संदर्भ अनुरोध: सबमॉडुलर मिनिमाइज़ेशन और मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शंस


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पृष्ठभूमि: मशीन लर्निंग में, हम अक्सर उच्च आयामी संभावना घनत्व कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चित्रमय मॉडल के साथ काम करते हैं। यदि हम उस अवरोध को त्याग देते हैं जो एक घनत्व 1 को एकीकृत (sums) करता है, तो हमें एक असामान्य ग्राफ़-संरचित ऊर्जा फ़ंक्शन मिलता है

मान लीजिए कि हमारे पास एक ऐसा ऊर्जा कार्य है, , एक ग्राफ पर परिभाषित है । ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष के लिए एक चर , और वास्तविक-मूल्यवान और फ़ंक्शंस हैं, और क्रमशः में। पूरी ऊर्जा तो हैजी = ( वी , ) एक्स θ मैं ( एक्स मैं ) : मैं वी θ मैं j ( एक्स मैं , एक्स जे ) : मैं j EG=(V,E)xθi(xi):iVθij(xi,xj):ijE

E(x)=iVθi(xi)+ijEθij(xi,xj)

यदि सभी द्विआधारी हैं, तो हम को सेट सदस्यता के संकेत के रूप में सोच सकते हैं और शब्दावली के एक छोटे से दुरुपयोग के साथ सबमॉडुलरिटी के बारे में बात करते हैं। इस स्थिति में, एक ऊर्जा फ़ंक्शन iff । हम आमतौर पर कॉन्फ़िगरेशन को खोजने में रुचि रखते हैं जो ऊर्जा को कम करता है, । एक्स θ मैं j ( 0 , 0 ) + θ मैं j ( 1 , 1 ) θ मैं j ( 0 , 1 ) + θ मैं j ( 1 , 0 ) एक्स * = आर्ग मिनट एक्स( एक्स )xxxθij(0,0)+θij(1,1)θij(0,1)+θij(1,0)x=argminxE(x)

एक सबमॉड्यूलर एनर्जी फंक्शन को कम करने और मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन के बीच एक संबंध प्रतीत होता है: यदि हम किसी x_i के लिए कुछ \ थीटा_आई (x_i = 1) की ऊर्जा को कम करते हैं (अर्थात, "सही" होने के लिए अपनी प्राथमिकता बढ़ाएं), तो इष्टतम किसी भी चर x_i ^ * \ in \ mathbf {x} ^ * का असाइनमेंट केवल 0 से 1 तक बदल सकता है ("झूठे" से "सच")। यदि सभी \ थीटा_ई 0 या 1 के लिए प्रतिबंधित हैं, तो हमारे पास | \ mathcal {V} | मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन:θi(xi=1)xixixθi|V|

fi(θ)=xi

जहां ऊपर, x=argminxE(x)

प्रश्न: क्या हम इस सेटअप का उपयोग करके जोड़ीदार शर्तों, को अलग करके सभी मोनोटोन बूलियन कार्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं ? क्या होगा अगर हम को एक मनमाने ढंग से सबमॉड्यूलर एनर्जी फंक्शन होने दें? इसके विपरीत, क्या हम एक सेट के रूप में सभी सबमॉड्यूलर न्यूनीकरण समस्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन?| वी |θijE|V|

क्या आप उन संदर्भों का सुझाव दे सकते हैं जो मुझे इन कनेक्शनों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेंगे? मैं एक सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक नहीं हूं, लेकिन मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या मोनोटोन बूलियन कार्यों के बारे में अंतर्दृष्टि है जो सबमॉडुलर न्यूनतमकरण शर्तों में सोचकर कब्जा नहीं किया गया है।

जवाबों:


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जहां तक ​​मैं समझता हूं, सबमॉड्यूलर मिनिमाइजेशन केस सभी को कैप्चर करता है, मोनोटोन बुलियन केस के बारे में कहा जाता है, और बाइनरी सबमॉड्यूलर बुलियन फ़ंक्शन सभी सबमॉड्यूलर बुलियन फ़ंक्शन को व्यक्त कर सकता है। हालाँकि, यदि डोमेन गैर-बूलियन है, तो बाइनरी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, भले ही छिपे हुए चर पेश किए जा सकते हैं। (माफी अगर मैं आपकी सटीक समस्या को समझने में सूक्ष्मता से चूक गया हूं।)

इस अच्छे पेपर में कला की स्थिति पर चर्चा की गई है, जिसमें संबंधित कार्यों के बहुत सारे लिंक हैं, और यह भी कंप्यूटर विज़न के लिंक को काफी महत्वपूर्ण बनाता है:

  • स्टानिस्लाव Živný, डेविड ए कोहेन, पीटर जी Jeavons, द्विआधारी submodular कार्यों का सूचक क्षमता , बांध 157 3347-3,358, 2009 डोई: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( प्रीप्रिंट )

यदि आपका अगला प्रश्न सन्निकटन के बारे में है, तो यह हालिया पेपर सन्निकटन संस्करण को देखता है:

  • डोरिट एस होचबूम, सबमॉडुलर समस्याएं - सन्निकटन और एल्गोरिदम , arXiv: 1010.1945

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हालाँकि (प्रीप्रिंट) लिंक मुझे doi: लिंक से अलग कागज पर ले जाता है।
dan_x

@dan x: लिंक को ठीक किया, हेड-अप के लिए धन्यवाद।
आंद्र सलामॉन
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