना) में निश्चित हैं।

तो आपके प्रश्न के उत्तर का एक बड़ा वर्ग उन संपत्तियों पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है जो FP + C में निश्चित हैं लेकिन जिन्हें गिनना कठिन है।

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संपादित करें: मुझे यकीन नहीं है कि यह वास्तव में आपके सवाल का जवाब देता है, यहां तक ​​कि आपके अपडेट के लिए भी कम। ग्रोह के परिणाम के सूचक और कथन सही हैं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि मारा गया पाठ आपके प्रश्न के लिए प्रासंगिक है। (इसे बाहर इंगित करने के लिए स्टेफ़न क्रेटज़र का धन्यवाद।) यह स्पष्ट करने योग्य हो सकता है: क्या आप एक गिनती की समस्या चाहते हैं जो सामान्य रूप से कठिन है, लेकिन मामूली से बाहर की कक्षाओं में आसान है, या एक निर्णय समस्या है?

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दिलचस्प ... मुझे आश्चर्य है कि यह वृषण विघटन ग्रहों के रेखांकन के लिए कैसा दिखता है

— यारोस्लाव बुलटोव

एक उपयोगी प्रमेय मैंने पाया है कि संपत्ति एफपी + सी में अभिव्यक्त होती है यदि यह बाउंडेड ट्विन ग्राफ पर बहुपद समय में निर्णायक है। अब सवाल यह है कि एफपी + सी निर्णय समस्याओं की जटिलता अनुरूप गणना समस्याओं की जटिलता से कैसे संबंधित है?

— यारोस्लाव बुलटोव

@ यारोस्लाव: एक बार लिखे जाने के बाद क्या आप इसके लिए कोई संदर्भ दे सकते हैं? धन्यवाद।

— Gphilip

योग्य, मुझे वास्तव में यह पता नहीं चला, मैं ग्रोह के "तर्क, रेखांकन, और एल्गोरिथ्म" के पृष्ठ 2 पर "पाया"

— यारोस्लाव बुलटोव

Answer 2

मामूली-बंद ग्राफ परिवारों की एक दिलचस्प संपत्ति यह है कि उन्होंने पतन की सीमा तय कर ली है । इसका मतलब यह है कि सभी समस्याएं जो बंधी हुई अध: पतन के ग्राफ पर आसान हैं, एक मामूली-बंद परिवार से ग्राफ पर आसान हैं।

$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

अन्य उदाहरण इस उत्तर में मिल सकते हैं डेविड एप्पस्टीन ने मैथोवरफ्लो पर एक प्रश्न के अनुसार एक प्रश्न के साथ नीचे की ओर घिरे हुए अध: पतन के साथ रेखांकन।

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$O(dn3^{d/3})$

मैं यह नहीं देख सकता कि नाबालिग-बंद (आपके उत्तर), और मामूली-बहिष्कृत रेखांकन (प्रश्न) के बीच क्या संबंध है। सभी पूर्ण रेखांकन का सेट भी मामूली बंद है, लेकिन वे बंधी हुई अध: पतन के नहीं हैं।

— सईद

लघु-बंद = लघु-बहिष्कृत। सभी गैर-तुच्छ नाबालिग-बंद ग्राफ परिवारों ने पतन को सीमित कर दिया है। मुझे अपने मूल कथन में "गैर-तुच्छ" जोड़ना चाहिए था।

— रॉबिन कोठारी

$\subset$

$H$$G$$H$$G$$F$$F$$G$$F$$G$$F$$k$$k$$f(|G|)$

Answer 3

पूरक के रूप में, मामूली-बहिष्कृत ग्राफ़ पर एल्गोरिदम के लिए एक और उपयोगी संपत्ति यह है कि इन ग्राफ़ में छोटे विभाजक होते हैं । अधिक ठीक होने के कारण

एक रेखीय समय एल्गोरिथ्म , एक नाबालिग , ब्रूस रीड और डेविड आर। वुड को छोड़कर ग्राफ में विभाजक खोजने के लिए , एल्गोरिदम पर एसीएम लेनदेन, 2009,

$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

डायनेमिक प्रोग्रामिंग तकनीकों के लिए विभाजक अच्छे हैं , और कई एनपी-पूर्ण समस्याओं को अच्छा अनुमान अनुपात के साथ तेज एल्गोरिदम दिखाया गया है, कहते हैं कि समाधान इष्टतम एक के निरंतर कारक के भीतर है, या यहां तक ​​कि पीटीएएस भी है। लघु-बहिष्कृत रेखांकन पर समस्याओं को हल करने का प्रयास करते समय प्लेनर ग्राफ और सामान्य रूप से, बंधे हुए जीनस ग्राफ अच्छे शुरुआती बिंदु होते हैं।

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किसी भी विचार अगर विभाजक उचित रंग की संख्या की गिनती के साथ मदद करते हैं?

— यारोस्लाव बुलटोव

वास्तव में नहीं, हो सकता है कि इयान द्वारा उल्लिखित कागज बेहतर मदद करता है। सोडा '07 में समान लेखकों द्वारा परिणाम का एक विस्तार "संकुचन अपघटन के माध्यम से दृष्टिकोण एल्गोरिदम" में है।

— Hsien-Chih चांग 張顯

Answer 4

$O(1)$

अल्गोरिदमिक ग्राफ़ माइनर सिद्धांत: अपघटन, स्वीकृति, और रंग द्वारा डेमियन, हाजीघयी, और कवाराबयाशी

यह पेपर रॉबर्टसन और सीमोर प्रमेय द्वारा गारंटीकृत बहिष्कृत-नाबालिग रेखांकन के लिए एक निश्चित (कुछ हद तक समझाने के लिए) अपघटन का एक एल्गोरिथम संस्करण देता है, जो इन बेहतर अनुमानित परिणामों के कई परिणाम देता है। इसके अलावा संदर्भ देखें।

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धन्यवाद, यह बहुत ही आकर्षक है ... मुझे ग्रोह के "तर्क, रेखांकन और एल्गोरिदम" में अपघटन एल्गोरिथ्म का अधिक सुलभ वर्णन मिला

— यारोस्लाव बुलटोव

Answer 5

$K_5$$K_{3,3}$

$H$$H$

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$