ग्राफ एंडोमोर्फिम्स की गिनती की जटिलता

Question

एक ग्राफ से एक समरूपता$G = (V, E)$एक ग्राफ लिए से एक मैपिंग है$G' = (V', E')$$f$$V$$V'$ है कि अगर इस तरह के$x$ तथा $y$ में समीप हैं $E$ फिर $f(x)$ तथा $f(y)$ में समीप हैं $E'$। एक एंडोमोर्फिज्म ग्राफ का$G$ से एक समरूपता है $G$खुद को; यह निश्चित-बिंदु-मुक्त है है$x$ ऐसा है कि $f(x) = x$और यह गैर-तुच्छ है अगर यह पहचान नहीं है।

मैंने हाल ही में पोसेट (और ग्राफ) ऑटोमोर्फिज्म से संबंधित एक प्रश्न पूछा है, अर्थात्, विशेषण एंडोमोर्फिज्म जिसका काफिला भी एंडोमोर्फिज्म है। मुझे ऑटोमोटिविज़्म की गिनती (और अस्तित्व के बारे में निर्णय) के बारे में संबंधित काम मिला, लेकिन खोज करने पर मुझे एंडोमेट्रिज़म से संबंधित कोई परिणाम नहीं मिला।

इसलिए मेरा सवाल: क्या जटिलता है, एक ग्राफ दिया$G$के एक गैर तुच्छ एंडोमोर्फिज्म के अस्तित्व को तय करने में $G$, या एंडोमोर्फिज्म की संख्या की गिनती? फिक्स्ड-पॉइंट-फ्री एंडोमोर्फिज्म के साथ एक ही सवाल।

मुझे लगता है कि इस उत्तर में दिया गया तर्क एंडोमोर्फिज्म तक फैला हुआ है और उचित ठहराता है कि निर्देशित द्विदलीय ग्राफ या पॉसेट का मामला सामान्य रेखांकन के लिए समस्या से आसान नहीं है (सामान्य रेखांकन के लिए समस्या इस मामले को कम कर देती है), लेकिन इसकी जटिलता नहीं है निर्धारित करने के लिए सीधे लग रहे हो। यह ज्ञात है कि एक ग्राफ से दूसरे ग्राफ में एक होमोमोर्फिज्म के अस्तित्व को तय करना एनपी-हार्ड है (यह ग्राफ़िकल रंग को सामान्य करता है), लेकिन ऐसा लगता है कि एक ग्राफ से होमोमोर्फिज्म की खोज को खुद तक सीमित रखने से समस्या आसान हो सकती है, इसलिए इससे मुझे इन समस्याओं की जटिलता का पता लगाने में मदद नहीं मिलती है।

Answer 1

एंडोमोर्फ़िज्म या फिक्स्ड-पॉइंट-फ्री एंडोमोर्फिम्स की गिनती करना पूर्ण है $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$: जुड़ा हुआ ग्राफ दिया $G$ग्राफ पर विचार करें $G'$ जो कि संघ की असहमति है $G$और एक त्रिकोण। फिर$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$, इसलिए $\# 3COL$दो एंडोमोर्फिज्म काउंट्स का उपयोग करके गणना की जा सकती है (और एक सामान्य परिणाम से, यहां तक ​​कि केवल एक ही पर्याप्त है) और कुछ पॉली-टाइम पोस्ट-प्रोसेसिंग। ध्यान दें कि त्रिकोण की संख्या को घन (या यहां तक ​​कि मैट्रिक्स गुणन) समय में गिना जा सकता है। 3-रंग और त्रिभुजों के निश्चित-बिंदु मुक्त एंडोमॉर्फिज्म के लिए एक ही समीकरण होता है,$G'$।

अगर आप चाहें तो $G'$कनेक्ट होने के लिए, आप निम्नानुसार कर सकते हैं। पहले ध्यान दें कि शीर्ष-रंगीन ग्राफ़ एंडोमोर्फिम्स (जहां रंग के कोने) की गिनती हो$c$ केवल रंग के अन्य कोने में मैप किया जा सकता है $c$) ग्राफ एंडोमोर्फिम्स की गिनती के बराबर है, निम्नानुसार है। रंगों को होने दो$\{1,...,C\}$। प्रत्येक शीर्ष के लिए$v$ रंग का $c$, एक नए विचित्र विषम चक्र में जोड़ें$C_v$ कम से कम आकार का $n + 2c$ ($n=|V(G)|$), और का एक शीर्ष कनेक्ट करें $C_v$ सेवा $v$। का हर एंडोमोर्फिज्म$G$ से मेल खाती है $2^n$नए ग्राफ के एंडोमॉर्फिज्म (प्रत्येक चक्र के लिए, आपके पास इसे मैप करने के दो विकल्प हैं)। ध्यान दें कि कोई कोने नहीं$G$ किसी के कोने तक मैप कर सकते हैं $C_v$, क्योंकि चक्र बहुत बड़े हैं (आपको एक चक्र को दूसरे के अंदर फिट करने में सक्षम होना होगा, जिसे आप विषम चक्रों के लिए नहीं कर सकते हैं)।

अब, का एक संस्करण बनाने के लिए $G'$यह जुड़ा हुआ है, हम एक रंगीन संस्करण के साथ शुरू करते हैं, और फिर उपरोक्त परिवर्तन लागू करते हैं। पहले से शुरू करें, को जोड़कर$G$ एक तिरस्कार त्रिकोण $\Delta$। अब एक नया वर्टेक्स जोड़ें$v_0$ कि हर शिखर से जुड़ा है $G \cup \Delta$। रंग$v_0$ लाल और अन्य सभी कोने नीले।

Comments

धन्यवाद! मुझे आपके सटीक फॉर्मूले पर यकीन नहीं है$|\mathrm{End}(G')|$ (मुझे मिला $(|\mathrm{End}(G)| + \#3COL(G))(\#triangles + 3^3)$, और फिक्स्ड-पॉइंट-फ्री के लिए भी कुछ ऐसा ही है) लेकिन तर्क अभी भी मौजूद है। आपके तर्क का दूसरा हिस्सा संयम को मानते हुए भी कठोरता दिखाता है, मुझे लगता है कि यह सच है, लेकिन मुझे लगता है कि यह सीधे तय-बिंदु-मुक्त एंडोमोर्फिम्स पर लागू नहीं होता है (चक्र मैपिंग में निश्चित बिंदु हैं), लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है। मुझे यह जानने की अधिक उत्सुकता होगी: क्या निर्णय की समस्या एनपी-कठिन है (गैर-तुच्छ के लिए, और नियत-बिंदु-मुक्त एंडोमोर्फिम्स के लिए)? एक बार फिर धन्यवाद!

— a3nm

आप सूत्र के बारे में सही हैं - मैंने इसे अपडेट किया। दूसरे भाग को फिक्स्ड-पॉइंट-फ़्री में लागू करने के लिए, अधिकतम दो लंबवत दूरियों में से एक किनारे लगाएं$C_v$ सेवा $v$। फिक्स्ड-पॉइंट-फ़्री के लिए गिनती थोड़ी अलग होगी, लेकिन मुझे लगता है कि यह अभी भी काम करता है। (आपको साइकिल का आकार बढ़ाने की भी आवश्यकता हो सकती है ...)। कठोर रेखांकन के जोड़े के लिए (कोई नैटिवियल एंडोस नहीं)$G,H$, के एंडोस के अस्तित्व का निर्णय $G \cup H$ (असंतुष्ट संघ) एक समरूपता के अस्तित्व को तय करने के बराबर है $G \to H$ या $H \to G$। लगभग सभी ग्राफ कठोर होते हैं, इसलिए यह बहुत संभव है कि निर्णय एनपी-कठिन हो ...

— जोशुआ ग्रोको

ठीक है, मुझे लगता है कि मैं निश्चित-बिंदु-मुक्त गणना के लिए आपका तर्क खरीदता हूं। निर्णय के लिए, वास्तव में अब मैं नोटिस करता हूं कि "द कोर ऑफ ए ग्राफ", हेल, पी। 8-9, साबित करने के लिए लगता है कि एक गैर-तुच्छ एंडोमोर्फिज्म के अस्तित्व का निर्णय एनपी-पूर्ण है। (फिक्स्ड-पॉइंट-फ्री एंडोमोर्फिज्म का सवाल बना हुआ है, लेकिन विश्वास करने के लिए बहुत कम कारण है कि यह कठिन नहीं होगा।)

— a3nm