पृष्ठभूमि: मशीन लर्निंग में, हम अक्सर उच्च आयामी संभावना घनत्व कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चित्रमय मॉडल के साथ काम करते हैं। यदि हम उस अवरोध को त्याग देते हैं जो एक घनत्व 1 को एकीकृत (sums) करता है, तो हमें एक असामान्य ग्राफ़-संरचित ऊर्जा फ़ंक्शन मिलता है ।
मान लीजिए कि हमारे पास एक ऐसा ऊर्जा कार्य है, , एक ग्राफ पर परिभाषित है । ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष के लिए एक चर , और वास्तविक-मूल्यवान और फ़ंक्शंस हैं, और क्रमशः में। पूरी ऊर्जा तो हैजी = ( वी , ई ) एक्स θ मैं ( एक्स मैं ) : मैं ∈ वी θ मैं j ( एक्स मैं , एक्स जे ) : मैं j ∈ ई
यदि सभी द्विआधारी हैं, तो हम को सेट सदस्यता के संकेत के रूप में सोच सकते हैं और शब्दावली के एक छोटे से दुरुपयोग के साथ सबमॉडुलरिटी के बारे में बात करते हैं। इस स्थिति में, एक ऊर्जा फ़ंक्शन iff । हम आमतौर पर कॉन्फ़िगरेशन को खोजने में रुचि रखते हैं जो ऊर्जा को कम करता है, । एक्स θ मैं j ( 0 , 0 ) + θ मैं j ( 1 , 1 ) ≤ θ मैं j ( 0 , 1 ) + θ मैं j ( 1 , 0 ) एक्स * = आर्ग मिनट एक्स ई ( एक्स )
एक सबमॉड्यूलर एनर्जी फंक्शन को कम करने और मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन के बीच एक संबंध प्रतीत होता है: यदि हम किसी x_i के लिए कुछ \ थीटा_आई (x_i = 1) की ऊर्जा को कम करते हैं (अर्थात, "सही" होने के लिए अपनी प्राथमिकता बढ़ाएं), तो इष्टतम किसी भी चर x_i ^ * \ in \ mathbf {x} ^ * का असाइनमेंट केवल 0 से 1 तक बदल सकता है ("झूठे" से "सच")। यदि सभी \ थीटा_ई 0 या 1 के लिए प्रतिबंधित हैं, तो हमारे पास | \ mathcal {V} | मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन:
जहां ऊपर, ।
प्रश्न: क्या हम इस सेटअप का उपयोग करके जोड़ीदार शर्तों, को अलग करके सभी मोनोटोन बूलियन कार्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं ? क्या होगा अगर हम को एक मनमाने ढंग से सबमॉड्यूलर एनर्जी फंक्शन होने दें? इसके विपरीत, क्या हम एक सेट के रूप में सभी सबमॉड्यूलर न्यूनीकरण समस्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन? ई | वी |
क्या आप उन संदर्भों का सुझाव दे सकते हैं जो मुझे इन कनेक्शनों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेंगे? मैं एक सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक नहीं हूं, लेकिन मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या मोनोटोन बूलियन कार्यों के बारे में अंतर्दृष्टि है जो सबमॉडुलर न्यूनतमकरण शर्तों में सोचकर कब्जा नहीं किया गया है।